數(shù)學(xué)模型姜啟源第4版課件M02 2019 課件

1、,第二章,初等模型,2.1,光盤(pán)的數(shù)據(jù)容量,2.2,雙層玻璃窗的功效,2.3,劃艇比賽的成績(jī),2.4,實(shí)物交換,2.5,污水均流池的設(shè)計(jì),2.6,交通流與道路通行能力,2.7,核軍備競(jìng)賽,2.8,揚(yáng)帆遠(yuǎn)航,2.9,天氣預(yù)報(bào)的評(píng)價(jià),?,研究對(duì)象的機(jī)理比較簡(jiǎn)單,?,用靜態(tài)、線性、確定性模型即可達(dá)到建模目的,可以利用初等數(shù)學(xué)方法來(lái)構(gòu)造和求解模型,盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具來(lái)建模,如果用初等和高等的方法建立的模型，其應(yīng)用效果,差不多，那么初等模型更高明，也更受歡迎,.,初,等,模,型,2.1,光盤(pán)的數(shù)據(jù)容量,背景和問(wèn)題,?,20,世紀(jì),80,年代出現(xiàn)激光唱片,(CD),與激光視盤(pán),(LD),統(tǒng)稱,光盤(pán)，用

2、于儲(chǔ)存數(shù)字聲頻、視頻信號(hào)和計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)等,.,?,20,世紀(jì),90,年代出現(xiàn)數(shù)字視頻光盤(pán),(DVD).,?,21,世紀(jì)初光盤(pán)集計(jì)算機(jī)、光學(xué)記錄和影視技術(shù)為一體,帶動(dòng)了出版、廣播、通信、互聯(lián)網(wǎng)等行業(yè)的發(fā)展,.,CD,的數(shù)據(jù)容量,:,單層,650MB(,兆字節(jié),),DVD,的數(shù)據(jù)容量,:,單層,4.7GB(,千兆字節(jié),),從數(shù)學(xué)建模的角度研究,:,光盤(pán)的數(shù)據(jù)容量是,怎么確定的，在一定條件下怎樣使其最大化,.,調(diào)查和分析,45mm,120mm,2mm,信道間距,信道,(,螺旋線,),經(jīng)過(guò)編碼的數(shù)字信息，以,一定深度和寬度、不同長(zhǎng),度的凹坑的形式，用燒蝕,技術(shù)存儲(chǔ)在光盤(pán)表面呈螺,旋線形狀的信道上,.,當(dāng)

3、盤(pán)片上環(huán)形區(qū)域面積一定時(shí)，,數(shù)據(jù)容量,的大小,取決于,信道的總長(zhǎng)度,與信道上存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的,線密度,.,決定信道長(zhǎng)度和線密度大小的主要因素是所用,激光的波長(zhǎng),，和,驅(qū)動(dòng)光盤(pán)的機(jī)械形式,.,調(diào)查和分析,?,當(dāng)光盤(pán)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)激光束要能識(shí)別出信道上的凹坑,所攜帶的信息，必須精確地聚焦,.,數(shù)據(jù)容量,?,激光波長(zhǎng),?,驅(qū)動(dòng)形式,?,信道長(zhǎng)度,?,線密度,激光波長(zhǎng),?,光的衍射使激光束在光盤(pán)上形成圓狀的光斑,.,?,為了提高存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的線密度，應(yīng)該使光斑盡量小，,而光斑的大小與激光波長(zhǎng)成正比,.,激光器,激光波長(zhǎng),（,m,）,光斑直徑,（,m,）,信道間距,（,m,）,數(shù)據(jù)線密度,（字節(jié),/mm,）,紅外,(CD

4、),0.78,2,1.6,121,紅色,(DVD),0.64,0.925,0.74,387,藍(lán)色,(DVD),0.41,0.4,0.32,800,調(diào)查和分析,恒定角速度,(CA,V),驅(qū)動(dòng)光盤(pán)的機(jī)械形式,每一圈螺旋線上存儲(chǔ),同等數(shù)量的數(shù)據(jù)信息,容量取決于最內(nèi)圈的長(zhǎng),度、線密度以及總?cè)?shù),各圈螺旋線上數(shù)據(jù),的線密度不變,容量取決于固定的線,密度和螺旋線總長(zhǎng)度,恒定線速度,(CLV ),從光盤(pán)的容量比較，,CLV,優(yōu)于,CA,V,.,數(shù)據(jù)讀取時(shí)間,: CLV,每圈轉(zhuǎn)速不同，當(dāng)讀出磁頭在內(nèi)外,圈移動(dòng)時(shí)，需要等待光盤(pán)加速或減速，而,CA,V,不需要,.,對(duì)音樂(lè)、影像、計(jì)算機(jī)文件等按順序播放的信息，多用

5、,CLV;,對(duì)詞典、數(shù)據(jù)庫(kù)、人機(jī)交互等常要隨機(jī)查找的信息，多用,CA,V,.,模型建立,CLV(,恒定線速度,),光盤(pán),R,1,光盤(pán)環(huán)形區(qū)域內(nèi)圓半徑,R,2,外圓半徑,d,信道間距,CLV,CLV,L,C,?,?,L,CLV,信道總長(zhǎng)度,1,C,L,V,1,0,2,(,),n,k,L,R,k,d,?,?,?,?,?,?,2,1,2,1,(,),(,),R,R,R,R,d,d,?,?,?,?,?,2,2,2,1,C,L,V,(,),R,R,L,d,?,?,?,環(huán)形區(qū)域面積,/,信道間距,同心圓平均周長(zhǎng),*,總?cè)?shù),2,1,2,1,C,L,V,2,2,R,R,R,R,L,d,?,?,?,數(shù)據(jù)容量,

