離散型隨機變量的期望與方差習題課.ppt

1、離散型隨機變量的期望與方差(一,例1：某保險公司新開設了一項保險業(yè)務，若在一年內(nèi)事件E發(fā)生，該公司要賠償a元.設在一年內(nèi)E發(fā)生的概率為p,為使公司收益的期望值等于a的10%,公司應要求顧客交多少保險金,例2：將一枚硬幣拋擲20次，求正面次數(shù)與反面次數(shù)之差的概率分布，并求出的期望E 與方差D,例3(07全國高考）某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為,商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元表示經(jīng)銷一件該商品的利潤 （）求事件A“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A

2、)； （）求的分布列及期望E,例4.(07北京高考)某中學號召學生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會公益活動(以下簡稱活動).該校合唱團共有100名學生,他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示 （I）求合唱團學生參加活動的人均次數(shù)； （II）從合唱團中任意選兩名學生，求他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率 （III）從合唱團中任選兩名學生,用表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望E,1,2,3,10,20,30,40,50,參加人數(shù),活動次數(shù),例5(07安徽)在醫(yī)學生物學試驗中，經(jīng)常以果蠅作為試驗對象，一個關有6只果蠅的籠子里，不慎混入了兩只蒼蠅（此時籠內(nèi)共有8只蠅子：6只果蠅和2只蒼

3、蠅），只好把籠子打開一個小孔，讓蠅子一只一只地往外飛，直到兩只蒼蠅都飛出，再關閉小孔.以表示籠內(nèi)還剩下的果蠅的只數(shù). （）寫出的分布列（不要求寫出計算過程）； （）求數(shù)學期望E； （）求概率P（E,解:（）的分布列為,離散型隨機變量的期望與方差(二,練習:某單位有三輛汽車參加某種事故保險，單位年初向保險公司繳納每輛900元的保險金，對在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的車輛，單位獲9000元的賠償（假設每輛車最多只賠償一次）。設這三輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的概率分別為1/9、1/10、1/11，且各車是否發(fā)生事故相互獨立。求一年內(nèi)該單位在此保險中： （1）獲賠的概率； （2）獲賠金額的分別列與期望,解:設A

4、k表示第k輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故k=1,2,3由題意知A1，A2，A3獨立，且P(A1)=1/9，P(A2)=1/10，P(A3)=1/11,1）該單位一年內(nèi)獲賠的概率為,2)的所有可能值為0，9000，18000，27000,綜上知，的分布列為,例6(05江西高考)A、B兩位同學各有五張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進行游戲，當出現(xiàn)正面朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片.規(guī)定擲硬幣的次數(shù)達9次時，或在此前某人已贏得所有卡片時游戲終止.設表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù). （1）求的取值范圍； （2）求的數(shù)學期望E,解:(1)設正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n，則,可得,07江西)某

5、陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨立根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5，0.6，0.4，經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6，0.5，0.75 （1）求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率； （2）經(jīng)過前后兩次燒制后，合格工藝品的個數(shù)為，求隨機變量的期望,解:分別記甲、乙、丙經(jīng)第一次燒制后合格為事件A1 ,A2,A3（1）設表示第一次燒制后恰好有一件合格，則,解法一：因為每件工藝品經(jīng)過兩次燒制后合格的概率均為p=0.3，所以B(3,0

6、.3)，故E=np=30.3=0.9,例.某生在解答數(shù)學考試時有兩種方案:方案一,按題號順序解答；方案二，先做解答題，后做選擇題、填空題，且分別按題號順序依次解答. 根據(jù)以往經(jīng)驗，若能順利地解答某題，就增強了解答題目地信心，提高后面答題正確率的10；若解答受挫，就增加了心理負擔，降低了后面答題正確率的30. 為了科學地決策，他采用了一個特例模型:在某次考試中有6道題，他答對每道題的概率分布和題目的分值如下表,1)在方案一中，求他答對第2題的概率； (2)在方案一中，求他答對第3題的概率； (3)請你幫助他做出科學的決策,決策問題,練習:在燈謎晚會上，猜謎者需猜兩條謎語(謎1和謎2),猜謎者對這

