高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)拋物線的定義性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程

1、高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：拋物線的定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程 【本講主要內(nèi)容】 拋物線的定義及相關(guān)概念、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的幾何性質(zhì) 【知識(shí)掌握】 【知識(shí)點(diǎn)精析】 1. 拋物線定義： 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn) 不在定直線上。它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿，僅比值（離心率e）不同，當(dāng)e1線，定點(diǎn)時(shí)為拋物線，當(dāng)0e1時(shí)為雙曲線。 2. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，參數(shù)的幾何意義，是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，掌握不同形式方程的幾何性質(zhì)（如下表）： 其中為拋物線上任一點(diǎn)。 3. 對(duì)于拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，以簡(jiǎn)化運(yùn)算。 的直線與拋物線交于的焦

2、點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)弦： 4. 設(shè)過(guò)拋物線直線 與的斜率分別為，直線的傾斜角為，則有， ，。 說(shuō)明： 若由已知條件可知曲線的動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律一般用軌若由已知條件可知曲線是拋物線一般用待定系數(shù)法；求拋物線方程時(shí)，1. 跡法。凡涉及拋物線的弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)、弦的斜率問(wèn)題時(shí)要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算。2. 3. 解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)。 【解題方法指導(dǎo)】 例1. 已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，且與圓相交的公共弦長(zhǎng)等于，求此拋物線的 方程。 設(shè)所求拋物線的方程為或解析： ）0設(shè)交點(diǎn)（y1 則 ，代入得 點(diǎn)在上，在上 或， 故所求拋物線

3、方程為或。 的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)的直線交拋物線于例 2. 設(shè)拋物線兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。 軸，證明直線 解析：證法一：由題意知拋物線的焦點(diǎn) 故可設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線的方程為 由，消去得 設(shè)，則 軸，且在準(zhǔn)線上 點(diǎn)坐標(biāo)為 于是直線的方程為 要證明經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，只需證明，即證 注意到知上式成立，故直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。 證法二：同上得。又軸，且在準(zhǔn)線上，點(diǎn)坐標(biāo)為。于是 ，知三點(diǎn)共線，從而直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。 證法三：如圖， 設(shè)軸與拋物線準(zhǔn)線交于點(diǎn)，過(guò)作，是垂足 于點(diǎn) 則交，則，連結(jié) 又根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)， 與原點(diǎn)重合，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。 因此點(diǎn)是的中點(diǎn)，即 評(píng)述：本題考查拋物線的概念和性質(zhì)，直線的方程和性質(zhì)，運(yùn)

4、算能力和邏輯推理能力。其中證法一和二為代數(shù)法，證法三為幾何法，充分運(yùn)用了拋物線的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，更為巧妙。 【考點(diǎn)突破】 【考點(diǎn)指要】 拋物線部分是每年高考必考內(nèi)容，考點(diǎn)中要求掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)，多出現(xiàn)在選擇題和填空題中，主要考查基礎(chǔ)知識(shí)、基礎(chǔ)技能、基本方法，分值大約是分。 考查通常分為四個(gè)層次： 層次一：考查拋物線定義的應(yīng)用； 層次二：考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法； 層次三：考查拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用； 層次四：考查拋物線與平面向量等知識(shí)的綜合問(wèn)題。 解決問(wèn)題的基本方法和途徑：待定系數(shù)法、軌跡方程法、數(shù)形結(jié)合法、分類討論法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法。 【典型例題分析】 為拋物線上一點(diǎn)，

5、若，則點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線2006江西）設(shè)的焦點(diǎn)，的 例3. （ ） 坐標(biāo)為（ B. A. D. C. 答案： 坐標(biāo)為 解析：解法一：設(shè)點(diǎn)，則 ， 解得或（舍），代入拋物線可得點(diǎn)的坐標(biāo)為。 解法二：由題意設(shè)，則， 即，求得，點(diǎn)的坐標(biāo)為。 評(píng)述：本題考查了拋物線的動(dòng)點(diǎn)與向量運(yùn)算問(wèn)題。 例4. （2006安徽）若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為（ ） A. 2 B. 2 C. 4 . 4 答案：D 解析：橢圓的右焦點(diǎn)為，所以拋物線的焦點(diǎn)為，則。 評(píng)述：本題考查拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的基本量的關(guān)系。 【達(dá)標(biāo)測(cè)試】 一. 選擇題： 1. 拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)的值是（ ） D. C.