6、線密度,(,n,總?cè)?shù),),其他方法建模,模型建立,CA,V(,恒定角速度,),光盤(pán),螺旋線最內(nèi)圈的長(zhǎng)度近似為,2,R,1,總?cè)?shù)可視為,d,R,R,1,2,?,2,1,C,A,V,1,2,R,R,L,R,d,?,?,?,數(shù)據(jù)容量,L,CLV,信道總長(zhǎng)度,線密度,CAV,CAV,L,C,?,?,當(dāng)線密度,、信道間距,d,和外徑,R,2,給定后，,可選擇,環(huán)形區(qū)域的內(nèi)圓半徑,R,1,，使數(shù)據(jù)容量最大,.,模型求解,CLV(,恒定線速度,),光盤(pán),激光器,激光波長(zhǎng),(m),信道長(zhǎng)度,(mm),信息容量,(MB),影像時(shí)間,(min),紅外,(CD),0.78,5,611,179,679,18,紅色

7、,(DVD),0.64,12,132,279,4,695,126,藍(lán)色,(DVD),0.41,28,055,895,22,445,603,R,2,=58 mm ,R,1,=22.5 mm,2,2,2,1,C,L,V,(,),R,R,L,d,?,?,?,CD,信道長(zhǎng)度在,5km,以上，容量約,680 MB; DVD,容量在,GB,量級(jí),.,影像時(shí)間按照每秒鐘占用,0.62 MB,計(jì)算,.,模型求解,激光器,激光波長(zhǎng),(m),信道長(zhǎng)度,(mm),信息容量,(MB),影像時(shí)間,(min),紅外,(CD),0.78,3,302,599,400,11,紅色,(DVD),0.64,7,140,755,2,

8、764,74,藍(lán)色,(DVD),0.41,16,512,996,13,210,355,CA,V(,恒定角速度,),光盤(pán),2,1,C,A,V,1,2,R,R,L,R,d,?,?,?,CAV,CAV,L,C,?,?,2,2,2,R,d,?,?,即使在內(nèi)圓半徑的最佳選擇下，,CA,V,光盤(pán),的信息容量也小于,CLV,光盤(pán),.,R,1,=,R,2,/2,時(shí),L,CA,V,最大,2,d,墻,室,內(nèi),T,1,室,外,T,2,d,d,墻,l,室,內(nèi),T,1,室,外,T,2,問(wèn),題,雙層玻璃窗與同樣多材料的單層,玻璃窗相比，減少多少熱量損失,.,假,設(shè),?,熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流,.,?,T,1,T,2,

9、不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài),.,?,材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù),.,建,模,熱傳導(dǎo)定律,d,T,k,Q,?,?,Q,1,Q,2,Q,單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量,?,T,溫差,d,材料厚度,k,熱傳導(dǎo)系數(shù),2.2,雙層玻璃窗的功效,雙層,單,層,d,d,墻,l,室,內(nèi),T,1,室,外,T,2,Q,1,T,a,T,b,記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量,Q,1,T,a,內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度,T,b,外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度,k,1,玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù),k,2,空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù),d,T,T,k,Q,a,?,?,1,1,1,d,l,h,k,k,h,s,s,d,T,T,k,Q,?,?,?,?,?,),2,(,2,1,2,1,1

10、,1,建模,l,T,T,k,b,a,?,?,2,d,T,T,k,b,2,1,?,?,記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量,Q,2,d,T,T,k,Q,2,2,1,1,2,?,?,2,d,墻,室,內(nèi),T,1,室,外,T,2,Q,2,雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比,d,l,h,k,k,h,s,s,Q,Q,?,?,?,?,2,2,2,1,2,1,2,1,Q,Q,?,k,1,=48,?,10,-3,(J/cm,s,kw,h),k,2,=2.5,?,10,-4,k,1,/,k,2,=16,32,對(duì),Q,1,比,Q,2,的減少量,作最保守的估計(jì)，,取,k,1,/,k,2,=16,d,l,h,h,Q,Q,?,?,?,1,8,

11、1,2,1,),2,(,2,1,1,1,?,?,?,s,d,T,T,k,Q,建模,h,Q,1,/,Q,2,4,2,O,0.06,0.03,0.02,6,模型應(yīng)用,取,h,=,l/d,=4,則,Q,1,/,Q,2,=0.03,即雙層玻璃窗與同樣多材,料的單層玻璃窗相比，可,減少,97%,的熱量損失,.,結(jié)果分析,Q,1,/,Q,2,所以如此小，是由于層間空氣的熱傳導(dǎo)系,數(shù),k,2,極低,而這要求空氣非常干燥、不流通,.,房間通過(guò)天花板、墻壁、,損失的熱量更多,.,d,l,h,h,Q,Q,?,?,?,1,8,1,2,1,實(shí)際上雙層窗的功效不會(huì)如此之大,!,2.3,劃艇比賽的成績(jī),賽艇,2000m,

12、成績(jī),t,(min),種類,1 2 3 4,平均,單人,7.16 7.25 7.28 7.17 7.21,雙人,6.87 6.92 6.95 6.77 6.88,四人,6.33 6.42 6.48 6.13 6.32,八人,5.87 5.92 5.82 5.73 5.84,空艇重,w,0,(kg),槳手?jǐn)?shù),n,16.3,13.6,18.1,14.7,對(duì)四種賽艇,(,單人、雙人、四人、八人,) 4,次國(guó)際,大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與槳手?jǐn)?shù)有某,種關(guān)系,.,試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系,.,問(wèn),題,準(zhǔn),備,調(diào)查賽艇的尺寸和質(zhì)量,l,/,b,w,0,/,n,基本不變,艇長(zhǎng),l,艇寬,b l,/,b

