2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)講解2-3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（含答案）

1、2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)講解2-3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（含答案）專題2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1.一元二次不等式： (1)會從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系. (3)會解一元二次不等式.2.結(jié)合二次函數(shù)的圖象,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù).3培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).【知識清單】1二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0).頂點(diǎn)式：

2、f(x)a(xm)2n(a0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n).零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn).(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0(a0)；ax2bxc0(a0)；ax2bxc0(a0)或ax2bxc0或f(x)0)，方程ax2bxc0的判別式b24ac判別式b24ac000或f(x)0_x|xx2_x|xRf(x)0_x|x1x0(a0)恒成立(或解集為R)時，滿足；(2)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集為R)時，滿足；(3)ax2bxc0(a0)恒成立(或解集為R)時，滿足；(4)ax2bxc0(a0

3、)恒成立(或解集為R)時，滿足.2含參數(shù)的一元二次不等式恒成立若能夠分離參數(shù)成kf(x)形式則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解設(shè)f(x)的最大值為M，最小值為m.(1)kf(x)恒成立kf(x)恒成立kM，kf(x)恒成立kM.【典例剖析】高頻考點(diǎn)一 ：二次函數(shù)的解析式例1.已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定該二次函數(shù)的解析式【答案】f(x)4x24x7【解析】解法一(利用“一般式”解題)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)由題意得解得所求二次函數(shù)為f(x)4x24x7.解法二(利用“頂點(diǎn)式”解題)設(shè)f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，拋物線的對稱軸為x

4、，m.又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8，n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.解法三(利用“零點(diǎn)式”解題)由已知f(x)10的兩根為x12，x21，故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值8，即8.解得a4或a0(舍)所求函數(shù)的解析式為f(x)4x24x7.【規(guī)律方法】根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：【變式探究】（2019陜西省咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考）已知二次函數(shù)滿足：任意的，有成立，且最小值為，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（1）求的解析式；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使的定義域和值域分別為和，如果

5、存在，求出；如果不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在；【解析】（1）因?yàn)椋允菆D象的對稱軸，且最小值為，故可設(shè)，由得，所以，即；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足題意，由（1）在上遞減，在上遞增，若，顯然不合題意；若，則，不合題意，所以，即是方程的兩不等實(shí)根，即，所以高頻考點(diǎn)二：二次函數(shù)圖象的識別例2.（2020山東省微山縣第一中學(xué)高一月考）對數(shù)函數(shù)且與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像不可能是（ ）ABCD【答案】A【解析】當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，開口向下，對稱軸在y軸的左側(cè)，排除C，D；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，開口向上，對稱軸在y軸的右側(cè)，排除B；故選：A【總結(jié)提升】識別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會“三看”【變式

6、訓(xùn)練】（2019遼寧高考模擬（理）函數(shù)y=1-|x-x2|的圖象大致是（ ）A BC D【答案】C【解析】當(dāng)x=-1時，y=1-1-1=-1,所以舍去A,D,當(dāng)x=2時，y=1-2-4=-1,所以舍去B,綜上選C.高頻考點(diǎn)三：二次函數(shù)的單調(diào)性問題例3.（2019北京臨川學(xué)校高二期末（文）若函數(shù)f(x)8x22kx7在1，5上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）A(，8B40，)C(，840，)D8，40【答案】C【解析】由題意得，函數(shù)圖象的對稱軸為，且拋物線的開口向上，函數(shù)在1,5 上為單調(diào)函數(shù)，或，解得或，實(shí)數(shù)k的取值范圍是故選C【總結(jié)提升】研究二次函數(shù)單調(diào)性的思路(1)二次函數(shù)的單調(diào)性在

7、其圖象對稱軸的兩側(cè)不同，因此研究二次函數(shù)的單調(diào)性時要依據(jù)其圖象的對稱軸進(jìn)行分類討論(2)若已知f(x)ax2bxc(a0)在區(qū)間A上單調(diào)遞減(單調(diào)遞增)，則A，即區(qū)間A一定在函數(shù)對稱軸的左側(cè)(右側(cè))【變式探究】(2019浙江“超級全能生”模擬)已知在(，1上遞減的函數(shù)f(x)x22tx1，且對任意的x1，x20，t1，總有|f(x1)f(x2)|2，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A， B1，C2,3 D1,2【答案】B【解析】由于f(x)x22tx1的圖象的對稱軸為xt，又yf(x)在(，1上是減函數(shù)，所以t1.則在區(qū)間0，t1上，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(t)t22t21t21，

8、要使對任意的x1，x20，t1，都有|f(x1)f(x2)|2，只需1(t21)2，解得t.又t1，1t.高頻考點(diǎn)四：二次函數(shù)的最值問題例4. （浙江省名校新高考研究聯(lián)盟（Z20)2019屆聯(lián)考）】設(shè)函數(shù)f(x)=|x2+a|+|x+b|(a,bR)，當(dāng)時，記f(x)的最大值為M(a,b)，則M(a,b)的最小值為_【答案】258【解析】去絕對值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，f(x)在-2,2的最大值為f(-2)，f(2)，f(-12)，f(12)中之一，所以可得，上面四個式子相加可得即有，可得M(a,b)的最小值為258故答案為258【技巧點(diǎn)撥】二次函數(shù)最值問題的類型及求解策略(1)類型：對稱軸

