坐標系與參數(shù)方程第2課時不等式證明的基本方法

1、選修44坐標系與參數(shù)方程第2課時不等式證明的基本方法考情分析考點新知證明不等式的基本方法了解證明不等式的基本方法：比較法，綜合法，分析法，反證法，換元法，數(shù)學(xué)歸納法，放縮法.能用比較法，綜合法，分析法證明簡單的不等式.1. 設(shè)a、bR，試比較與的大小解： ()20， .2. 若a、b、cR，且abc1，求的最大值解：(111)2(121212)(abc)3，即的最大值為.3. 設(shè)a、b、mR，且，求證：ab.證明：由2，2， 22，即，即MN.5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(n1，nN*)的過程中，用nk1時左邊的代數(shù)式減去nk時左邊的代數(shù)式的結(jié)果是A，求代數(shù)式A.解：當nk時，左邊，nk1時，

2、左邊，故左邊增加的式子是，即A.1. 不等式證明的常用方法(1) 比較法：比較法是證明不等式的一種最基本的方法，也是一種常用方法，基本不等式就是用比較法證得的比較法有差值、比值兩種形式，但比值法必須考慮正負比較法證明不等式的步驟：作差(商)、變形、判斷符號其中的變形主要方法是分解因式、配方，判斷過程必須詳細敘述(2) 綜合法：綜合法就是從題設(shè)條件和已經(jīng)證明過的基本不等式出發(fā)，不斷用必要條件替換前面的不等式，直到推出要證明的結(jié)論，即為“由因?qū)Ч?，在使用綜合法證明不等式時，常常用到基本不等式(3) 分析法：分析法就是從所要證明的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的不等式，直至推出顯然成立的不等

3、式，即為“執(zhí)果索因”2. 不等式證明的其他方法和技巧(1) 反證法從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定結(jié)論是正確的證明方法(2) 放縮法欲證AB，可通過適當放大或縮小，借助一個或多個中間量，使得AC1C2CnB，利用傳遞性達到證明的目的(3) 數(shù)學(xué)歸納法備課札記題型1用比較法證明不等式例1求證：a2b2abab1.證明： (a2b2)(abab1)a2b2abab1(2a22b22ab2a2b2)(a22abb2)(a22a1)(b22b1)(ab)2(a1)2(b1)20. a2b2abab1.已知a0，b0，求證：.證明：(證法1) ()0， 原不等式成

4、立(證法2)由于111.又a0，b0，0， .題型2用分析法、綜合法證明不等式例2已知x、y、z均為正數(shù)，求證：.證明：(證法1：綜合法)因為x、y、z都是正數(shù)，所以.同理可得，.將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得.(證法2：分析法)因為x、y、z均為正數(shù)，要證.只要證，只要證x2y2z2yzzxxy，只要證(xy)2(yz)2(zx)20，而(xy)2(yz)2(zx)20顯然成立，所以原不等式成立已知a0，求證：a2.證明：要證a2，只需證2a，只需證a244a2222，即證2，只需證42，即證a22，此式顯然成立 原不等式成立題型3均值不等式與柯西不等式的應(yīng)用例3求證：.證明：

5、(121212)(a2b2c2)(abc)2， ，即.若實數(shù)x、y、z滿足x2y3za(a為常數(shù))，求x2y2z2的最小值解： (122232)(x2y2z2)(x2y3z)2a2，即14(x2y2z2)a2， x2y2z2，即x2y2z2的最小值為.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當n是不小于5的自然數(shù)時，總有2nn2成立證明：(1) 當n5時，2552，結(jié)論成立(2) 假設(shè)當nk(kN，k5)時，結(jié)論成立，即有2kk2，那么當nk1時，左邊2k122k2k2(k1)2(k22k1)(k1)2(k1)(k1)(k1)2右邊. 也就是說，當nk1時，結(jié)論成立 由(1)、(2)可知，不等式 2nn2對nN，n

6、5時恒成立例4求函數(shù)y的最大值解：y2()212()2(1x2x)33， y3，當且僅當時取“”號，即當x0時，ymax3.(2011湖南改編)設(shè)x、yR，求的最小值解：由柯西不等式，得(12)29. 的最小值為9.1. (2013陜西)已知a、b、m、n均為正數(shù)，且ab1，mn2，求(ambn)(bman)的最小值解：利用柯西不等式求解，(ambn)(anbm)()2mn(ab)2212，且僅當mn時取最小值2.2. (2013湖北)設(shè)x、y、zR，且滿足x2y2z21，x2y3z，求xyz的值解：由柯西不等式可知(x2y3z)214(x2y2z2)(122232)，因為x2y2z21，所以

7、當且僅當時取等號此時y2x，z3x代入x2y3z得x，即y，z，所以xyz.3. (2013江蘇)已知ab0，求證：2a3b32ab2a2b.證明： 2a3b32ab2a2b(2a32ab2)(a2bb3)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)，又ab0， ab0，ab0，2ab0， (ab)(ab)(2ab)0， 2a3b32ab2a2b0， 2a3b32ab2a2b.4. (2013新課標)設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1.證明：(1) abbcca；(2) 1.證明：(1) 由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcc

8、a.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2) 因為b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.1. 已知正數(shù)a、b、c滿足abc1，求證：(a2)(b2)(c2)27.證明：(a2)(b2)(c2)(a11)(b11)(c11)3332727(當且僅當abc1時等號成立)2. 已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1，1(1) 求m的值；(2) 若a，b，cR，且m，求證：a2b3c9.解：(1) f(x2)m|x|0， |x|m， m0，mxm， f(x2)0的解集是1，1，故m1.

9、(2) 由(1)知1，a、b、cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)()29.3. 已知x，y，zR，且xyz1 (1) 若2x23y26z21，求x，y，z的值(2) 若2x23y2tz21恒成立，求正數(shù)t的取值范圍解：(1) (2x23y26z2)()(xyz)21，當且僅當時取“” 2x3y6z，又 xyz1， x，y，z.(2) (2x23y2tz2)(xyz)21， (2x23y2tz2)min. 2x23y2tz21恒成立， 1. t6.4. (1) 求函數(shù)y的最大值； (2) 若函數(shù)ya最大值為2，求正數(shù)a的值解：(1) ()2(11)(x15x)8, 2. 當且僅當11即x3時，ymax2. (2) (a)22(a24)(x1x)(a24)，由已知(a24)20得a2，又 a0， a2.1. 算術(shù)幾何平均不等式若a1，a2，anR，n1且nN*，則叫做這n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù)基本不等式：(nN*，aiR，1in)2. 絕對值三角形不等式若a、b是實數(shù)，則|