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1、第22章 二次函數(shù)一、選擇題1在下列關(guān)系式中,y是x的二次函數(shù)的關(guān)系式是()A2xy+x2=1By2ax+2=0Cy+x22=0Dx2y2+4=02設(shè)等邊三角形的邊長為x(x0),面積為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系式是()Ay=x2By=Cy=Dy=3已知拋物線y=x28x+c的頂點(diǎn)在x軸上,則c等于()A4B8C4D164若直線y=ax+b不經(jīng)過二、四象限,則拋物線y=ax2+bx+c()A開口向上,對(duì)稱軸是y軸B開口向下,對(duì)稱軸是y軸C開口向下,對(duì)稱軸平行于y軸D開口向上,對(duì)稱軸平行于y軸5一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是()ABCD6已知拋物線y=x
2、2+mx+n的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,3),則m和n的值分別是()A2,4B2,4C2,4D2,07對(duì)于函數(shù)y=x2+2x2,使得y隨x的增大而增大的x的取值范圍是()Ax1Bx0Cx0Dx18拋物線y=x2(m+2)x+3(m1)與x軸()A一定有兩個(gè)交點(diǎn)B只有一個(gè)交點(diǎn)C有兩個(gè)或一個(gè)交點(diǎn)D沒有交點(diǎn)9二次函數(shù)y=2x2+mx5的圖象與x軸交于點(diǎn)A(x1,0)、B(x2,0),且x12+x22=,則m的值為()A3B3C3或3D以上都不對(duì)10對(duì)于任何的實(shí)數(shù)t,拋物線y=x2+(2t)x+t總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)是()A(1,0)B(1,0)C(1,3)D(1,3)二、填空題11拋物線y=2x+x2+
3、7的開口向 _,對(duì)稱軸是 _,頂點(diǎn)是 _12若二次函數(shù)y=mx23x+2mm2的圖象經(jīng)過原點(diǎn),則m=_13如果把拋物線y=2x21向左平移1個(gè)單位,同時(shí)向上平移4個(gè)單位,那么得到的新的拋物線是_14對(duì)于二次函數(shù)y=ax2,已知當(dāng)x由1增加到2時(shí),函數(shù)值減少4,則常數(shù)a的值是_15已知二次函數(shù)y=x26x+n的最小值為1,那么n的值是_16拋物線在y=x22x3在x軸上截得的線段長度是_17設(shè)矩形窗戶的周長為6m,則窗戶面積S(m2)與窗戶寬x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式是_,自變量x的取值范圍是_18設(shè)A、B、C三點(diǎn)依次分別是拋物線y=x22x5與y軸的交點(diǎn)以及與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),則ABC的面積是_1
4、9拋物線上有三點(diǎn)(2,3)、(2,8)、(1,3),此拋物線的解析式為_2020知一個(gè)二次函數(shù)與x軸相交于A、B,與y軸相交于C,使得ABC為直角三角形,這樣的函數(shù)有許多,其中一個(gè)是_三、解答題21已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,2),且經(jīng)過點(diǎn)N(2,3),求此二次函數(shù)的解析式22把拋物線y=ax2+bx+c向左平移2個(gè)單位,同時(shí)向下平移1個(gè)單位后,恰好與拋物線y=2x2+4x+1重合請(qǐng)求出a,b,c的值23二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的一部分如圖,已知它的頂點(diǎn)M在第二象限,且經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(0,1)(1)請(qǐng)判斷實(shí)數(shù)a的取值范圍,并說明理由;(2)設(shè)此二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)
5、交點(diǎn)為C,當(dāng)AMC的面積為ABC面積的倍時(shí),求a的值24對(duì)于拋物線y=x2+bx+c,給出以下陳述:它的對(duì)稱軸為x=2; 它與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為A、B;APB的面積不小于27(P為拋物線的頂點(diǎn))求、得以同時(shí)成立時(shí),常數(shù)b、c的取值范圍25分別寫出函數(shù)y=x2+ax+3(1x1)在常數(shù)a滿足下列條件時(shí)的最小值:(l)0a;(2)a2.3(提示:可以利用圖象哦,最小值可用含有a的代數(shù)式表示)26已知OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片,O為原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,OA=10,OC=6,(1)如圖甲:在OA上選取一點(diǎn)D,將COD沿CD翻折,使點(diǎn)O落在BC邊上,記為E求折痕CD 所在直
