專題全等三角形

1、專,題,磚,磚,磚,學(xué)而時(shí)習(xí)之,1.,什么是全等三角形？,2.,全等三角形有哪些性質(zhì)？,能夠,完全重合,的兩個(gè)三角形叫做全等三角形,.,（,1,）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等,.,（,2,）全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等,.,常見全等變換有哪些？,平移、旋轉(zhuǎn)、翻折,3,：判定全等三角形的方法有哪些？,SSS,SAS,ASA,AAS,HL,（斜邊、直角邊）,證全等，三條件，至少要有一條邊，,下列判定全等三角形的方法是？,如果具有兩條邊，夾角必須在,中間,。,4,：全等三角形中常常隱含的相等的條件有？,公共邊，公共角，對(duì)頂角,A,B,E,F,D,C,BE=CF,BE+EF=CF+EF,即,B

2、F=CE,A,B,C,D,E,1,2,3,5,：,等量加等量,和相等，,等量減等量,差相等，都是用來找邊和角相等的方法！,BAC =,DAE,BAC -,3 =,DAE -,3,即,1=,2,牛刀小試,如圖,點(diǎn),D,E,分別在線段,AB,AC,上，,BE,CD,相交于點(diǎn),O,，,AE=AD,要使,ABE,ACD,可以添加的一個(gè)條件,.,A,D,B,C,E,O,已知一邊一角,(SAS),(ASA),(AAS),找邊,找角,問題,A,B,C,D,如圖,已知,AB=AD,上，要使,ABC,ADC,可以添加的一個(gè)條件是,.,已知兩邊,找邊,(SSS),找角,(SAS),注意是否有直角,(HL),練習(xí),

3、紛至沓來,問題,1,如圖，,B,、,C,、,E,三點(diǎn)在同一條直線上，,AC,DE,，,AC=CE,，,ACD=,B.,求證：,AB=,DC.,A,B,C,D,E,如圖，點(diǎn),D,在,AB,上，點(diǎn),E,在,AC,上，,BE,、,CD,相交于點(diǎn),O,，,AB=AC,，,AD=AE,，,求證：,B0=CO.,問題,2,A,B,C,D,E,O,如圖，,AB=AE,，,AD=AC,，,AC,，,BD,相交于點(diǎn),M,，,AD,，,CE,相交于點(diǎn),N,，,BAD=,EAC.,求證：,AM= AN,練習(xí),A,B,C,D,N,M,E,問題,3,如圖，,A=,D=90,，,AE=DE,，求證：,ABC,DCB.,A

4、,B,C,D,E,如圖，,AE=CF,，,DE,AC,，,BF,AC,，若,AB=CD,，則,BD,平分,EF,嗎？,問題,4,A,B,C,D,E,F,G,A,B,C,D,E,F,G,無中生有,問題,1,如圖，,AC=BD,，,AD,AC,，,BD,BC,，求證,AD=BC.,A,B,C,D,O,分析：連接,CD,，構(gòu)造全等三角形,證明,Rt,AOC,Rt,BCD,得到,AD=BC,分析：延長(zhǎng),DA,、,CB,交于點(diǎn),E,證明,DBE,CAE,（,AAS,）,ED=EC,，,EB=EA,AD=BC,如圖，,AB=AE,，,BC=ED,，,B=,E,，,AF,CD,，點(diǎn),F,為垂足,.,求證：,

5、CF=DF.,A,B,C,D,E,F,練習(xí),已知,ABC,中邊,AB,、,AC,的長(zhǎng)分別為,6,和,4, AD,為,BC,邊上的中線，,求,AD,的取值范圍,.,A,B,6,4,D,問題,2,E,倍長(zhǎng)中線法,已知,ABC,中邊,AB,、,AC,的長(zhǎng)分別為,a,和,b,（,ab,）, AD,為,BC,邊上,的中線，求,AD,的取值范圍,.,A,B,a,b,D,拓展,如圖，點(diǎn),E,是,BC,中點(diǎn)，,BAE=,CDE,，求證：,AB=CD,思考,B,C,D,A,E,H,B,C,D,A,E,H,B,C,D,A,E,如圖，在正方形,ABCD,中，,E,為,AB,邊的中點(diǎn)，,G,、,F,分別為,AD,，,

