初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題培訓(xùn)(3)：實(shí)數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用

1、 鼎吉教育（Dinj Education）中小學(xué)生課外個(gè)性化輔導(dǎo)中心資料 初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題培訓(xùn)講練初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題培訓(xùn)第三講 實(shí)數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用學(xué)習(xí)地址：佛山市南海區(qū)南海大道麗雅苑中區(qū)雅廣居2 D 第3頁(yè) 咨詢熱線13760993549（吉老師）實(shí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)特別是微積分的重要基礎(chǔ)在初中代數(shù)中沒(méi)有系統(tǒng)地介紹實(shí)數(shù)理論，是因?yàn)樗婕暗綐O限的概念這一概念對(duì)中學(xué)生而言，有一定難度但是，如果中學(xué)數(shù)學(xué)里沒(méi)有實(shí)數(shù)的概念及其簡(jiǎn)單的運(yùn)算知識(shí)，中學(xué)數(shù)學(xué)也將無(wú)法繼續(xù)學(xué)習(xí)下去了例如，即使是一元二次方程，只有有理數(shù)的知識(shí)也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用的因此，適當(dāng)學(xué)習(xí)一些有關(guān)實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用這些知

2、識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題的基本方法，不僅是為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，而且也是初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所不可缺少的本講主要介紹實(shí)數(shù)的一些基本知識(shí)及其應(yīng)用用于解決許多問(wèn)題，例如，不難證明：任何兩個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)，或者說(shuō)，有理數(shù)對(duì)加、減、乘、除(零不能做除數(shù))是封閉的性質(zhì)1 任何一個(gè)有理數(shù)都能寫(xiě)成有限小數(shù)(整數(shù)可以看作小數(shù)點(diǎn)后面為零的小數(shù))或循環(huán)小數(shù)的形式，反之亦然例1分析 要說(shuō)明一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，其關(guān)鍵要看它能否寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)比的形式證 設(shè)兩邊同乘以100得-得99x=261.54-2.61=258.93，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱為無(wú)理數(shù)有理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算是封閉的，而無(wú)理是說(shuō)，無(wú)理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算是不封閉的，但它有如下性

3、質(zhì) 性質(zhì)2 設(shè)a為有理數(shù)，b為無(wú)理數(shù)，則(1)a+b，a-b是無(wú)理數(shù)；有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，即在實(shí)數(shù)集內(nèi)，沒(méi)有最小的實(shí)數(shù)，也沒(méi)有最大的實(shí)數(shù)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，可以比較大小全體實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的所有點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的在實(shí)數(shù)集內(nèi)進(jìn)行加、減、乘、除(除數(shù)不為零)運(yùn)算，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)(即實(shí)數(shù)對(duì)四則運(yùn)算的封閉性)任一實(shí)數(shù)都可以開(kāi)奇次方，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)；只有當(dāng)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)時(shí)，才能開(kāi)偶次方，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)例2分析證所以分析 要證明一個(gè)實(shí)數(shù)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是一件極難辦到的事由于有理數(shù)與無(wú)理數(shù)共同組成了實(shí)數(shù)集，且二者是矛盾的兩個(gè)對(duì)立面，所以，判定一個(gè)實(shí)數(shù)是無(wú)理數(shù)時(shí)，常常采用反證法證 用反證法所以p一定是偶數(shù)設(shè)p=2m

4、(m是自然數(shù))，代入得4m22q2，q22m2，例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2為有理數(shù)，a為無(wú)理數(shù))，則a1=a2，b1=b2，反之，亦成立分析 設(shè)法將等式變形，利用有理數(shù)不能等于無(wú)理數(shù)來(lái)證明證 將原式變形為(b1-b2)a=a2-a1若b1b2，則反之，顯然成立說(shuō)明 本例的結(jié)論是一個(gè)常用的重要運(yùn)算性質(zhì)是無(wú)理數(shù)，并說(shuō)明理由整理得：由例4知aAb，1=A，說(shuō)明 本例并未給出確定結(jié)論，需要解題者自己發(fā)現(xiàn)正確的結(jié)有理數(shù)作為立足點(diǎn)，以其作為推理的基礎(chǔ)例6 已知a，b是兩個(gè)任意有理數(shù)，且ab，求證：a與b之間存在著無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)(即有理數(shù)集具有稠密性)分析 只要構(gòu)造出符合

5、條件的有理數(shù)，題目即可被證明證 因?yàn)閍b，所以2aa+b2b，所以說(shuō)明 構(gòu)造具有某種性質(zhì)的一個(gè)數(shù)，或一個(gè)式子，以達(dá)到解題和證明的目的，是經(jīng)常運(yùn)用的一種數(shù)學(xué)建模的思想方法例7 已知a，b是兩個(gè)任意有理數(shù)，且ab，問(wèn)是否存在無(wú)理數(shù)，使得ab成立？即 由，有存在無(wú)理數(shù)，使得ab成立b4+12b3+37b2+6b-20的值分析 因?yàn)闊o(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以不可能把一個(gè)無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分一位一位確定下來(lái)，這樣涉及無(wú)理數(shù)小數(shù)部分的計(jì)算題，往往是先估計(jì)它的整數(shù)部分(這是容易確定的)，然后再尋求其小數(shù)部分的表示方法14=9+6b+b2，所以b2+6b=5b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+26b3

6、+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=10例9 求滿足條件的自然數(shù)a，x，y解 將原式兩邊平方得由式變形為兩邊平方得例10 設(shè)an是12+22+32+n2的個(gè)位數(shù)字，n=1，2，3，求證：0.a1a2a3an是有理數(shù)分析 有理數(shù)的另一個(gè)定義是循環(huán)小數(shù)，即凡有理數(shù)都是循環(huán)小數(shù)，反之循環(huán)小數(shù)必為有理數(shù)所以，要證0.a1a2a3an是有理數(shù)，只要證它為循環(huán)小數(shù)因此本題我們從尋找它的循環(huán)節(jié)入手證 計(jì)算an的前若干個(gè)值，尋找規(guī)律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，發(fā)現(xiàn)：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，說(shuō)明0.a1a2an是由20個(gè)數(shù)字組成循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數(shù)，即下面證明ak+20=ak令f(n)=12+22+n2，當(dāng)f(n+20)-f(n)是10的倍數(shù)時(shí)，表明f(n+20)與f(n)有相同的個(gè)位數(shù)，而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+(n+20)2=10(2n2+42n)+(12+22+202)由