13、,(m) (m),7.93 0.293 27.0,9.76 0.356 27.4,11.75 0.574 21.0,18.28 0.610 30.0,問(wèn)題分析,?,前進(jìn)阻力,浸沒(méi)部分與水的摩擦力,?,前進(jìn)動(dòng)力,槳手的劃槳功率,分析賽艇速度與槳手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系,賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定,:,劃槳,功率,賽艇,速度,賽艇,速度,前進(jìn),動(dòng)力,前進(jìn),阻力,槳手,數(shù)量,艇,重,浸沒(méi),面積,?,對(duì)槳手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定,.,?,運(yùn)用合適的物理定律建立模型,.,模型假設(shè),1,）艇形狀相同,(,l/b,為常數(shù),),w,0,與,n,成正比,2,）,v,是常數(shù)，阻力,f,與,sv,2,

14、成正比,符號(hào)：艇速,v,浸沒(méi)面積,s,浸沒(méi)體積,A,空艇重,w,0,阻力,f,槳手?jǐn)?shù),n,槳手功率,p,槳手體重,w,艇重,W.,艇的靜態(tài)特性,艇的動(dòng)態(tài)特性,3,）,w,相同，,p,不變，,p,與,w,成正比,槳手的特征,模型,建立,f,sv,2,?,p,w,?,v,(,n/s,),1/3,?,s,1/2,A,1/3,?,A,W,(=,w,0,+,nw,),n,?,?,s,n,2/3,?,v,n,1/9,?,比賽成績(jī),t,n,1/9,?,np fv,?,模型檢驗(yàn),n,t,1 7.21,2 6.88,4 6.32,8 5.84,b,an,t,?,11,.,0,21,.,7,?,?,n,t,n,b

15、,a,t,log,log,?,?,?,線性最小二乘法,利用,4,次國(guó)際大賽冠軍的平均,成績(jī)對(duì)模型,t,n,1/ 9,進(jìn)行檢驗(yàn),.,?,與模型吻合！,t,n,1,2,4,8,7.21,6.88,6.32,5.84,?,?,?,?,O,劃艇比賽的成績(jī),?,對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)做比較、分析，發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題,.,?,利用物理基本知識(shí)分析問(wèn)題,.,?,模型假設(shè)比較粗糙,.,?,利用合適的物理定律及簡(jiǎn)單的比例,方法建模,(,只考慮各種艇的相對(duì)速度,).,?,模型結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)十分吻合,(,巧合！,),問(wèn),題,甲有物品,X,乙有物品,Y,雙方為滿足更高的需要，,商定相互交換一部分,.,研究實(shí)物交換方案,.,y,x,p

16、,.,用,x,y,分別表示甲,(,乙,),占有,X,Y,的數(shù)量,.,設(shè)交換前甲占,有,X,的數(shù)量為,x,0,乙占有,Y,的,數(shù)量為,y,0,作圖：,若不考慮雙方對(duì),X,Y,的偏愛(ài)，則矩形內(nèi)任一點(diǎn),p,(,x,y,),都是一種交換方案：甲占有,(,x,y,),，乙占有,(,x,0,-,x, y,0,-,y,).,x,y,y,0,O,x,0,?,?,2.4,實(shí)物交換,x,y,y,0,y,1,y,2,O,x,1,x,2,x,0,p,1,p,2,.,.,甲的無(wú)差別曲線,分析與建模,如果甲占有,(,x,1,y,1,),與占有,(,x,2,y,2,),具有同樣的滿意程度,即,p,1,p,2,對(duì)甲是無(wú)差別的

17、,.,M,N,將所有與,p,1,p,2,無(wú)差別的點(diǎn),連接起來(lái),得到一條,無(wú)差別,曲線,MN.,線上各點(diǎn)的滿意度相同,線的形狀反映對(duì),X,Y,的偏愛(ài)程度,.,N,1,M,1,p,3,(,x,3,y,3,),.,比,MN,各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如,p,3,，在另一條無(wú)差別曲,線,M,1,N,1,上,于是形成一族無(wú)差別曲線（無(wú)數(shù)條）,.,y,?,x,?,p,1,.,y,?,x,?,p,2,.,c,1,?,y,O,x,f,(,x,y,)=,c,1,無(wú)差別曲線族的性質(zhì)：,?,單調(diào)減,(,x,增加,y,減小,),?,下凸,(,凸向原點(diǎn),),?,互不相交,在,p,1,點(diǎn)占有,x,少、,y,多，,寧愿以較多的,?

18、,y,換取,較少的,?,x,;,在,p,2,點(diǎn)占有,y,少、,x,多，,就要以較多的,?,x,換取,較少的,?,y,.,甲的無(wú)差別曲線族記作,f,(,x,y,)=,c,1,c,1,滿意度,（,f,等滿意度曲線）,甲的無(wú)差別曲線,x,y,O,g,(,x,y,)=,c,2,c,2,?,乙的無(wú)差別曲線族,g,(,x,y,)=,c,2,具有,相同性質(zhì)（形狀可以不同）,.,雙方的交換路徑,x,y,y,0,O,x,0,f,=,c,1,O,x,y,g,=,c,2,乙的無(wú)差別曲線族,g,=,c,2,(,坐標(biāo)系,x,O,y,且反向）,甲的無(wú)差別曲線族,f,=,c,1,A,B,p,?,P,?,雙方滿意的交換方案必

19、,在,AB,（交換路徑）上,!,因?yàn)樵?AB,外的任一點(diǎn),p,(,雙方,),滿意度低于,AB,上的點(diǎn),p.,兩族曲線切點(diǎn)連線記作,AB,分析與建模,A,B,交換方案的進(jìn)一步確定,交換方案,交換后甲的占有量,(,x,y,),0,?,x,?,x,0, 0,?,y,?,y,0,矩形內(nèi)任一點(diǎn),交換路,徑,AB,雙方的無(wú)差別曲線族,X,Y,用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè),交換前,x,0,y,0,價(jià)值相同，則等,價(jià)交換原則下交換路徑為,C,D,(,x,0,0), (0,y,0,),兩點(diǎn)的連線,CD,.,AB,與,CD,的交點(diǎn),p,設(shè),X,單價(jià),a,Y,單價(jià),b,則等價(jià)交換下,ax,+,by,=,s,(,s=ax,0

