高等數(shù)學：D1習題課

1、,二、 連續(xù)與間斷,一、 函數(shù),三、 極限,習題課,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,函數(shù)與極限,第一章,一、 函數(shù),1. 函數(shù)的概念,定義:,定義域,值域,圖形:,( 一般為曲線 ),設,函數(shù)為特殊的映射:,其中,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 函數(shù)的特性,有界性 ,單調性 ,奇偶性 ,周期性,3. 反函數(shù),設函數(shù),為單射,反函數(shù)為其逆映射,4. 復合函數(shù),給定函數(shù)鏈,則復合函數(shù)為,5. 初等函數(shù),有限個常數(shù)及基本初等函數(shù),經(jīng)有限次四則運算與復,復合而成的一個表達式的函數(shù).,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例1. 設函數(shù),求,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,解:,利

2、用函數(shù)表示與變量字母的無關的特性 .,代入原方程得,代入上式得,設,其中,求,令,即,即,令,即,畫線三式聯(lián)立,即,例2.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,思考與練習,1. 下列各組函數(shù)是否相同 ? 為什么?,相同,相同,相同,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 下列各種關系式表示的 y 是否為 x 的函數(shù)? 為什么?,不是,是,不是,提示: (2),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,3. 下列函數(shù)是否為初等函數(shù) ? 為什么 ?,以上各函數(shù)都是初等函數(shù) .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,4. 設,求,及其定義域 .,5. 已知, 求,6. 設,求,由,得,4. 解:,機動 目

3、錄 上頁 下頁 返回 結束,5. 已知, 求,解:,6. 設,求,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二、 連續(xù)與間斷,1. 函數(shù)連續(xù)的等價形式,有,2. 函數(shù)間斷點,第一類間斷點,第二類間斷點,可去間斷點,跳躍間斷點,無窮間斷點,振蕩間斷點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,有界定理 ;,最值定理 ;,零點定理 ;,介值定理 .,3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質,例3. 設函數(shù),在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .,提示:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,有無窮間斷點,及可去間斷點,解:,為無窮間斷點,所以,為可去間斷點 ,極限存在,例4. 設函數(shù),試確定常數(shù) a 及

4、 b .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例5. 設 f (x) 定義在區(qū)間,上 , 若 f (x) 在,連續(xù),提示:,閱讀與練習,且對任意實數(shù),證明 f (x) 對一切 x 都連續(xù) .,P64 題2(2), 4; P73 題5,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,證:,P73 題5. 證明: 若,令,則給定,當,時,有,又,根據(jù)有界性定理, 使,取,則,在,內連續(xù),存在, 則,必在,內有界.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,三、 極限,1. 極限定義的等價形式,(以 為例 ),(即 為無窮小),有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 極限存在準則及極限運算法則,3. 無窮小,無

5、窮小的性質 ;,無窮小的比較 ;,常用等價無窮小:,4. 兩個重要極限,6. 判斷極限不存在的方法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,5. 求極限的基本方法,例6. 求下列極限：,提示:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,令,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,則有,復習: 若,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例7. 確定常數(shù) a , b , 使,解:,原式,故,于是,而,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例8. 當,時,是,的幾階無窮小?,解: 設其為,的,階無窮小,則,因,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,閱讀與練習,1. 求,的間斷點, 并判別其類型.,解:,x = 1 為第一類可去間斷點,x = 1 為第二類無窮間斷點,x = 0 為第一類跳躍間斷點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 求,解:,原式 = 1,(2000考研),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,作業(yè) P74 3 (1) , (4)