7、兩條謎語可以按自己選擇的先后順序去猜，如果他決定先猜i(i=1,2)，則只有當他猜對此謎后才被允許猜另一條謎語，否則就不允許猜另一條謎語了. 若猜謎者猜對謎i(=1,2)，則獎xi (i=1,2)元，一中一得，設猜對謎i(i=1,2)這兩件事是互不影響的. 試問： （1）他應先猜哪條謎語？ （2）若x1=200，x2=100，P1=60%，P2=80%(P1、P2分別為猜中謎1、2的概率）,則應先猜哪條謎語？ （3）若x1=200，x2=100，P1=60%，P2=75%，則應先猜哪條謎語,解.(1)設猜中謎i(i=1,2)的概率為Pi(i=1,2) 若先猜謎1，則所得獎金Y1的分布列為,若先

8、猜謎2，則所得獎金Y2的分布列為,2.(山東07理18)設b,c分別是先后擲兩次骰子得到的點數(shù),用 隨機變量表示方程x2+bx+c=0的方程的實根個數(shù). (1)求方程有實根的概率; (2)求的分布列和期望; (3)求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)有5的條件下,方程有實根的概 率,1(07寧夏海南理20)如圖，面積為S的正 方形ABCD中有一個不規(guī)則的圖形M，可按下面方法估計 M的面積：在正方形中隨機投擲n個點，若n個點中有m個 點落入M中，則M的面積的估計值為mS/n. 假設正方形的 邊長為2，M的面積為1，并向正方形中隨機投擲10000個 點，以X表示落入M中的點的數(shù)目 （I）求X的均值EX； （II

9、）求用以上方法估計面積時，M的面積的估計值與 實際值之差在區(qū)間(-0.03,0.03)內(nèi)的概率,M,8.已知某車站每天8：009：00、9：0010：00都恰好 有一輛客車到站；8：009：00到站的客車可能在8：10、 8：30、8：50到，其概率依次為1/6,1/2,1/3, 9：0010：00 到站的客車可能在9：10、9：30、9：50到，其概率依次為 1/6,1/2,1/3,今有甲、乙兩位旅客，他們到站的時間分別為 8：00和8：20，試問他們候車時間的平均值哪個更多,2005湖南卷）某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否

10、游覽哪個景點互不影響，設表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值. （）求的分布及數(shù)學期望； （）記“函數(shù)f(x)x23x1在區(qū)間2，上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率,解：（I）分別記“客人游覽甲景點”，“客人游覽乙景點”，“客人游覽丙景點” 為事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互獨立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5， P（A3）=0.6. 客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0，1，2，3. 相應地，客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取 值為3，2，1，0，所以的可能取值為1，3,例.某市出租車的起步價為6元，行駛路程不超過3km時，租車費為6元，若行駛路程超

11、過3km，則按每超出1km（不足1km也按1km計程）收費3元計費. 設 出租車一天行駛的路程數(shù)X (按整km數(shù)計算，不足1km的自動計為1km)是一個隨機變量，則其收費數(shù) 也是一個隨機變量. 已知一個司機在某個月中每次出車都超過了3km，且一天的總路程數(shù)可能的取值是200, 220, 240, 260, 280,300(km)，它們出現(xiàn)的概率依次是0.12, 0.18, 0.20, 0.20, 100a2+3a, 4a （1）求這一個月中一天行駛路程X 的分布列，并求X 的數(shù)學期望和方差； （2）求這一個月中一天所收租車費 Y的數(shù)學期望和方差,1）由概率分布的性質(zhì)2有，0.12+0.18+0.20+0.20+100a 2+3a+4a=1,18，4a=0.12，的分布列為,2）由已知,思考,巴拿赫(Banach)火柴盒問題 波蘭數(shù)學家隨身帶著兩盒火柴，分別放在左、右兩個衣袋里，每盒有n根火柴，每次使用時，便隨機地從其中