20、,=by,0,),等價(jià)交,換原則,x,0,y,y,0,O,.,.,x,p,.,2.5,污水均流池的設(shè)計(jì),城市生活污水的流量是時(shí)刻變化的,在凈化處理,前需要先進(jìn)入一個(gè)集中、儲(chǔ)存的大池子，再通,過(guò)水泵和輸水管以恒定的流量流向凈化設(shè)備,.,背景和問(wèn)題,集中、儲(chǔ)存、均衡調(diào)節(jié)流量的池子稱為,均流池,.,根據(jù)污水的流量設(shè)計(jì),均流池的容積,及水泵和輸水,管的規(guī)格；在一定條件下按照施工成本最小的原,則確定,均流池的具體尺寸,.,調(diào)查和分析,除了節(jié)假日等特殊情況以外，生活污水進(jìn)入均流池,的流量是,以天為周期,變化的,.,典型調(diào)查得到以小時(shí)為單位間隔、一天的污水流量,(m,3,/s),時(shí)間,(h),0,1,2,3

21、,4,5,6,7,流量,0.0417,0.0321,0.0236,0.0185,0.0189,0.0199,0.0228,0.0369,時(shí)間,(h),8,9,10,11,12,13,14,15,流量,0.0514,0.0630,0.0685,0.0697,0.0725,0.0754,0.0761,0.0775,時(shí)間,(h),16,17,18,19,20,21,22,23,流量,0.0810,0.0839,0.0863,0.0807,0.0781,0.0690,0.0584,0.0519,污水一天,進(jìn)入均流池的平均流量,（忽略蒸發(fā)等損失）,=,從均流池用水泵,打入凈化設(shè)備的恒定流量,?,由以小時(shí)

22、為單位間隔的,污水流入量,和從均流池到凈化設(shè),備的,恒定流出量,，可得,均流池,中污水隨時(shí)間變化,的容量,.,調(diào)查和分析,?,均流池的容積應(yīng)該按照污水的,最大容量,，并考慮留有,一定,裕量,來(lái)設(shè)計(jì),.,?,均流池的,面積,可以由它的容積和深度得到,.,?,均流池的,施工成本,：底部單位面積的成本，四條邊上,單位長(zhǎng)度的施工成本,.,?,均流池的形狀一般為,矩形,，其,深度,通常按照工程需要,（底部需安裝設(shè)備、進(jìn)行清理等）確定,.,模型假設(shè)與建立,?,以調(diào)查得到的一天的污水流量為依據(jù)，并留有,25%,的,裕量進(jìn)行均流池的設(shè)計(jì),.,?,均流池的深度為,3m,，施工成本：底部面積,340,元,/m,2

23、,，,兩條長(zhǎng)邊及一條短邊,250,元,/m,，另一條短邊,450,元,/m.,模型,1,均流池的恒定流出量和最大容量模型,?,?,?,23,0,),(,24,1,t,t,f,g,流量單位換算成,m,3,/h,記為,f,(,t,),平均流入量,=,恒定流出量,=203.67(m,3,/h ),設(shè)計(jì)流量,255 m,3,/h (25%,的裕量,),0,5,10,15,20,25,50,100,150,200,250,300,350,t,f,g= 203.67,f,(,t,),模型,1,均流池中污水的容量為,c,(,t,) (m,3,),),0,(,),24,(,23,2,1,0,),(,),(,)

24、,1,(,c,c,t,g,t,f,t,c,t,c,?,?,?,?,?,?,?,時(shí)間,0,1,2,3,4,5,6,7,容量,0,?,53.55,?,141.66,?,260.37,?,397.44,?,533.07,?,665.10,?,786.69,時(shí)間,8,9,10,11,12,13,14,15,容量,?,857.52,?,876.15,?,853.02,?,810.09,?,762.84,?,705.51,?,637.74,?,567.45,時(shí)間,16,17,18,19,20,21,22,23,容量,?,492.12,?,404.19,?,305.82,?,198.81,?,111.96,

25、?,34.47,10.26,16.83,時(shí)間,0,1,2,3,4,5,6,7,容量,876.15,822.60,734.49,615.78,478.71,343.08,211.05,89.46,時(shí)間,8,9,10,11,12,13,14,15,容量,18.63,0,23.13,66.06,113.31,170.64,238.41,308.70,時(shí)間,16,17,18,19,20,21,22,23,容量,384.03,471.96,570.33,677.34,764.19,841.68,886.41,892.98,設(shè),c,(0)=0,c,(9),最小,設(shè),c,(9)=0,c,(23),最大,模型

26、,1,0,5,10,15,20,25,50,100,150,200,250,300,350,t,f,g= 203.67,f,(,t,),0,5,10,15,20,25,-1000,-500,0,500,1000,t,c,c(0)=0,c(0)=876.15,c,(,t,),f,(,t,),g f,(,t,),g,c,(,t,),最小,f,(,t,),g,f,(,t,),g,c,(,t,),最大,最大容量為,892.98m,設(shè)計(jì)容量,1116 m,3,(25%,的裕量,),模型,2,均流池的具體尺寸模型,設(shè)計(jì)容量,1116 m,3,深度,3m,施工成本：底部面積,340,元,/m,2,兩長(zhǎng)邊及一

