廣東省新興第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題理【含解析】

1、廣東省新興第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題 理（含解析）一、選擇題：共12題，每題5分，共60分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，若從這個(gè)10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由題意寫出成等比數(shù)列的10個(gè)數(shù)，然后找出小于8的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，代入古典概率的計(jì)算公式即可求解【詳解】解：由題意成等比數(shù)列的10個(gè)數(shù)為：1，其中小于8的項(xiàng)有：1，共6個(gè)數(shù)這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及古

2、典概率的計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題2.在平行四邊形ABCD中，則該四邊形的面積為( )A. B. C. 5D. 10【答案】D【解析】【分析】利用向量夾角公式可得，即可得出，.【詳解】，,所以，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積求向量的夾角，需熟記向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最大值和最小值分別為( )A. 1，B. ，C. 1，D. ，【答案】B【解析】【分析】由不等式組作出可行域，令，數(shù)形結(jié)合求出的最大值和最小值.【詳解】由作出可行域如圖，令，則，由圖可知，當(dāng)經(jīng)過時(shí)，截距最大，最大值為；當(dāng)過時(shí)，截距最小，最小值為，的最大值和最小值分別為.故選：B【點(diǎn)睛】

3、本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，解題的關(guān)鍵是作出約束條件的可行域、理解目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，它的前項(xiàng)和，前項(xiàng)和與前項(xiàng)和分別為，則下列等式中恒成立的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】方法一：取一個(gè)具體的等比數(shù)列驗(yàn)證即可.方法二：由題意可得也成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)即可求解.【詳解】方法一：取等比數(shù)列，令得代入驗(yàn)證，只有選項(xiàng)D滿足.方法二：由題意可得：若是公比不為1的等比數(shù)列，則也成等比數(shù)列，即也成等比數(shù)列，故,展開可得：,即 故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，需熟記為等比數(shù)列也為等比數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題.5.已知雙曲線(

4、a0，b0)的左頂點(diǎn)與拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)，則雙曲線的焦距為()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)漸近線與拋物線準(zhǔn)線交點(diǎn)坐標(biāo)，可知P的值，寫出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求雙曲線中，再結(jié)合雙曲線漸近線即可求出b,從而求出焦距.【詳解】雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)(2，1)，2，即p4，拋物線焦點(diǎn)F(2,0)，又雙曲線左頂點(diǎn)(a,0)到拋物線焦點(diǎn)距離為4，a2，又點(diǎn)(2，1)在雙曲線漸近線上，漸近線方程為yx，a2，b1，c，雙曲線的焦距為2c2，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

5、和幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于中檔題6.若，則( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用集合的補(bǔ)集的定義求出的補(bǔ)集；利用子集的定義判斷出【詳解】解：，故選：【點(diǎn)睛】本題考查利用集合的交集、補(bǔ)集、并集定義求交集、補(bǔ)集、并集；利用集合包含關(guān)系的定義判斷集合的包含關(guān)系7.是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)為( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)，然后令實(shí)部為0，虛部不為0建立關(guān)于的方程組解出即可.【詳解】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算要注意對(duì)實(shí)部、

6、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分.8.已知函數(shù)，若，則( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先計(jì)算出，再根據(jù)的值求出，即可得解.【詳解】解：，解得.于是，故選：【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分段函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用9.“數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“數(shù)列是常數(shù)列”的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】數(shù)列既是等差數(shù)列又是

7、等比數(shù)列，則可知是常數(shù)列，所以充分性成立；若是常數(shù)列，則不是等比數(shù)列，所以必要性不成立，所以“數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“數(shù)列是常數(shù)列”的充分不必要條件，故選A10.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)定義域及特殊點(diǎn)可判斷.【詳解】解：的圖象與軸交于，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正，故，定義域?yàn)槠浜瘮?shù)圖象間斷的橫坐標(biāo)為正，故.故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.11.已知函數(shù)f(x)若|f(x)|ax，則a的取值范圍是 ()A. (，0B. (，1C. 2,1D. 2,0【答案】D【解析】當(dāng)x0時(shí)，f(x)x

8、22x0恒成立，由|f(x)|ax得，x22xax，整理得x2(2a)x0，由于g(x)x2(2a)x0恒成立，因?yàn)間(0)0，所以0，解得a2，x0時(shí)，由于|f(x)|0，若|f(x)|ax恒成立，滿足ax0，同時(shí)滿足以上兩個(gè)條件2a012.三棱錐中，平面，的面積為2，則三棱錐的外接球體積的最小值為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意畫出圖形，設(shè)，由的面積為2，得，再由，得三角形外接圓的半徑，求出球心到平面的距離，再由勾股定理可得外接球的半徑，利用基本不等式求得最小值，代入球的體積公式求解【詳解】解：如圖，設(shè)，由的面積為2，得，三角形外接圓半徑，平面，到平面的距離為

9、，設(shè)球的半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立三棱錐的外接球體積的最小值為故選：【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐與球的位置關(guān)系，考查正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題二、填空題：共4題，每題5分，滿分共20分，把答案填在答題卷的橫線上.13.曲線y=x(3lnx+1)在點(diǎn)處的切線方程為_【答案】【解析】【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以在的切線斜率為，所以切線方程為，即.14.已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，則 _【答案】14【解析】【分析】設(shè)公差為，根據(jù)求出公差，即可求出其前項(xiàng)和公式，代入求解即可.【詳解】解：設(shè)公差為，則，把代入得，故故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.15.函數(shù)在處取得最