6、線的解析式;(2)如圖乙:在OC上選取一點(diǎn)F,將AOF沿AF翻折,使點(diǎn)O落在BC邊,記為G求折痕AF所在直線的解析式;再作GHAB交AF于點(diǎn)H,若拋物線過點(diǎn)H,求此拋物線的解析式,并判斷它與直線AF的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)(3)如圖丙:一般地,在以O(shè)A、OC上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)I、J,使紙片沿IJ翻折后,點(diǎn)O落在BC邊上,記為K請(qǐng)你猜想:折痕IJ所在直線與第(2)題中的拋物線會(huì)有幾個(gè)公共點(diǎn);經(jīng)過K作KLAB與IJ相交于L,則點(diǎn)L是否必定在拋物線上將以上兩項(xiàng)猜想在(l)的情形下分別進(jìn)行驗(yàn)證第22章 二次函數(shù)參考答案一、選擇題1在下列關(guān)系式中,y是x的二次函數(shù)的關(guān)系式是()A2xy+x2=1By2ax+2=0Cy
7、+x22=0Dx2y2+4=0【解答】解:A、2xy+x2=1當(dāng)x0時(shí),可化為y=的形式,不符合一元二次方程的一般形式,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、y2ax+2=0可化為y2=ax2不符合一元二次方程的一般形式,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、y+x22=0可化為y=x2+2,符合一元二次方程的一般形式,故本選項(xiàng)正確;D、x2y2+4=0可化為y2=x2+4的形式,不符合一元二次方程的一般形式,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤故選C2設(shè)等邊三角形的邊長為x(x0),面積為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系式是()Ay=x2By=Cy=Dy=【解答】解:作出BC邊上的高ADABC是等邊三角形,邊長為x,CD=x,高為h=x,y=xh=x2故選:D3已
8、知拋物線y=x28x+c的頂點(diǎn)在x軸上,則c等于()A4B8C4D16【解答】解:根據(jù)題意,得=0,解得c=16故選D4若直線y=ax+b不經(jīng)過二、四象限,則拋物線y=ax2+bx+c()A開口向上,對(duì)稱軸是y軸B開口向下,對(duì)稱軸是y軸C開口向下,對(duì)稱軸平行于y軸D開口向上,對(duì)稱軸平行于y軸【解答】解:直線y=ax+b不經(jīng)過二、四象限,a0,b=0,則拋物線y=ax2+bx+c開口方向向上,對(duì)稱軸x=0故選A5一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是()ABCD【解答】解:A、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可得:a0,此時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象應(yīng)該
9、開口向上,錯(cuò)誤;B、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可得:a0,b0,此時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象應(yīng)該開口向上,對(duì)稱軸x=0,錯(cuò)誤;C、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可得:a0,b0,此時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象應(yīng)該開口向下,對(duì)稱軸x=0,正確D、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可得:a0,b0,此時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象應(yīng)該開口向下,錯(cuò)誤;故選C6已知拋物線y=x2+mx+n的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,3),則m和n的值分別是()A2,4B2,4C2,4D2,0【解答】解:根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式,得橫坐標(biāo)為: =1,解得m=2;縱坐標(biāo)為: =3,解得n=4故選B7對(duì)于函數(shù)y=x2+2x
10、2,使得y隨x的增大而增大的x的取值范圍是()Ax1Bx0Cx0Dx1【解答】解:y=x2+2x2=(x1)21,a=10,拋物線開口向下,對(duì)稱軸為直線x=1,當(dāng)x1時(shí),y隨x的增大而增大,故只有選項(xiàng)C,D這兩個(gè)范圍符合要求,又因?yàn)镃選項(xiàng)范圍包括選項(xiàng)D的范圍,故選:C8拋物線y=x2(m+2)x+3(m1)與x軸()A一定有兩個(gè)交點(diǎn)B只有一個(gè)交點(diǎn)C有兩個(gè)或一個(gè)交點(diǎn)D沒有交點(diǎn)【解答】解:根據(jù)題意,得=b24ac=(m+2)2413(m1)=(m4)2(1)當(dāng)m=4時(shí),=0,即與x軸有一個(gè)交點(diǎn);(2)當(dāng)m4時(shí),0,即與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);所以,原函數(shù)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)或兩個(gè)交點(diǎn),故選C9二次函數(shù)y=2x