27、短邊,250,元,/m,另一短邊,450,元,/m.,l,長(zhǎng)邊長(zhǎng)度，,w,短邊長(zhǎng)度,底部面積,l w,=372,w,=372/,l,l,l,l,S,/,260400,500,126480,),(,?,?,?,82,.,22,500,/,260400,?,?,l,建造一個(gè),23 m,16.5m,的均流池，成本約,15,萬(wàn)元,.,w,w,l,lw,w,l,S,450,),2,(,250,340,),(,?,?,?,?,S,(,l,)=149301,元,w,=16.30m,2.6,交通流與道路通行能力,現(xiàn)代城市生活中交通擁堵是普遍存在的現(xiàn)象，,在許多平面交叉路口，紅燈后面總是排著長(zhǎng)長(zhǎng),的汽車隊(duì)伍等待

28、放行,.,背景和問(wèn)題,通過(guò)信號(hào)燈控制等管理手段提高道路通行能力，,已經(jīng)成為城市交通工程面臨的重要課題之一,.,?,介紹交通流的基本參數(shù)及它們之間的關(guān)系,;,?,討論一般道路及信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力,.,交通流的基本參數(shù)及其特性,流量,q,某時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)道路某斷面的車輛數(shù),(,輛,/h ),密度,k,某時(shí)刻通過(guò)道路某斷面單位長(zhǎng)度內(nèi)的車輛數(shù),(,輛,/km,),速度,v,某時(shí)刻通過(guò)道路某斷面的車輛速度,(km/h),交通流,標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的小型汽車在單方向道路上行駛形,成的車流，沒(méi)有外界因素如岔路、信號(hào)燈等的影響,.,借用物理學(xué)概念,將交通流看作一輛輛汽車組成的連續(xù),流體,用,流量、速度、

29、密度,3,個(gè)參數(shù)描述其基本特性,.,vk,q,?,3,個(gè)參數(shù)之間的基本關(guān)系,交通流的基本參數(shù)及其特性,速度,v,與密度,k,的關(guān)系,),/,1,(,j,f,k,k,v,v,?,?,線性模型,v,f,暢行車速,(,k,=0,時(shí),),k,j,阻塞密度,(,v,=0,時(shí),),適合車流,密度適中,的情況,對(duì)數(shù)模型,車流,密度較大,時(shí)適用,),/,ln(,1,k,k,v,v,j,?,指數(shù)模型,),/,ex,p(,j,f,k,k,v,v,?,?,車流,密度較小,時(shí)適用,v,1,k,=,k,j,/,e,時(shí)的車速,(,理論上,),由觀測(cè)數(shù)據(jù)確定,.,車流密度加大,司機(jī)被迫減速,交通流的基本參數(shù)及其特性,),/

30、,1,(,j,f,k,k,k,v,q,?,?,vk,q,?,),/,1,(,j,f,k,k,v,v,?,?,),/,1,(,f,j,v,v,v,k,q,?,?,速度,v,流量,q,v,m,v,m,k,m,k,m,q,m,q,m,v,f,v,f,k,j,k,j,0,0,0,密度,k,流量,q,k,m,=,k,j,/2,最大流量時(shí)的密度,v,m,=,v,f,/2,最大流量時(shí)的速度,城市干道的通行能力,道路通行能力,單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某斷面的最大車輛數(shù),.,?,交通流量遠(yuǎn)小于通行能力時(shí)，車速高，呈自由流狀態(tài),?,交通流量接近通行能力時(shí)，車速低，呈強(qiáng)制流狀態(tài)，,出現(xiàn)交通擁堵,.,飽和度,流量與通行能力的比

31、值,表示道路的負(fù)荷程度,.,城市干道的通行能力,在理想的道路和交通條件下，,當(dāng)具有標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度和技術(shù)指標(biāo)的車輛，以,前后兩車最小,車頭間隔連續(xù)行駛,時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)道路某斷面的,最大車輛數(shù),N,(,輛,/h).,城市干道的通行能力,d,v,N,/,1000,?,v,車速,(km/h),，,d,最小車頭間隔,(m),?,d,主要由剎車距離決定，剎車距離與車速密切相關(guān),.,4,3,2,0,4,3,2,1,d,d,cv,vt,d,d,d,d,d,?,?,?,?,?,?,?,?,d,1,剎車時(shí)司機(jī)在反應(yīng)時(shí)間,t,0,內(nèi)汽車行駛的距離,.,d,2,剎車時(shí)從制動(dòng)器起作用到汽車停止行駛的距離,.,c,與路面阻

32、力、車重、濕度、坡度等有關(guān)的系數(shù),.,d,3,兩車之間的安全距離，,d,4,車輛的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度,.,單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的最大車輛數(shù),N,城市干道的通行能力,d,v,N,/,1000,?,4,3,2,0,d,d,cv,vt,d,?,?,?,?,v,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,N,958,1208,1233,1173,1090,1006,928,858,797,742,交通工程的專業(yè)教材,:,司機(jī)剎車的反應(yīng)時(shí)間,t,0,=1s,，系數(shù),c,=0.01,安全距離,d,3,=2m,，小型車輛的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度,d,4,=5m.,當(dāng),t,0,，,c,，,d,3,，,d,4,變大時(shí)最大通

33、行能力,N,m,減小,.,),(,2,6,.,3,1000,4,3,0,d,d,c,t,N,m,?,?,?,最大通,行能力,v,d,d,cv,t,N,4,3,0,6,.,3,1000,?,?,?,?,c,d,d,v,4,3,?,?,最大制動(dòng)力與車的質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng),.,常數(shù),制動(dòng)距離與車速的模型,2,2,cv,d,?,制動(dòng)距離：制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候,設(shè)計(jì)制動(dòng)器的合理原則：,剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力,F,，,F,作的功等于汽車動(dòng)能的,改變，且,F,與車的質(zhì)量,m,成正比,.,F d,2,=,m v,2,/2,F,?,m,2,2,cv,d,?,模型假設(shè),信號(hào)燈控制的十字路

