復變函數級數.ppt

1、第三章 復變函數級數,復變函數的無窮級數（新運算）,求和： 連續(xù)求和積分 離散求和級數 重要性： 積分和級數是表達函數的兩大工具 內容： 級數收斂性和求和方法 復變函數展開為級數（復變函數的級數表示） 級數的運算,3.1 冪級數,復數項級數 收斂性： 若級數 的 部分和序列 有有限極限 ，則稱該級數收斂，其和為 ，否則該級數發(fā)散。,絕對收斂： 若 組成的級數收斂， 則稱該級數絕對收斂。 絕對收斂 收斂,？,收斂判別法 基本法則Cauchy判據 任給 ，必有N存在，當 時 對任意的正整數p有 特殊法則比較判別法 由基本法則可知，若對充分大的k有 ，則,發(fā)散 發(fā)散 收斂 收斂,具體比較判別法 與標

2、準級數比較，如幾何級數 比值判別法（dAlembert判別法） 根式判別法（Cauchy判別法）,r1時級數發(fā)散；r=1時不一定。,級數的代數運算 若 ， 加減法：兩收斂級數的和與差級數仍收斂，且,乘法：兩絕對收斂級數的乘積絕對收斂，且其和與乘積項的排列次序無關,n012,除法是乘法的逆運算,n -1 0 1,復變函數項級數 收斂性： 若復變函數項級數 在某個區(qū)域D內所有點處收斂， 則稱該級數在D內收斂。,一致收斂性 定義：若對任意e 0，必有一個不依賴于z的N(e)存在，使 時，有 則函數項級數在 D 上一致收斂。,特殊判別法： 正實常數項收斂級數 有 則 在 D 上一致收斂。,一致收斂級數

3、性質： 連續(xù)性： 在有限（開）區(qū)域D內 連續(xù)，在D內任意閉區(qū)域上 一致收斂，則和函數 在D內連續(xù)。,一致收斂級數性質： 積分性質： 在有限（開）區(qū)域D內 解析，在D內任意閉區(qū)域上 一致收斂，則其和在D內解析且可沿l逐項積分，即,一致收斂級數性質： 微商性質： 在有限（開）區(qū)域D內 解析，在D內任意閉區(qū)域上 一致收斂，則其和在D內解析且可逐項微商任意多次，即,冪級數 定義： 主要研究整數冪級數，特別是非負整數冪級數； 稱為以a為中心的冪級數。,收斂特性：以a為中心的冪級數 在某個圓 內收斂且絕對收斂 在 上絕對一致收斂 在圓外 發(fā)散 收斂圓 收斂半徑,Abel定理： 冪級數 在某點 處收斂 它在

4、 上收斂且絕對收斂 它在 上絕對一致收斂,證：（利用比較判別法） 級數 在 內收斂,收斂,推論：若冪級數在某點 處發(fā)散，則它在 處發(fā)散,收斂半徑的求法（比值或根式判別法） 冪級數運算性質： 冪級數在收斂圓內其和是解析函數，且可任意次逐項積分、逐項微商。,例1,例2,3.2 泰勒級數及解析延拓,Taylor展開定理： 已知f(z)在z=a處解析，z0為f(z) 距離a點最近的奇點，則 其中 ，且展開唯一。,證：1）利用解析函數的積分特征 Cauchy積分公式 2）將 展開為以a為中心的冪級數 3）逐項積分 4）再利用Cauchy導數公式,具體計算： 展開： 逐項積分：,利用導數公式： 唯一性：,

5、Taylor展開方法： 基本方法（Taylor展開定理） 特殊方法（冪級數運算） 線性運算 乘除運算 復合運算 微積分運算,Taylor展開例子： 例1 求 ez 在 鄰域的Taylor 展開。 解：因為 故 收斂半徑,例2 求 ez 在 鄰域的Taylor 展開。 解：因為 故 收斂半徑：,例3 求 和 在 z=0 鄰域的Taylor 展開,類似的有,例4 求 在 z=0 鄰域的Taylor展開,例5 求 （a為任意復常數） 在z=0鄰域的泰勒展開 當a 整數時，f (z)為多值函數，須在指定葉 上展開。z=-1是其支點，若取負實軸上(-,-1) 為割線，規(guī)定 （k為整數）,因 所以有,例6

