概率論與數(shù)理統(tǒng)計：2_3連續(xù)型隨機變量

1、2.3 連續(xù)型隨機變量,一、定義： 設F(x)為隨機變量X的分布函數(shù)，若存在非負可積 函數(shù)f(x)，使得,則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱為 概率密度或密度函數(shù)或密度,二、性質(zhì)： （1） f(x)0,下頁,二、性質(zhì),4）在f(x)的連續(xù)點處有,5）連續(xù)型隨機變量取任何實數(shù)值a的概率等于0,由性質(zhì)(5)可得,下頁,例1.設隨機變量X的密度函數(shù)為,求（1）常數(shù)A,3）分布函數(shù)F(x,解: （1）由于f(x)是一個密度函數(shù)， 由,解得 A=2/3,注:(1)若概率密度中含有待定常 數(shù)，可由 確定,2)取值于某區(qū)間的概率等 于其密度函數(shù)在對應區(qū)間的積分,下頁,例1.設隨機變量

2、X的密度函數(shù)為,求（1）常數(shù)A,3）分布函數(shù)F(x,當0 x1時,當1x2時,當x2時,說明：注意分布函數(shù)的自變量取值范圍的劃分,下頁,例2.設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為,求：(1)X的密度函數(shù)f(x)； (2)P1X2,解,2): P1X2=F(2)-F(1),分布函數(shù)為,下頁,一) 均勻分布 如果隨機變量X的概率密度為,分布函數(shù)為,則稱X在區(qū)間a,b上服從均勻 分布。記為XUa,b,得：X 落在a,b內(nèi)任一小區(qū)間c,d內(nèi)的概率與該小區(qū)間的長度 成正比，而與該小區(qū)間的位置無關(guān),三 、常見連續(xù)型隨機變量的分布,下頁,例3.設隨機變量X在2，8上服從均勻分布，求二次方 程 y2+2Xy+9=0

3、有實根的概率,解： 方程有實根等價于4X2-360 , 即X3或X-3,由于X服從均勻分布，故X的概率密度為,從而，Py2+2Xy+9=0 有實根=PX3+PX-3,下頁,二) 指數(shù)分布,其中0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,分布函數(shù)為,指數(shù)分布常用來作各種“壽命”分布的近似，如電子元件的 壽命；動物的壽命；電話問題中的通話時間都常假定服從指數(shù) 分布,若隨機變量X的密度函數(shù)為,下頁,例4. 設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X（單位：分）服從參 數(shù)1/5的指數(shù)分布。等待服務時間若超過10分鐘，顧客就會離 去，若其一個月到銀行5次，以Y表示一個月內(nèi)顧客未等到服務而 離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分

4、布律，并求PY1,解： p=PX10=1- PX10,所以Y的分布律為,下頁,三)正態(tài)分布,1. 定義 若X的概率密度為,分布函數(shù)為,其中,(0)為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布。 記作 X N（,2,下頁,2. 正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)的圖形的性質(zhì),1）曲線關(guān)于x =對稱。 即 對于任意的 h 0有,P-h X = P X+h,x 離越遠，f(x)的值越小。即對于同樣長度的區(qū)間，X 落在離越遠的區(qū)間，概率越小,2）當 x =時，函數(shù)f(x)達到最大值,下頁,3）拐點：（，f()）； 水平漸近線：ox軸,4) 固定，改變值，曲線 f(x)形狀 不變，僅沿 x 軸

5、平移。可見確定曲線 p(x)的位置,5) 固定，改變值，則愈小時， f(x)圖形的形狀愈陡峭，X 落在附近的 概率越大,下頁,3. 標準正態(tài)分布 XN（0，1,當= 0，=1時(標準正態(tài)分布,標準正態(tài)分布的特點,下頁,4. 查標準正態(tài)分布函數(shù)表計算概率,4) P|X| 1.54 = 1-P|X| 1.54,例5. 設XN（0，1）,計算PX2.35 ； P-1.64 X0 .82 ； P|X| 1.54； P|X| 1.54,1）PX2.35 =（2.35）= 0.9906,2）P-1.64 X0 .82 = (0.82)-(-1.64,(0.82) -1- (1.64) = 0.7434,3

6、) P|X| 1.54= (1.54) (-1.54) =2(1.54) - 1= 0.8764,下頁,1,2,5. 正態(tài)分布函數(shù)查表計算,下頁,例6. 設X N (1，4)，求：(1) PX-2； (2) P2X5；(3) P|X|4,解： （1）PX-2=1 - PX-2,0.9332,1(-1.5)= (1.5,0.9938 - 0.9332= 0.0606,1- (1.5) - (- 2.5) = (2.5) - (1.5,3） P|X|4 = 1-P |X|4 = 1 - P - 4X4,2,0.97720.6915=0.2857,下頁,解: (1)所求概率為 PX60,1-0.84=0.16,2)設一周內(nèi)遲到次數(shù)為Y，離散型隨機變YB(5,0.16,所求概率為PY1,例7.某人上班所需的時間（單位:分）XN(50,100),已知上班時間 為早晨8時，他每天7時出門，試求： （1）某天遲到的概率； （2）某周(以5天計)最多遲到一次的概率,下頁,例8.公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下 來設計的.設男子身高XN(170,62),問車門高度應如何確定,解: 設車門高度為h cm,按設計要求,PX h0.01,或 PX h 0.99,下面我們來求滿足上式的最小的 h,因為XN(1