34、口的通行能力,西,東,南,北,相位,A,相位,B,相位,C,相位,D,信號(hào)燈控制采用,4,相位方案,典型的十字路口,東西方向有,3,條車道：,左轉(zhuǎn)、直行、直右混行,南北方向有,2,條車道：,左轉(zhuǎn)、直右混行,某一相位下每小時(shí)通過(guò)停止線,的最大車輛數(shù),(,單行道,),S,(,輛,/h),信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力,?,假設(shè)紅燈時(shí)車輛在停止線后排成一列等待，綠燈后,第,1,輛車立即啟動(dòng)通過(guò)停止線，其余車輛按照固定時(shí),間間隔通過(guò)停止線,.,T,(s),信號(hào)燈周期，,t,g,(s),某相位的綠燈時(shí)間,.,t,0,(s),綠燈后第,1,輛車通過(guò)停止線的時(shí)間,.,t,s,(s),直行或右轉(zhuǎn)車輛通過(guò)停止線

35、的時(shí)間,.,),1,(,3600,0,?,?,?,s,g,t,t,t,T,S,?,?,反映車輛通過(guò)路口不均勻性的折減系數(shù),.,信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力,),1,(,3600,0,?,?,?,s,g,t,t,t,T,S,?,G,=,t,g,/,T,綠燈時(shí)間與信號(hào)燈周期之比,(,綠信比,),Q,= 3600/,t,s,小時(shí)流量,(,按每,t,s,(s),通過(guò)一輛車計(jì)算,),GQ,?,?,每小時(shí)通過(guò)停止線,的最大車輛數(shù),實(shí)地調(diào)查高峰時(shí)段,4,個(gè)相位通行的實(shí)際流量,q,A,q,B,q,C,q,D,調(diào)整,4,個(gè)相位的綠信比,使,G,A,:,G,B,:,G,C,:,G,D,q,A,:,q,B,:,q

36、,C,:,q,D,?,t,0,=2.3s,，,t,s,=2.5s(,小型車輛,)3.5s(,大型車輛,),，,對(duì)直行或右轉(zhuǎn),=0.9(,左轉(zhuǎn)更小,),?,2.7,核軍備競(jìng)賽,?,冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全,實(shí)行,“核威懾戰(zhàn)略”,核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí),.,?,隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束,雙方通過(guò)了,一系列核裁軍協(xié)議,.,?,在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無(wú)限擴(kuò)張,而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài),.,?,當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多,彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí),平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化,.,?,估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量,這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響,.,背,景,與,問(wèn),題,以雙方,(,戰(zhàn)

37、略,),核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小,.,假定雙方采取如下同樣的,核威懾戰(zhàn)略：,?,認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾,其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；,?,己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的,核導(dǎo)彈，給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊,.,在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核,導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地,.,摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的,攻擊精度和另一方的防御能力決定,.,模,型,假,設(shè),圖,的,模,型,y,=,f,(,x,),甲有,x,枚導(dǎo)彈,乙所需的最少導(dǎo)彈數(shù),(,乙安全線,),x,=,g,(,y,),乙有,y,枚導(dǎo)彈,甲所需的最少導(dǎo)彈數(shù),(,甲安全線,),當(dāng),x,=

38、0,時(shí),y,=,y,0,，,y,0,乙方的,威懾值,x,y,y,?,?,0,x,y,y,0,O,x,y,x,f,y,y,?,?,?,?,0,0,),(,y,0,甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒(méi)有導(dǎo)彈，乙方,為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù),.,x,1,x,0,y,1,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),x,y,O,y,0,y,=,f,(,x,),y,=,f,(,x,),乙安全區(qū),甲,安,全,區(qū),雙方,安全區(qū),P,平衡點(diǎn),(,雙方最少導(dǎo)彈數(shù),),乙安全線,分析,模型,乙方,殘存率,s,甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè),基地，基地未被摧毀的概率,.,sx,個(gè)基地未被摧毀，,y,x,個(gè)基地

39、未被攻擊,.,xy,甲方以,x,枚導(dǎo)彈攻擊乙方,y,個(gè)基地中的,x,個(gè),y,0,=,sx,+,y,x,x=y,y,0,=,sy,乙的,x,y,個(gè)基地被攻擊,2,次,s,2,(,x,y,),個(gè)未被摧毀,;,y,(,x,y,)=2,y,x,個(gè)被攻擊,1,次,s,(2,y,x,),個(gè)未被摧毀,.,y,0,=,s,2,(,x,y,)+,s,(2,y,x,),x,=2,y,y,0,=,s,2,y,yx,2,y,x,s,s,s,s,y,y,?,?,?,?,?,2,1,),2,(,0,y,=,y,0,+(1,s,),x,y,=,y,0,/,s,y,=,y,0,/,s,2,y,x,a,s,y,s,y,y,/,

40、0,0,?,?,x,=,a y,分析,模型,x=y, y,=,y,0,/,s,x,=2,y, y,=,y,0,/,s,2,y,0,威懾值,s,殘存率,y,=,f,(,x,),利用微積分知識(shí)可知,y,是一條上凸的曲線，且,?,y,0,變大，曲線上移、變陡,.,?,s,變大，,y,減小，曲線變平,.,x,y,O,y,0,xy, y,=,y,0,+(1,s,),x,x=y,x,=2,y,yx,2,y,x,s,s,s,s,y,y,?,?,?,?,?,2,1,),2,(,0,?,甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo),.,乙方威懾值,y,0,變大,x,y,O,y,0,x,0,P,(,x,m,y,m,