6、 求 在z=1鄰域的泰勒展開 若取負實軸(-,0)為割線，規(guī)定 （k為整數） 因 有積分 代入并逐項積分,無窮遠點鄰域的Taylor展開： 若存在R使f (z)在以z=0為圓心R為半徑的圓外（包括z=）解析 只需作變換,解析延拓 延拓：定義域擴大 定義： 函數f(z)在d上解析，如果能夠把它的解析區(qū)域擴大，即 在D內解析 （ ） 這種延拓稱為d上解析函數由d到D-d的解析延拓。,唯一性定理： 若在區(qū)域D內兩解析函數 Fk , k=1, 2，在D上內某條曲線l上 相等則必在整個區(qū)域D內相等。 （證明：利用級數特征）,解析延拓方法 基本方法：利用解析函數級數或積分特征 例：,3.3 洛朗級數及奇點

7、分類,非正整冪級數 非正整冪級數 非負整冪級數,收斂性： 在圓外 收斂且絕對收斂； 在 上絕對一致收斂， 在圓內 發(fā)散； 在圓外 定義一個解析函數,根據Taylor展開定理，在 z=點解析的函數可以在其鄰域展開為非正整冪級數,Laurent級數 定義：整冪級數 稱為以a為中心的洛朗級數；它由非負整冪級數和非正整冪級數組成 收斂性： 在以a為中心的環(huán)內 收斂且絕對收斂 其和在環(huán)內解析,Laurent展開定理： 已知f(z)在環(huán)內 解析，則 ，其中 c為環(huán)內將z=a圍在其內的任意光滑曲線。且展開唯一。,證： 復通區(qū)域Cauchy積分公式 把被積函數展開為冪級數,逐項積分 解析函數的積分特征,幾點說

8、明： 若函數f(z)在 內解析，則展開退化為泰勒展開 盡管洛朗展開系數an的公式與泰勒展開系數的積分公式形式一樣，但一般來說,Laurent展開方法： 基本方法：展開公式 特殊方法：利用冪級數運算 線性運算 乘積運算 復合運算 微積分運算,例 1 求 在環(huán)內 的洛朗展開 基本方法：,特殊方法：,例 2 求 在環(huán)內 的洛朗展開,例 3 在 的鄰域內將 展開為洛朗級數,例 4 在 的鄰域內將 展開為洛朗級數,奇點分類：孤立奇點與非孤立奇點 已知z=z0是單值函數f(z)的奇點，若在其一個鄰域內除它外都解析，則稱z=z0為函數的孤立奇點，否則稱為非孤立奇點。,幾個例子： 函數 ，z=0, i, 為其

9、孤立奇點； 函數 僅在Re(z)=0處可導，所以復平面上所有點均為非孤立奇點;,函數 奇點為z=0和滿足 方程 的點即 為孤立奇點; 為非孤立奇點。,孤立奇點分類： 有限孤立奇點分類：設z=z0是f(z)有限孤立奇點且有洛朗展開 按展開中負冪項的個數分類： 可去奇點：展開中不含負冪項 m階極點：展開中含有有限個負冪項 本性奇點：展開中含有無窮多個負冪項,幾個例子： z=1是函數 的一階極點 z=0是函數 的本性奇點,無窮遠孤立奇點分類：設z=是f(z)的孤立奇點且在其鄰域有洛朗展開 按展開中正冪項的個數分類： 可去奇點：展開中不含正冪項 m階極點：展開中含有有限個正冪項 本性奇點：展開中含有無

10、窮多個正冪項,幾個例子： z=是函數 的5階極點 z=是函數 的本性奇點,孤立奇點分類：按極限分類： 可去奇點： 單極點： m階極點： 本性奇點： 不存在,例子： z=0是函數 e1/z 的本性奇點，在0z 的環(huán)域內，它的 Laurent 級數為 z 沿正實軸0 時，1/z , 故 e1/z z 沿負實軸0 時，1/z , 故 e1/z ,z 沿虛軸，按i/(2n) 0 時，e1/z 1 z 按序列,函數 e1/z 的實部與虛部,孤立奇點類型判斷： 奇點的判斷：（解析的判斷） 初等函數無意義的點（支點除外） 孤立奇點的判斷：（解析性的判斷） 三大特征：（導數、積分、級數） 孤立奇點類型的判斷： 基本法則：（洛朗展開和極限特征） 特殊法則：,特殊法則： 一個函數加減（乘除）在z點解析（且不為零）的函數不改變z點的奇點類型 若z點是f(z)的本性奇點，是g(z)的非本性孤立奇點，則z點是fg, fg, f/g的本性奇點 函數f(z)對z微商不改變其（有限）孤立奇點類型，但改變極點階數；對無限孤立奇點，微商可能將極點變成可去奇點 有限點z是函數f(z)的m階零點 有限點z是1/f(z)的m階極點,有限階支點： 作變換 在 平面單葉圓環(huán)上展開 無負冪項：解析型支點； 有限個負冪項：極點型支點 無限個負冪項：本