天津市十二重點中學2019屆高三數(shù)學下學期畢業(yè)班聯(lián)考試題二理含解析

1、天津市十二重點中學2019屆高三數(shù)學下學期畢業(yè)班聯(lián)考試題（二）理（含解析）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分.共150分.考試時間120分鐘注意事項：1答第卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目填涂在答題卡規(guī)定的位置上2第卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑；參考公式：如果事件、互斥，那么一.選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分 1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解絕對值不等式求出集合中的范圍，根據(jù)為整數(shù)求得集合；再根據(jù)并集定義求得結果.【詳解】 本題正確選項：【點睛】本題考查集合運算中的并集運算，其中涉

2、及到絕對值不等式的求解問題，屬于基礎題.2.設變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)約束條件做出可行域，將問題轉化成在軸截距最大的問題，可知當過點時截距最大，代入點坐標求得的最大值.【詳解】根據(jù)約束條件可得如下圖陰影部分所示的可行域： 則當在軸截距最大時，取最大值由平移可知，當過點時，截距最大由得：本題正確選項：【點睛】本題考查線性規(guī)劃中型的最值的求解，關鍵是將問題轉化為直線在軸截距的最值問題，通過平移來解決.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為9，則輸出的結果為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】按照程序框

3、圖運行程序，直到時，輸出結果即可.【詳解】按照程序框圖運行程序，輸入，不滿足，循環(huán)則，不滿足，循環(huán)則，不滿足，循環(huán)則，滿足，輸出結果本題正確選項：【點睛】本題考查程序框圖中根據(jù)循環(huán)結構計算輸出結果的問題，屬于基礎題.4.設，則“”是“”的()A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解不等式分別求出的范圍，根據(jù)解集的包含關系和充要條件的判定方法得到結果.【詳解】 ，則 ，則 是的必要不充分條件本題正確選項：【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判定，關鍵是能夠確定解集之間的包含關系，屬于基礎題.5.已知為直角三角形，點為斜邊的中點，

4、點是線段上的動點，則的最小值為()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】將利用線性運算進行拆解，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律和已知中的長度關系，將問題轉化為與有關的二次函數(shù)問題，通過求解二次函數(shù)最小值得到結果.【詳解】由圖形可知：為直角三角形，斜邊為 ，即且，則又為中點 且設，則當時，本題正確選項：【點睛】本題考查向量數(shù)量積取值范圍的求解，關鍵是能夠通過線性運算將所求數(shù)量積向已知模長和夾角的向量進行轉化，利用向量共線定理，構造出二次函數(shù)的形式，從而可以利用二次函數(shù)最值的求解方法得到結果.6.已知函數(shù) ,令，則的大小關系為()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式

5、可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上單調遞增；將的自變量都轉化到內，通過比較自變量大小得到的大小關系.【詳解】定義域為且為上的偶函數(shù)當時，則在上單調遞增；，即本題正確選項：【點睛】本題考查利用函數(shù)性質比較大小的問題，能夠通過函數(shù)的解析式得到函數(shù)的奇偶性、單調性，將問題轉化為自變量之間的比較是解決問題的關鍵.7.已知拋物線：的焦點為雙曲線：的頂點，過點的直線與拋物線相交于、兩點，點在軸上，且滿足，若，則的面積為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用雙曲線頂點求出拋物線方程；根據(jù)，可知與中點連線垂直于；直線與拋物線聯(lián)立后，借助韋達定理求出，從而可表示出，利用垂直關系求得，從而三角形面積

6、可求.【詳解】由題意可知 當直線斜率不存在時，不合題意可設直線為：，且，聯(lián)立，整理得：，由得： 若，則，設中點為，則點坐標為由可知 ，即由橢圓對稱性可知，當，仍成立本題正確選項：【點睛】本題考查拋物線中三角形面積的求解問題，關鍵是能夠通過長度的等量關系分析得到，從而得到斜率之間的關系，使得問題得以求解.8.已知函數(shù)的圖象過點，且在上單調，把的圖象向右平移個單位之后與原來的圖象重合，當且時，則( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】代入點求出，根據(jù)平移關系和在上單調，確定，從而得到；找到區(qū)間內的對稱軸，由對稱性可得的值，進而代入求得結果.詳解】過點 ，即又 又的圖象向右平移個單位

7、后與原圖象重合 在上單調 令，解得，當時，為的一條對稱軸又當，且時，本題正確選項：【點睛】本題考查三角函數(shù)值的求解，關鍵是能夠通過三角函數(shù)的圖象平移、周期、特殊點等求解出函數(shù)解析式，再利用三角函數(shù)的對稱性將問題轉化為特定角的三角函數(shù)值求解.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡中的相應橫線上.9.是虛數(shù)單位，復數(shù)=_【答案】【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算的運算法則求解即可.【詳解】【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，屬于基礎題.10.在二項式展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為256，則展開式中常數(shù)項等于_【答案】28【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和為求得，再利用二項式