41、),x,=,g,(,y,),y,=,f,(,x,),m,m,m,m,y,y,x,x,?,?,?,?,甲方的被動(dòng)防御也會(huì)使雙方軍備競(jìng)賽升級(jí),.,),(,m,m,y,x,P,?,?,?,（其他因素不變）,乙安全線,y,=,f,(,x,),上移,模型解釋,平衡點(diǎn),P,?,P,?,甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架,.,乙安全線,y,=,f,(,x,),不變,甲方殘存率變大,威懾值,x,0,不變,x,減小，甲安全線,x,=,g,(,y,),向,y,軸靠近,m,m,m,m,y,y,x,x,?,?,?,?,x,y,O,y,0,x,0,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),y,=,f,(,

42、x,),),(,m,m,y,x,P,?,?,?,模型解釋,甲方這種單獨(dú)行為，會(huì)使雙方的核導(dǎo)彈減少,.,P,?,P,?,雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo),.,(,x,y,仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量,),雙方威懾值,x,0,y,0,和殘存率,s,均減小,.,y,0,減小,?,y,下移且變平,x,y,O,y,0,x,0,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),y,=,f,(,x,),P,?,P,?,?,s,變小,?,y,增加且變陡,雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析,.,?,P,P,?,?,模型解釋,乙安全線,y,=,f,(,x,),?,P,P,?,?,?,核,軍,

43、備,競(jìng),賽,?,對(duì),“核威懾戰(zhàn)略”,做一些合理、簡(jiǎn)化假設(shè)，用圖,的模型描述雙方核武器相互制約、達(dá)到平衡的過(guò)程,.,?,提出,安全曲線,概念，給出它的一般形式,.,?,通過(guò)更精細(xì)的分析找到影響安全線的參數(shù)：,威懾值,和殘存率,，給出安全線的分析表達(dá)式,.,?,利用模型對(duì)核軍備競(jìng)賽中的一些現(xiàn)象作出合理解釋,.,帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定,最佳的航行方向及帆的朝向,.,簡(jiǎn)化問(wèn)題,A,B,?,?,?,風(fēng)向,北,航向,帆船,海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船,要從,A,點(diǎn)駛向正東方的,B,點(diǎn)，,確定起航時(shí)的航向,?,，,帆,?,以及帆的朝向,?,.,2.8,揚(yáng)帆遠(yuǎn)航,模型分析,?,風(fēng),(,通過(guò)帆,),對(duì)船的推力,w

44、,?,風(fēng)對(duì)船體部分的阻力,p,推力,w,的分解,?,?,?,w,p,阻力,p,的分解,w=w,1,+w,2,w,1,w,2,w,1,=f,1,+f,2,f,1,f,2,p,2,p,1,p,=,p,1,+,p,2,模型,假設(shè),?,w,與帆迎風(fēng)面積,s,1,成正比，,p,與船迎風(fēng)面積,s,2,成正比，比例系數(shù)相同且,s,1,遠(yuǎn)大于,s,2 .,f,1,航行方向的推力,p,1,航行方向的阻力,w,1,=,w,sin(,?,?,),f,1,=w,1,sin,?,=w,sin,?,sin(,?,?,),p,1,=,p,cos,?,模型,假設(shè),?,?,?,w,p,w,1,w,2,f,1,f,2,p,2,p

45、,1,?,w,2,與帆面平行，可忽略,.,?,f,2,p,2,垂直于船身，可由舵抵消,.,模型,建立,w=ks,1, p=ks,2,船在正東方向速度分量,v,1,=,v,cos,?,?,航向速度,v,與力,f=f,1,p,1,成正比,.,v,=,k,1,(,f,1,p,1,),v,1,v,2),令,?,=,?,/2,v,1,=,k,1,w,(1,cos,?,)/2,p,cos,?,cos,?,求,?,使,v,1,最大,（,w=ks,1,p=ks,2,）,1),當(dāng),?,固定時(shí)求,?,使,f,1,最大,f,1,=,w,cos(,?,2,?,),cos,?,/2,?,=,?,/2,時(shí),f,1,=,w

46、,(1,cos,?,)/2,最大,= k,1,(,f,1,p,1,)cos,?,f,1,=w,1,sin,?,=w,sin,?,sin(,?,?,),p,1,=p,cos,?,求,?,?,使,v,1,最大,模型建立,v,1,=,v,cos,?,?,?,?,w,p,w,1,w,2,f,1,f,2,p,2,p,1,v,1,v,模型求解,60,o,?, 75,o,1,t, 2,?,?,cos,),cos,1,(,2,1,t,k,v,?,?,),2,1,(cos,4,1,2,2,2,t,t,t,k,?,?,?,?,v,1,最大,2,),2,1,(,2,1,cos,1,2,?,?,?,?,?,?,?,s

47、,s,t,t,備,注,?,只討論起航時(shí)的航向，是靜態(tài)模型,.,?,航行過(guò)程中終點(diǎn),B,將不在正東方，應(yīng)調(diào)整,?,和,?,.,記,t,=1+2,s,2,/,s,1,k,2,=,k,1,w,/2,=(,k,1,w,/2)1,(1+2,p/w,)cos,?,cos,?,w=ks,1, p=ks,2,1/4cos,?,1/2,模型求解,v,1,=,k,1,w,(1,cos,?,)/2,p,cos,?,cos,?,s,1,s,2,2.8,天氣預(yù)報(bào)的評(píng)價(jià),明天是否下雨的天氣預(yù)報(bào)以,有雨概率,形式給出,.,問(wèn)題,已得到某地一個(gè)月,4,種預(yù)報(bào)方法,的有雨概率,預(yù)報(bào)，和實(shí)際上有雨或無(wú)雨的,觀測(cè)結(jié)果,.,日期,預(yù)