6、B. A. ） 軸上，又拋物線上的點(diǎn)，與焦點(diǎn)的距離為4，則等于（2. 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)在 B. 4或4 C. 2 A. 4 D. 2或2 3. 焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ） A. B. 或 D. 或 C. 4. 圓心在拋物線上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的方程為（ ） A. B. C. D. 5. 正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到 直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為，則點(diǎn)的軌跡是（ ） A. 拋物線 B. 雙曲線 C. 直線 D. 以上都不對(duì) 6. 已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到此拋物線準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則 的最小值是（ ） A. 5

7、 B. 4 C. D. 7. 已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最 小值是（ ） 5 D. C. 4 B. A. ） 的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值是（ 8. 過(guò)拋物線 B. 12 C. 3 A. 12 D. 3 二. 填空題： 9. 已知圓和拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值是。 的垂心恰好是此拋物線的焦點(diǎn)，上兩點(diǎn)，則直線為坐標(biāo)原點(diǎn)，若10. 已知分別是拋物線 的方程為。 11. 過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線與交于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則。 兩點(diǎn)，那么線段交于的中點(diǎn)坐標(biāo)是。與拋物線12. 已知直線 解答題：三. 13. 已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，拋物線上一點(diǎn)

8、到焦點(diǎn)的距離是5，求拋物線的方程。 所平分，求的弦，恰被所在直線方程。14. 過(guò)點(diǎn)（4，1）作拋物線 。 15. 設(shè)點(diǎn)F（1軸上，0點(diǎn)在）軸上，且，M點(diǎn)在 點(diǎn)的軌跡 當(dāng)點(diǎn)的方程； 在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求 設(shè)是曲線上的三點(diǎn)，且成等差數(shù)列，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€ 的坐標(biāo)。 軸交于E（3，0）時(shí)，求點(diǎn)與 【綜合測(cè)試】 . 選擇題：一 的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5（2005上海）過(guò)拋物線，則這樣的直1. ）線（ A. 有且僅有一條 B. 有且僅有兩條 C. 有無(wú)窮多條 D. 不存在 2. （2005江蘇）拋物線上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（ ） A. B. C. D. 0

9、，若它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線與3. （2005遼寧）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為 拋物線的交點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是（ ） 21 D. C. B. A. 的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線的離心率4. （2005全國(guó)）已知雙曲線的一條準(zhǔn)線與拋物線 ）為（ A. B. C. D. 5. （2004全國(guó)）設(shè)拋物線，若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn) ）值范圍是（ A. B. C. D. 取得最小值，則的上的點(diǎn)，6. （2006是拋物線時(shí)為原點(diǎn)，當(dāng)山東）動(dòng)點(diǎn)最小值為（ ） A. B. C. D. 7. （2004北京）在一只杯子的軸截面中，杯子內(nèi)壁的曲線滿足拋物線方程，

10、在杯內(nèi)放一個(gè)小球， ） 的取值范圍是（要使球觸及杯子的底部，則該球的表面積 D. C. B. A. 及點(diǎn)到準(zhǔn)線8. 的準(zhǔn)線為，直線（2005北京）設(shè)拋物線與該拋物線相交于兩點(diǎn)，則點(diǎn) ） 的距離之和為（ A. 8 B. 7 C. 10 D. 12 二. 填空題： 9. （2004全國(guó)）設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸的距離之和的最 小值是。 10. （2005北京）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于軸的弦為，以為直徑的圓為，則圓與拋物線準(zhǔn) 線的位置關(guān)系是，圓的面積是。 ，0（軸交點(diǎn)坐標(biāo)為所在直線與，的一條弦已知拋物線遼寧）2005（11. 。2），則 的焦點(diǎn)在直線上，現(xiàn)將拋物線沿向量進(jìn)行平移，且使得拋12. （2004黃岡）已知拋物線 物線的焦點(diǎn)沿直線移到點(diǎn)處，則平移后所得拋物線被軸截得的弦長(zhǎng)。 三. 解答題： 13. （2004山東）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，直線過(guò)定點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)。 的值；若以弦為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)，求 在的條件下，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。 14. （2005四川） 如圖，是拋