6、BC,邊上的點(diǎn)，若,AG=1,，,BF=2,，,GEF=90,.,求,GF,的長(zhǎng)？,思考,E,F,G,D,C,B,A,E,H,E,F,G,D,C,B,A,H,E,F,G,D,C,B,A,已知,AD,是,ABC,的角平分線，,B=2,C,，求證,AB+BD=AC.,問題,3,A,B,C,D,E,截長(zhǎng)補(bǔ)短,一石二鳥,D,C,B,A,H,E,已知：在,Rt,ADC,Rt,BDH,，,AD,BC,，,D,為垂足，,BH,與,AC,有什么關(guān)系？,引例,方法一：在,AEH,和,BDH,中，因?yàn)?AHE=,BHD,，,由三角形內(nèi)角和定理可得,AHE=,BDH = 90,即得,BE,AD,。,方法二：在,Rt

7、,ADC,中，,CAD +,C=90,HBD +,C=90,由三角形內(nèi)角和定理,可得,BEC= 90,即得,BE,AD,。,D,C,B,A,H,E,已知：在,Rt,ADC,Rt,BDH,，,AD,BC,，,D,為垂足，,BH,與,AC,有什么關(guān)系？,引例,本題中兩個(gè)直角三角形的位置，可以看作一個(gè)是站著,的,Rt,ADC,，一個(gè)是躺著的,Rt,BDH,，我們把具有這種,位置關(guān)系的兩個(gè)直角三角形作為一種數(shù)學(xué)模型，即,“,雙直角三角形全等模型,”,已知：在,ABC,中，,AD,BC, BE,AC,，,D,、,E,為垂足，,AD,與,BE,交與點(diǎn),H,，,BD=AD.,求證：,BH=AC,D,C,B,

8、A,E,H,證明,線段相等,最常用的方法就是證明,三角形全等,.,已知,BD=AD,，,ADB=,ADC=90,再找一對(duì)元素,對(duì)應(yīng)相等即可,.,問題,1,雙直角三角形全等模型,（幾何畫板演示變化情況）,問題,2,如圖，在,ABC,中，,AB=AC,，,BAC=90,，,AN,是過點(diǎn),A,的任意直線，,BD,AN,于,D,，,CE,AN,于,E.,探究：,DE,、,BD,、,CE,三條線段之間又怎樣的等量關(guān)系？,N,C,B,A,E,D,問題,2,如圖，在,ABC,中，,AB=AC,，,BAC=90,，,AN,是過點(diǎn),A,的任意直線，,BD,AN,于,D,，,CE,AN,于,E.,若：將,AN,繞

9、,A,旋轉(zhuǎn)，使它經(jīng)過,ABC,的內(nèi)部，再作,BD,AN,于,D,，,CE,AN,于,E,，,那么圖中,DE,、,DB,、,CE,之間還存在等量關(guān)系嗎？,N,C,B,A,E,D,N,C,B,A,E,D,思考,如圖，在,ABC,中，,AC=BC,，,ABC=90,，點(diǎn),D,是,AB,的中點(diǎn)，點(diǎn),E,是,AB,邊上的一點(diǎn)，,BF,CE,于,F,，交,CD,于,G.,求證：,AE=CG.,D,C,B,A,F,G,E,小手拉大手,兩個(gè)等邊三角形,三組三角形全等, BCE, ACD, BCF, ACG, ECF, DCG,AHF=,EHG=60,證明思路：,HAF=,CBF,，,對(duì)頂角相等有,AFH=,BFC,，,由三角形內(nèi)角和定理,易得,AHF =,BCF= 60,，,同理可證,EHG=60,.,FCG,是等邊三角形，,FG/BD.,證明思路：,由全等三角形得,CF=CG,，,又易得,FCG=60,，得證,.,由,FGC=,GCD,，得,FG/BD.,連結(jié),CH,，則,CH,平分,BHD,證明思路：過點(diǎn),C,作,CX,BE,于,X,，,CY,AD,于,Y.,因?yàn)?BCE,ACD,，利用面積法易得,CX=CY,，,從而平分線得證,.,HD=HC+HE,；,HB=HC+HA,證