8、展開式通項公式求得結果.【詳解】由題意得：二項式系數(shù)和 則展開式通項公式為：當，即時常數(shù)項：本題正確結果：【點睛】本題考查利用二項式定理求解指定項的問題，關鍵是能夠通過二項式系數(shù)和的性質求得.11.已知圓錐的高為3，底面半徑長為4，若球的表面積與此圓錐側面積相等，則該球的體積為_【答案】【解析】【分析】先求圓錐側面積，再求球半徑，即得球體積.【詳解】因為圓錐側面積為，因此【點睛】本題考查圓錐側面積、球表面積與體積，考查基本分析求解能力，屬基礎題.12.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為設點在上，點在上，則的最小值為

9、_【答案】【解析】【分析】利用參數(shù)表示點坐標，將問題轉化為求到的距離的最小值；利用點到直線距離公式表示出，利用三角函數(shù)知識求得最值.【詳解】由可得： 設則的最小值即為到的距離的最小值當時，本題正確結果：【點睛】本題考查距離的最值問題的求解，涉及到極坐標與直角坐標的互化，解題關鍵是將問題轉化為點到直線距離的最值問題，通過參數(shù)方程的意義，利用三角函數(shù)的知識來求解.13.若 則的最小值是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求結果.【詳解】則，即 由題意知，則，則當且僅當，即時取等號本題正確結果：【點睛】本題考查基本不等式求解和的最小值問題，關鍵是能夠利用對數(shù)相

10、等得到的關系，從而構造出符合基本不等式的形式.14.已知函數(shù)，函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】將問題轉化為與有四個不同的交點的問題；畫出圖象后可知，當與在和上分別相切時，兩切線斜率之間的范圍即為所求的范圍，利用導數(shù)幾何意義和二次函數(shù)的知識分別求解出兩條切線斜率，從而得到所求范圍.【詳解】有四個零點等價于與有四個不同的交點當時，當時，；當時，即在上單調遞減，在上單調遞增 當時，此時由此可得圖象如下圖所示：恒過，由圖象可知，直線位于圖中陰影部分時，有四個不同交點即臨界狀態(tài)為與兩段圖象分別相切當與相切時，可得：當與相切時設切點坐標為，則又恒過，則即，解得： 由圖象可知：【

11、點睛】本題考查利用函數(shù)零點個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，其中還涉及到導數(shù)幾何意義的應用、二次函數(shù)的相關知識.解決零點問題的常用方法為數(shù)形結合的方法，將問題轉化為曲線與直線的交點問題后，通過函數(shù)圖象尋找臨界狀態(tài)，從而使問題得以求解.三、解答題：本大題6小題，共80分解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟15.在中，角、所對的邊分別為、，且（）求角的值；（）若,，求的面積【答案】（）；（）【解析】【分析】（）利用切化弦和正弦定理可得，從而求得；（）利用余弦定理構造方程求得，代入三角形面積公式求得結果.【詳解】（）由得 （）， 整理可得，解得【點睛】本題考查利用正余弦定理解三角形、三角形面積公式的應

12、用，屬于常規(guī)題型.16.為響應黨中央號召，學校以“我們都是追夢人”為主題舉行知識競賽。現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，王同學從中任取3道題解答.（）求王同學至少取到2道乙類題的概率;（）如果王同學答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立，已知王同學恰好選中2道甲類題，1道乙類題，用表示王同學答對題的個數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.【答案】（）；（）見解析【解析】【分析】（）至少取到道乙類題的情況可分為：取到道和道乙類題，分別計算出兩種情況的取法，根據(jù)古典概型求得結果；（）首先確定所有可能的取值，再分別計算每個取值對應的概率，從而得到分布列；利用數(shù)

13、學期望的公式求得期望.【詳解】（）設“王同學至少取到道乙類題”為事件王同學取到道乙類題共有種取法王同學取到道乙類題共有種取法（）的所有可能取值為【點睛】本題考查古典概型的概率問題求解、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的計算，屬于常規(guī)題型.17.如圖所示，在多面體中，四邊形為平行四邊形，平面平面，,，點是棱上的動點.（）當時，求證平面；（）求直線與平面所成角的正弦值；（）若二面角所成角的余弦值為，求線段的長.【答案】（）見解析；（）；（）【解析】【分析】（）通過平行四邊形證得，從而根據(jù)線面平行的判定定理證得結果；（）通過作，可滿足空間直角坐標系建立的條件，從而建立坐標系，利用直線與平面所成角的向