48、報(bào),A(%),預(yù)報(bào),B (%),預(yù)報(bào),C (%),預(yù)報(bào),D (%),實(shí)測(cè),(,有雨,=1,無(wú)雨,=0),1,90,30,90,60,1,2,40,30,50,80,1,30,15,10,30,20,10,0,30,31,80,30,50,10,0,怎樣根據(jù)這些數(shù)據(jù)對(duì),4,種預(yù)報(bào)方法給以評(píng)價(jià),9,天,有雨,22,天,無(wú)雨,全,相,同,計(jì)數(shù)模型,根據(jù)明天是否有雨的實(shí)測(cè)，統(tǒng)計(jì)預(yù)報(bào)的,正確率,有雨概率,=50%,毫無(wú)意義,不予統(tǒng)計(jì),預(yù)報(bào),C,2,17,5,預(yù)報(bào),實(shí)測(cè),有雨,有雨,無(wú)雨,無(wú)雨,3,預(yù)報(bào),D,2,6,預(yù)報(bào),實(shí)測(cè),有雨,有雨,無(wú)雨,無(wú)雨,0,21,6,預(yù)報(bào),實(shí)測(cè),有雨,有雨,無(wú)雨,無(wú)雨,10

49、,3,11,預(yù)報(bào),A,預(yù)報(bào),實(shí)測(cè),有雨,有雨,無(wú)雨,無(wú)雨,0,9,0,22,預(yù)報(bào),B,明天有雨概率,50%,預(yù)報(bào)有雨,明天有雨概率,50%,預(yù)報(bào)無(wú)雨,正確率,0.57,正確率,0.71,正確率,0.81,正確率,0.93,計(jì)數(shù)模型,從實(shí)用角度看，更重要的是,誤報(bào)率,.,預(yù)報(bào)無(wú)雨,而,實(shí)測(cè)有雨,的概率,P,2,預(yù)報(bào)有雨,而,實(shí)測(cè)無(wú)雨,的概率,P,1,預(yù)報(bào),C,2,17,5,預(yù)報(bào),實(shí)測(cè),有雨,有雨,無(wú)雨,無(wú)雨,3,預(yù)報(bào),D,2,6,預(yù)報(bào),實(shí)測(cè),有雨,有雨,無(wú)雨,無(wú)雨,0,21,6,預(yù)報(bào),實(shí)測(cè),有雨,有雨,無(wú)雨,無(wú)雨,10,3,11,預(yù)報(bào),A,設(shè)兩種后果的損失之比為,1 : 2,P,1,=10/16

50、,P,2,=3/14,誤報(bào)率,P,=,P,1,/3+2,P,2,/3=,0.35,誤報(bào)率,P,=0.20,誤報(bào)率,P,=0.06,造成預(yù)防費(fèi)用浪費(fèi),預(yù)防不足導(dǎo)致?lián)p失,誤報(bào)率,P,=,P,1,/3+2,P,2,/3,缺點(diǎn),:,未考慮預(yù)報(bào)概率的具體值,記分模型,將預(yù)報(bào)有雨概率與實(shí)測(cè)結(jié)果比較并記分,模型,1,p,k,第,k,天預(yù)報(bào)有雨概率,v,k,=1,第,k,天有雨，,v,k,=0,無(wú)雨,第,k,天的預(yù)報(bào)得分,?,?,?,?,?,?,?,?,0,5,.,0,1,5,.,0,k,k,k,k,k,v,p,v,p,s,對(duì),k,求和得到預(yù)報(bào)的分?jǐn)?shù),S,1,S,1,(A),=1.0,，,S,1,(B) =

51、2.6,，,S,1,(C) = 7.0,，,S,1,(D) = 6.7,預(yù)報(bào)有雨概率,0.5,得到相應(yīng)的負(fù)分,實(shí)測(cè),有雨,預(yù)報(bào)有雨概率,0.5,得到相應(yīng)的正分,S,1,越大越好,記分模型,模型,2,p,k,第,k,天預(yù)報(bào)有雨概率,v,k,=1,第,k,天有雨，,v,k,=0,無(wú)雨,k,k,k,v,p,s,?,?,第,k,天的預(yù)報(bào)得分,對(duì),k,求和得到預(yù)報(bào)的分?jǐn)?shù),S,2,S,2,越小越好,S,2,(A),=14.5,，,S,2,(B) = 12.9,，,S,2,(C) = 8.5,，,S,2,(D) = 8.8,模型,3,2,),(,k,k,k,v,p,s,?,?,第,k,天的預(yù)報(bào)得分,對(duì),k,

52、求和得到預(yù)報(bào)的分?jǐn)?shù),S,3,S,3,越小越好,S,3,(A),=8.95,，,S,3,(B) = 6.39,，,S,3,(C) =4.23,，,S,3,(D) =3.21,記分模型,S,2,(A),=14.5,，,S,2,(B) = 12.9,，,S,2,(C) = 8.5,，,S,2,(D) = 8.8,S,3,(A),=8.95,，,S,3,(B) = 6.39,，,S,3,(C) =4.23,，,S,3,(D) =3.21,S,1,(A),=1.0,，,S,1,(B) = 2.6,，,S,1,(C) = 7.0,，,S,1,(D) = 6.7,模型,1, 2,對(duì),4,種預(yù)報(bào)的優(yōu)劣排序、相

53、對(duì)分差都相同,f,理論上的有雨概率,2,2,2,),1,(,),1,(,),(,),(,p,f,p,f,v,p,E,S,E,?,?,?,?,?,?,2,),(,),1,(,f,p,f,f,?,?,?,?,模型,3,的期望分?jǐn)?shù),p,預(yù)報(bào)有雨概率,v,=1,有雨，,v,=0,無(wú)雨,P,(,v,=1)=,f,P,(,v,=0)= 1,f,比較模型,3,與模型,2,的優(yōu)劣,p,=,f,時(shí),E,(,S,),最小,等價(jià),!,n,v,p,S,),(,?,?,考察一般模型,求,E,(,S,),的極值,此意義下模型,3,最佳！,僅當(dāng),n,=2,時(shí),p,=,f,才能,E,(,S,),最小,圖形模型,(1) (1) (1) (3) (1) (2),