10、大值，則 _【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式、兩角差的正弦公式化簡解析式：，并求出和，由條件和正弦函數(shù)的最值列出方程，求出的表達(dá)式，由誘導(dǎo)公式求出的值【詳解】解：，其中，依題意可得，即，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式、誘導(dǎo)公式，以及正弦函數(shù)的最大值的應(yīng)用，考查化簡、變形能力16.已知圓和點(diǎn)，若定點(diǎn)和常數(shù)滿足，對(duì)圓上任意一點(diǎn)，都有，則 _ .【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，則對(duì)任意都成立，由此能求出、【詳解】解：圓和點(diǎn)，定點(diǎn)，和常數(shù)滿足：對(duì)圓上任意一點(diǎn)，都有，設(shè)，則，對(duì)任意都成立，由，得，且，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查圓、兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查

11、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，屬于中檔題三、解答題：第題為必做題，每題滿分各為分，第題為選做題，只能選做一題，滿分分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求邊長的值；（2）若的面積，求的周長.【答案】(1)5 (2) 【解析】【分析】（1）由圖及已知作垂直于，在直角三角形中求的長（2）由面積公式解出邊長，再由余弦定理解出邊長，求三邊的和即周長【詳解】解：解：（1）過作于，則由，在中，（2）由面積公式得得，又，得，由余弦定理得：，的周長【點(diǎn)睛】本題主要考查了射影定理及余弦定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題18.如圖，直三棱柱

12、中，分別是的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析 (2) 【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，由三角形中位線定理得，由此能證明平面（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值詳解】證明：證明：連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)又是的中點(diǎn)，連接，則因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?）由，可得：，即所以又因?yàn)橹崩庵?，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，設(shè)平面的法向量為，則且，可解得，令，得平面的一個(gè)法向量為， 同理可得平面的一個(gè)法向量

13、為， 則 所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識(shí)，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題19.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）談?wù)摵瘮?shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案】(1) 的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是 (2)見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，分，三種情況討論，由函數(shù)的定義域?yàn)轱@然沒有零點(diǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問題.【詳解】解：（1）， 故， 時(shí)，故單調(diào)遞減， 時(shí)，故單調(diào)遞增， 所以，時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是 （2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在處取最小值， 當(dāng)時(shí)，在其定義

14、域內(nèi)無零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，在其定義域內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，最小值，因?yàn)?，且在單調(diào)遞減，故函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，因，又在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，故在其定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)無零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，令，可得，分別畫出與，易得它們的圖象有唯一交點(diǎn)，即此時(shí)在其定義域內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)綜上，時(shí)，在其定義域內(nèi)無零點(diǎn)；或時(shí)，在其定義域內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，在其定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于中檔題.20.已知橢圓的焦距為4，且過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，取點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作直

15、線，問這樣作出的直線是否與橢圓一定有唯一的公共點(diǎn)？并說明理由.【答案】(1) (2) 直線與橢圓一定有唯一公共點(diǎn)，見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到關(guān)于、的方程組，解得.（2）由題意，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，由知，求出，根據(jù)對(duì)稱表示出點(diǎn)坐標(biāo)，即可表示出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程消元可得.【詳解】解：（1）因?yàn)榻咕酁?，所以，又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，故，從而橢圓的方程為已知橢圓的焦距為4，且過點(diǎn). （2）由題意，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，則，再由知，即. 由于，故，因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，所以點(diǎn).故直線的斜率. 又因在橢圓上，所以.從而，故直線的方程為 將代入橢圓方程，得 再將代入，化簡得：解得，即直線與橢

16、圓一定有唯一的公共點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查利用待定系數(shù)法求橢圓方程，直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題，屬于中檔題.21.心理學(xué)研究表明，人極易受情緒的影響，某選手參加7局4勝制的兵乒球比賽.（1）在不受情緒的影響下，該選手每局獲勝的概率為；但實(shí)際上，如果前一句獲勝的話，此選手該局獲勝的概率可提升到；而如果前一局失利的話，此選手該局獲勝的概率則降為，求該選手在前3局獲勝局?jǐn)?shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）假設(shè)選手的三局比賽結(jié)果互不影響，且三局比賽獲勝的概率為，記為銳角的內(nèi)角，求證：【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望1 (2)證明見解析【解析】【分析】（1）依題意前3局獲勝局?jǐn)?shù)可取，分別計(jì)算概率，列出分布列，即可

17、求出期望.（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式可得選手至少勝一局的概率為：且概率要小于，即可得證.【詳解】解：（1）依題意，可知可?。?隨機(jī)變量的分布列為：0123. （2）是銳角三角形，則三局比賽中，該選手至少勝一局的概率為：由概率的定義可知：，故有：【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算問題，屬于中檔題.選做題：請(qǐng)考生在下面兩題中任選一題作答.選修44：極坐標(biāo)與參數(shù)方程22.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q都在曲線上，且對(duì)應(yīng)參數(shù)值分別為與（），點(diǎn)M為PQ的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程（用作參數(shù)）；（2）將點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離表示為的函數(shù)，并判斷點(diǎn)的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn).【答案】（1）（）；（2）見解析.【解析】【分析】（1）分別求出，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式求出，再利用兩角和的余弦公式化簡可得，從而可判斷.【詳解】（1）由題意有 因此， 的軌跡的參數(shù)方程為（）（2）點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離： （） 當(dāng)時(shí)，故的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程、兩點(diǎn)間的距離公式以及兩角和的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.選修45