14、量求法求得結果；（）根據(jù)向量共線的性質用表示出點坐標；利用二面角的向量求法建立方程，求得的值，根據(jù)與的長度關系確定最終結果.【詳解】（）由已知得且， 則四邊形為平行四邊形 四邊形為平行四邊形 又平面，平面 平面（）過點作交于點， 過點作交于點平面平面，平面平面，平面平面 以為原點建立如圖的空間直角坐標系則，設平面的法向量為，即令 ， 又 直線與平面所成角的正弦值為（）， 設平面的法向量為，即，令 ，又可取平面的法向量解得 【點睛】本題考查立體幾何中線面平行關系的證明、空間向量法求解直線與平面所成角的求解、利用二面角求解未知量的問題.其中利用二面角求解未知量時，通常采用向量共線的性質表示出未知量

15、，再根據(jù)二面角來構造方程，從而求得未知量.18.設是等差數(shù)列的前項和，滿足，是數(shù)列的前項和，滿足 （）求數(shù)列,的通項公式；（）令，設數(shù)列的前項和，求的表達式【答案】（），；（）【解析】【分析】（）根據(jù)等差數(shù)列性質求得，進而得到公差；利用等差數(shù)列通項公式求得；根據(jù)可證得數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式求得；（）對于奇數(shù)項和偶數(shù)項進行分組求和；奇數(shù)項采用裂項相消法求和，偶數(shù)項通項采用錯位相減法求和；分別求得結果后再作和即可.【詳解】（）是等差數(shù)列且 當時， 當時，又 ，即是以為首項，為公比的等比數(shù)列 （） 設前項中奇數(shù)項和為，偶數(shù)項的和為-得： 【點睛】本題考查等差和等比數(shù)列通項公式的求解、數(shù)

16、列求和問題，涉及到的求和方法有分組求和法、裂項相消法、錯位相減法.關鍵是要明確不同求和方法所試用的通項形式，分組求和法主要適用于通項為和差運算的形式；裂項相消法主要適用于分母為因式乘積形式且兩因式差為定值；錯位相減法適用于通項為等差與等比數(shù)列乘積的形式.19.已知橢圓C的方程為，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.（）求橢圓C的方程；（）過動點的直線交軸的負半軸于點，交C于點(在第一象限)，且是線段的中點，過點作x軸的垂線交C于另一點，延長線交C于點.(i)設直線，的斜率分別為，證明：；(ii)求直線的斜率的最小值.【答案】（）；（）(i)見解析；(ii)【解析】【分析】（）根據(jù)拋物線焦

17、點坐標求得，再利用離心率和的關系求得，進而得到橢圓方程；（）(i)利用為線段中點表示出點坐標，再根據(jù)橢圓對稱性得到點坐標；利用兩點連線斜率公式表示出和，從而結論可證；(ii)將直線方程與橢圓方成立聯(lián)立，利用韋達定理可用和表示出，利用同理可求得，進而利用兩點連線斜率公式寫出所求斜率，結合基本不等式求出最小值.【詳解】（）拋物線的焦點是 且 ，橢圓的方程（）(i)設，那么是線段的中點 ，(ii)根據(jù)題意得：直線的斜率一定存在且設直線為，則直線為聯(lián)立，整理得：利用韋達定理可知： 同理可得 當且僅當即為時，等號成立直線斜率最小值為【點睛】本題考察了橢圓問題中的定值類問題、最值類問題的求解，其中還涉及利

18、用橢圓幾何性質求解標準方程的問題.本題整體計算量略大，易造成計算錯誤；解決最值問題的關鍵是能夠將所求問題利用參數(shù)進行轉化，變成關于某一參數(shù)的函數(shù)問題，通過求解函數(shù)最值求得所求問題的結果，20.已知函數(shù)（）當時，求在點處的切線方程；（）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；（）若對任意的，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】（）；（）見解析；（）【解析】【分析】（）利用函數(shù)和導函數(shù)的解析式求得切點和切線斜率，從而得到切線方程；（）通過導數(shù)可知單調性由的符號決定；分別在、兩種情況下判斷導函數(shù)的正負，從而得到原函數(shù)的單調區(qū)間；（）通過變量遷移可將問題變?yōu)樵谏虾愠闪⒌膯栴}；由與的符號易判斷；構造函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)正負可知時滿足題意；而當時，由于存在使得，從而可知時，不等式不成立；由此總結可得結果.【詳解】（）當時， ，函數(shù)在點處的切線方程為（）由題意，（）當時，令，得；，得所以在單調遞增，單調遞減（）當時，令，得；，得或所以在單調遞增，在，單調遞減（）令，當時，單調遞增，則則對恒成立等價于即，對恒成立