高等數(shù)學(xué)（2015級(jí)版）：1_4_1數(shù)列極限

1、,數(shù)列極限 函數(shù)極限 極限定義,性質(zhì) 基本準(zhǔn)則,兩個(gè)重要極限 無(wú)窮大與無(wú)窮小,極 限,定 義,性 質(zhì),計(jì) 算,Creativity,第二節(jié) 數(shù)列極限,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,1、割圓術(shù)：,播放,劉徽,一、概念的引入,1、割圓術(shù)：,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,劉徽,一、概念的引入,1、割圓術(shù)：,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，

2、所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”,

3、1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,一、概念的引入,2、截丈問(wèn)題：,“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”,一、概念的引入,二、數(shù)列的定義,例如,注意：,1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取,2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù),二、數(shù)列的定義,播放,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,問(wèn)題:,當(dāng) 無(wú)限增大時(shí), 是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?,問(wèn)題

4、:,“無(wú)限接近”如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)?,通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:,數(shù)列中充分靠后的所有項(xiàng)到某一定數(shù)的距離可任意小,三、數(shù)列的極限,定義 若一個(gè)數(shù)列 ，當(dāng) 無(wú)限增大時(shí), 無(wú)限 的接近于某個(gè)常數(shù) ,則稱數(shù)列 以 為極限，或 收斂于 . 記為： 或 如果數(shù)列沒(méi)有極限, 就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.,如何理解無(wú)限接近？ 與 的接近程度在數(shù)軸上可用點(diǎn) 與定點(diǎn) 之間的距離 來(lái)度量，即 越小， 與 越接近.,例,收斂數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì)1. 唯一性: 收斂數(shù)列的極限唯一. （反命題） 例如： 發(fā)散.,性質(zhì)2. 有界性: 收斂數(shù)列一定有界. (無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.) 說(shuō)明: 此性質(zhì)反過(guò)來(lái)不一定成立 . 例如 ： 雖有界，但發(fā)散

5、,收斂數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì)3. 保號(hào)性: 若 , 且 ,則 , 都有 性質(zhì)4. 唯一性：每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限. 推論：收斂數(shù)列的任一子數(shù)列都收斂于同一極限. 若數(shù)列的兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同極限,則該數(shù)列發(fā)散 例如：,數(shù)列極限存在準(zhǔn)則,夾逼準(zhǔn)則 單調(diào)有界準(zhǔn)則,定理1. 夾逼準(zhǔn)則 (準(zhǔn)則1),例. 證明,證: 利用夾逼準(zhǔn)則 .,且,由,定理2. 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 ( 準(zhǔn)則2 ),( 證明略 ),例. 利用準(zhǔn)則2討論下面極限的斂散性,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,（單調(diào)遞減有界）,（無(wú)界）,（不單調(diào)但有界）,內(nèi)容小結(jié),數(shù)列:研究其變化規(guī)律;,數(shù)列極限:極限思想,幾何意義;,收斂數(shù)列的性質(zhì):

6、有界性，保號(hào)性，唯一性.,數(shù)列極限不存在有兩種情況:,1、數(shù)列有界,但當(dāng),時(shí),數(shù)列一般項(xiàng)不與任何常數(shù),無(wú)限接近,如,2、數(shù)列無(wú)界,如,.,極限存在準(zhǔn)則:,夾逼準(zhǔn)則 ；單調(diào)有界準(zhǔn)則,劉徽(約225 295年),我國(guó)古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.,他撰寫的重,差對(duì)九章算術(shù)中的方法和公式作了全面的評(píng),注,指出并糾正了其中的錯(cuò)誤 ,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué),理論上作出了杰出的貢獻(xiàn) .,他的 “ 割圓術(shù) ” 求圓周率,“ 割之彌細(xì) , 所失彌小,割之又割 , 以至于不可割 ,則與圓合體而無(wú)所失矣 ”,它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精確”的重要,極限思想 ., 的方法 :,柯西(1789 1857),法國(guó)數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中,在微積分學(xué),柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué),校編寫的分析教程,無(wú)窮小分析概論, 微積,分在幾何