9、、區(qū)間都是給定的；對稱軸動、區(qū)間固定；對稱軸定、區(qū)間變動(2)解決這類問題的思路：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成【變式探究】（2019天津高考模擬（文）若不等式對任意實(shí)數(shù)都成立,則實(shí)數(shù)的最大值為_.【答案】【解析】設(shè)不等式對任意實(shí)數(shù)都成立，只需滿足，即可.所以有因此實(shí)數(shù)的最大值為.高頻考點(diǎn)五：二次函數(shù)的恒成立問題例5. （2019北京高三高考模擬（理）已知函數(shù) 當(dāng)時，的最小值等于_；若對于定義域內(nèi)的任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】 【解析】當(dāng)時，3x0時，f(x)（x1）22，得：當(dāng)x1時，

10、f（x）有最小值為2，0x3時，f(x)（x1）21，得：當(dāng)x3時，f（x）有最小值為3，所以，當(dāng)時，的最小值等于3，定義域內(nèi)的任意恒成立， 3x0時，有，即：恒成立，令，在3x0時，g（x）有最小值：g（0）g（3）1，所以，0x3時，有，即：恒成立，令，在0x3時，g（x）有最大值：g（），所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是【總結(jié)提升】由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的思路及關(guān)鍵1.一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)2.兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離這兩個思路的依據(jù)是： (1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)m

11、in.3.有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法一般從：開口方向；對稱軸位置；判別式；端點(diǎn)函數(shù)值符號四個方面分析【變式探究】（2020天津市咸水沽第二中學(xué)高三一模）已知函數(shù)若存在使得關(guān)于x的不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】【解析】由題意，當(dāng)時，不等式可化為顯然不成立；當(dāng)時，不等式可化為，所以，又當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；當(dāng)時，不等式可化為，即；因?yàn)榇嬖谑沟藐P(guān)于x的不等式成立，所以，只需或.故答案為：.高頻考點(diǎn)六：二次函數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)問題例6. （2020宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校高一月考（理）已知函數(shù).（1）若的值域?yàn)椋箨P(guān)于的方程的解；（2）當(dāng)時，函數(shù)在

12、上有三個零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）或.（2）【解析】（1）因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所?因?yàn)?，所以，則.因?yàn)?，所以，即，解得?（2）在上有三個零點(diǎn)等價于方程在上有三個不同的根.因?yàn)椋曰?因?yàn)?，所?結(jié)合在上的圖象可知，要使方程在上有三個不同的根，則在上有一個實(shí)數(shù)根，在上有兩個不等實(shí)數(shù)根，即，解得.故的取值范圍為.【規(guī)律總結(jié)】1.一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的端點(diǎn)值是一元二次方程ax2bxc0的根，也是函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)2注意靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題【變式探究】（2019馬關(guān)縣第一中學(xué)校高一期末）已知二次函數(shù)，且-1,3是函數(shù)的零點(diǎn).（1）求解析式

13、，并解不等式;（2）若，求行數(shù)的值域【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意得 即 ，（2）令 高頻考點(diǎn)七：一元二次不等式恒成立問題例7.（2019湖北高三月考（理）若對任意的，存在實(shí)數(shù)，使恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為( )A9B10C11D12【答案】A【解析】由時，恒成立可得：令，可得，圖象如下圖所示：要使最大，則必過，且與相切于點(diǎn)則此時，即直線方程為：聯(lián)立得：，解得：由圖象可知 本題正確選項(xiàng)：【總結(jié)提升】由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的思路及關(guān)鍵1.一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)2.兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離這兩個思路的依據(jù)

14、是： (1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.3.有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法一般從：開口方向；對稱軸位置；判別式；端點(diǎn)函數(shù)值符號四個方面分析【變式探究】（2020濟(jì)源市第六中學(xué)高二月考（文）已知函數(shù)，若在區(qū)間上，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】要使在區(qū)間上，不等式恒成立，只需恒成立，設(shè)，只需小于在區(qū)間上的最小值，因?yàn)?，所以?dāng)時，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.高頻考點(diǎn)八：二次函數(shù)的綜合應(yīng)用例8（2016上海市松江二中高三月考）設(shè) (R)(1) 若，求在區(qū)間上的最大值；(2) 若，寫出的單調(diào)區(qū)間；(3) 若存在，使得方程有三個不相等的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間（3）【解析】（1）當(dāng)時， =, 在R上為增函數(shù)， 在上為增函數(shù)， 則 . （2）, ,當(dāng)時， ， 在為增函數(shù) ,當(dāng)時， ，即, 在為增函數(shù)，在為減函數(shù) , 則的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間 .（3）由（2）可知，當(dāng)時， 為增函數(shù)，方程不可能有三個不相等實(shí)數(shù)根, 當(dāng)時，由（2）得 ,即在有解, 由在上為增函數(shù), 當(dāng)時， 的最大值為 ,則 .【總結(jié)提升】對于含有參數(shù)的一元二次不等式常見的討論形式有如下