11、2+mx5的圖象與x軸交于點(diǎn)A(x1,0)、B(x2,0),且x12+x22=,則m的值為()A3B3C3或3D以上都不對(duì)【解答】解:二次函數(shù)y=2x2+mx5的圖象與x軸交于點(diǎn)A(x1,0)、B(x2,0),且x12+x22=,x12+x22=(x1+x2)22x1x2=2()=,解得:m=3,故選:C10對(duì)于任何的實(shí)數(shù)t,拋物線y=x2+(2t)x+t總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)是()A(1,0)B(1,0)C(1,3)D(1,3)【解答】解:把y=x2+(2t)x+t變形得到(1x)t=yx22x,對(duì)于任何的實(shí)數(shù)t,拋物線y=x2+(2t)x+t總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn),1x=0且yx22x=0
12、,x=1,y=3,即這個(gè)固定的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3)故選D二、填空題11拋物線y=2x+x2+7的開口向 上,對(duì)稱軸是 x=1,頂點(diǎn)是 (1,6)【解答】解:y=x22x+7=(x1)2+6,二次項(xiàng)系數(shù)a=10,拋物線開口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,6),對(duì)稱軸為直線x=1故答案為:上,x=1,(1,6)12若二次函數(shù)y=mx23x+2mm2的圖象經(jīng)過原點(diǎn),則m=2【解答】解:由于二次函數(shù)y=mx23x+2mm2的圖象經(jīng)過原點(diǎn),代入(0,0)得:2mm2=0,解得:m=2,m=0;又m0,m=2故答案為:213如果把拋物線y=2x21向左平移1個(gè)單位,同時(shí)向上平移4個(gè)單位,那么得到的新的拋物線是y=2
13、(x+1)2+3【解答】解:原拋物線的頂點(diǎn)為(0,1),向左平移1個(gè)單位,同時(shí)向上平移4個(gè)單位,那么新拋物線的頂點(diǎn)為(1,3);可設(shè)新拋物線的解析式為y=2(xh)2+k,代入得:y=2(x+1)2+314對(duì)于二次函數(shù)y=ax2,已知當(dāng)x由1增加到2時(shí),函數(shù)值減少4,則常數(shù)a的值是【解答】解:當(dāng)x=1時(shí),y=ax2=a;當(dāng)x=2時(shí),y=ax2=4a,所以a4a=4,解得a=故答案為:15已知二次函數(shù)y=x26x+n的最小值為1,那么n的值是10【解答】解:原式可化為:y=(x3)29+n,函數(shù)的最小值是1,9+n=1,n=10故答案為:1016拋物線在y=x22x3在x軸上截得的線段長度是4【
14、解答】解:設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)為:(x1,0),(x2,0),x1+x2=2,x1x2=3,|x1x2|=4,拋物線在y=x22x3在x軸上截得的線段長度是4故答案為:417設(shè)矩形窗戶的周長為6m,則窗戶面積S(m2)與窗戶寬x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式是S=x2+3x,自變量x的取值范圍是0x3【解答】解:由題意可得:S=x(3x)=x2+3x自變量x的取值范圍是:0x3故答案為:S=x2+3x,0x318設(shè)A、B、C三點(diǎn)依次分別是拋物線y=x22x5與y軸的交點(diǎn)以及與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),則ABC的面積是5【解答】解:令x=0,則y=5,即A(0,5);設(shè)B(b,0),C(c,0)令y=0,則x22
15、x5=0,則b+c=2,bc=5,則|bc|=2,則ABC的面積是5=5故答案為519拋物線上有三點(diǎn)(2,3)、(2,8)、(1,3),此拋物線的解析式為y=x2x+【解答】解:設(shè)此拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,把點(diǎn)(2,3)、(2,8)、(1,3)代入得,解得所以此拋物線的解析式為y=x2x+,故答案為:y=x2x+2020知一個(gè)二次函數(shù)與x軸相交于A、B,與y軸相交于C,使得ABC為直角三角形,這樣的函數(shù)有許多,其中一個(gè)是y=x2+3【解答】解:如圖所示:當(dāng)拋物線過點(diǎn)A(3,0),B(3,0),C(0,3),則設(shè)拋物線解析式為:y=ax2+3,故0=9a+3,解得:a=,即拋物線解
16、析式為:y=x2+3故答案為:y=x2+3三、解答題21已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,2),且經(jīng)過點(diǎn)N(2,3),求此二次函數(shù)的解析式【解答】解:已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,2),設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y=a(x1)22,把點(diǎn)(2,3)代入解析式,得:a2=3,即a=5,此函數(shù)的解析式為y=5(x1)2222把拋物線y=ax2+bx+c向左平移2個(gè)單位,同時(shí)向下平移1個(gè)單位后,恰好與拋物線y=2x2+4x+1重合請(qǐng)求出a,b,c的值【解答】解:將y=2x2+4x+1 整理得y=2x2+4x+1=2(x+1)21因?yàn)閽佄锞€y=ax2+bx+c 向左平移2個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位得y=2x2+
17、4x+1=2(x+1)21,所以將y=2x2+4x+1=2(x+1)21向右平移2個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位即得y=ax2+bx+c,故y=ax2+bx+c=2(x+12)1+1=2(x1)=2x24x+2,所以a=2,b=4,c=223二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的一部分如圖,已知它的頂點(diǎn)M在第二象限,且經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(0,1)(1)請(qǐng)判斷實(shí)數(shù)a的取值范圍,并說明理由;(2)設(shè)此二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,當(dāng)AMC的面積為ABC面積的倍時(shí),求a的值【解答】解:(1)由圖象可知:a0圖象過點(diǎn)(0,1),所以c=1,圖象過點(diǎn)(1,0),則a+b+1=0當(dāng)x=1時(shí),應(yīng)有y
18、0,則ab+10將a+b+1=0代入,可得a+(a+1)+10,解得a1所以,實(shí)數(shù)a的取值范圍為1a0;(2)此時(shí)函數(shù)y=ax2(a+1)x+1,M點(diǎn)縱坐標(biāo)為: =,圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為:ax2(a+1)x+1=0,解得;x 1=1,x 2=,則AC=1=,要使SAMC=SABC=可求得a=24對(duì)于拋物線y=x2+bx+c,給出以下陳述:它的對(duì)稱軸為x=2; 它與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為A、B;APB的面積不小于27(P為拋物線的頂點(diǎn))求、得以同時(shí)成立時(shí),常數(shù)b、c的取值范圍【解答】解:拋物線y=x2+bx+c=(x+)2+,拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸為x=2,=2,則b=4,P點(diǎn)的縱坐標(biāo)是=c
19、4,又它與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,=b24ac=164c0,且AB=2解得 c4,又APB的面積不小于27,2|c16|27,即|c16|27由解得 c5綜上所述,b的值是4,c的取值范圍是c525分別寫出函數(shù)y=x2+ax+3(1x1)在常數(shù)a滿足下列條件時(shí)的最小值:(l)0a;(2)a2.3(提示:可以利用圖象哦,最小值可用含有a的代數(shù)式表示)【解答】解:對(duì)稱軸x=,(1)當(dāng)0a時(shí),即0,當(dāng)x=時(shí)有最小值,最小值y=()2+a()+3=3,(2)當(dāng)a2.3即1.1,在1x1范圍內(nèi),y隨x的增大而增大,當(dāng)x=1時(shí),y最小,最小值y=(1)2+a(1)+3=4a26已知OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片,O為原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,OA=10,OC=6,(1)如圖甲:在OA上選取一點(diǎn)D,將COD沿CD翻折,使點(diǎn)O落在BC邊上,記為E求折痕CD 所在直線的解析式;(2)如圖乙:在OC上選取一點(diǎn)F,將AOF沿AF翻折,使點(diǎn)O落在BC邊,記為G求折痕AF所在直線的解析式;再作GHAB交AF于點(diǎn)H,若拋物線過點(diǎn)H,求此拋物線的解析式,并判斷它與直線AF的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)(3)如圖丙:一般地,在以O(shè)A、OC上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)I、J,使紙片沿IJ翻折后,點(diǎn)O落在BC邊上,記為K請(qǐng)你猜想:折痕IJ所在直線與第(2)題中的拋物線會(huì)有幾個(gè)公
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