2013年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編7：立體幾何 Word版含答案

1、2013 年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編 7：立體幾何：立體幾何 一、選擇題 1. （2013 年高考新課標(biāo) 1（理） ）如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高 8cm,將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為 6cm,如 果不計容器的厚度,則球的體積為 （） abcd 3 500 3 cm 3 866 3 cm 3 1372 3 cm 3 2048 3 cm 【答案】a 2. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純 word 版） ）設(shè)是兩條 ,m n 不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（

2、） , a若,則b若,則 m n mn / m n /mn c若,則d若,則 mnm n m/mn /n 【答案】d 3. （2013 年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）若兩個球的表面積之比為,則這兩個1:4 球的體積之比為（） abcd1:21:41:81:16 【答案】c 4. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）word 版含答案（已校對） ）已知正 四棱柱中,則與平面所成角的正弦值等于（） 1111 abcdabc d 1 2aaabcd 1 bdc abcd 2 3 3 3 2 3 1 3 【答案】a 5. （2013 年高考新課標(biāo) 1（理） ）某幾何體的三視圖如

3、圖所示,則該幾何體的體積為 （） abcd1688816 168 16 【答案】a 6. （2013 年高考湖北卷（理） ）一個幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體從上到下由四個簡 單幾何體組成,其體積分別記為,上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體,下面 1 v 2 v 3 v 4 v 兩個簡單幾何體均為多面體,則有（） abcd 1243 vvvv 1324 vvvv 2134 vvvv 2314 vvvv 【答案】c 7. （2013 年高考湖南卷（理） ）已知棱長為 1 的正方體的俯視圖是一個面積為 1 的正方形, 則該正方體的正視圖的面積不可能等于（） a bcd 12 2-1 2 2+1 2 【

4、答案】c 8. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純 word 版） ）某四棱臺的三 視圖如圖所示,則該四棱臺的體積是 （） 1 2 2 1 1 正視圖 俯視圖 側(cè)視圖 第第 5 5 題圖題圖 abcd 4 14 3 16 36 【答案】b 9. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理） （純 word 版含答案） ）已知 nm,為異面直線,m平面,n平面.直線l滿足,則（）,lm ln ll a/,且/lb,且l c與相交,且交線垂直于ld與相交,且交線平行于l 【答案】d 10. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）

5、已知三棱柱 111 abcabc 的側(cè)棱與底面垂直,體積為 9 4,底面是邊長為 3 的正三角形.若p為底 面 111 abc 的中心,則pa與平面abc所成角的大小為（） a 5 12 b3 c4 d6 【答案】b 11. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）某幾何體的三視圖 如題 5圖所示,則該幾何體的體積為（） a 560 3 b 580 3 c200d240 【答案】c 12. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（word 版） ）已知三棱柱 的 6 個頂點都在球的球面上,若, 111 abcabco34abac，abac ,則球

6、的半徑為（） 1 12aa o abcd 3 17 2 2 10 13 2 3 10 【答案】c 13. （2013 年高考江西卷（理） ）如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且 ,正方體的六個面所在的平面與直線 ce,ef 相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,那ab cda,m n 么mn （） a8b9c10d11 【答案】a 14. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理） （純 word 版含答案） ）一個四 面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面 體三視圖中的正視圖時,以zox平面為投影

7、面,則得到正視圖可以為 （） abcd 【答案】a 15. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純 word 版） ）在下列命題中, 不是公理的是（） a平行于同一個平面的兩個平面相互平行 b過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面 c如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi) d如果兩個不重合的平面有一個公共點, 那么他們有且只有一條過該點的公共直線 【答案】a 16. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純 word 版） ）在空間中,過點 作平面的垂線,垂足為,記.設(shè)是兩個不同的平面,對空間任意一ab)(afb ,

8、點,恒有,則（）p)(),( 21 pffqpffq 21 pqpq a平面與平面垂直b平面與平面所成的(銳)二面角為 0 45 c平面與平面平行d平面與平面所成的(銳)二面角為 0 60 【答案】a 17. （2013 年高考四川卷（理） ）一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是 【答案】d 二、填空題 18. （2013 年高考上海卷（理） ）在平面上,將兩個半圓弧和xoy 22 (1)1(1)xyx 、兩條直線 和圍成的封閉圖形記為 d,如圖中陰 22 (3)1(3)xyx1y 1y 影部分.記 d 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為,過作的水平截面,所(0, )(| 1)y

9、y 得截面面積為,試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體,得出 2 418y 的體積值為_ 【答案】. 2 216 19. （2013 年高考陜西卷（理） ）某幾何體的三視圖如圖所示, 則其體積為_. 3 11 2 1 【答案】 3 20. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）word 版含答案（已校對） ）已知圓 和圓是球的大圓和小圓,其公共弦長等于球的半徑,且圓與圓okoo 3 2 ok o 所在的平面所成的一個二面角為,則球的表面積等于_.k60o 【答案】 16 21. （2013 年高考北京卷（理） ）如圖,在棱長為 2 的正方體abcd-a1b1c1d1中,e

10、為bc的中點,點 p在線段d1e上,點p到直線cc1的距離的最小值為_. 1 d 1 b p a d 1 c c e b a 1 a 【答案】 2 5 5 22. （2013 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)） （已校對純 word 版含附加題） ）如圖,在三棱柱中,分別是的中點,設(shè)三abccba 111 fed， 1 aaacab， 棱錐的體積為,三棱柱的體積為,則adef 1 vabccba 1112 v _. 21:v v a b c 1 a d e f 1 b 1 c 【答案】 1:24 23. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純 word 版）

11、 ）若某幾何體的 三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積等于_. 2 cm 4 3 2 3 3 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 （第 12 題圖） 【答案】24 24. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純 word 版） ）如圖,正方體 的棱長為 1,p 為 bc 的中點,q 為線段上的動點,過點 a,p,q 的 1111 abcdabc d 1 cc 平面截該正方體所得的截面記為 s.則下列命題正確的是_(寫出所有正確 命題的編號). 當(dāng)時,s 為四邊形;當(dāng)時,s 為等腰梯形;當(dāng)時,s 與 1 0 2 cq 1 2 cq 3 4 cq 的交點 r 滿足;當(dāng)時,s 為

12、六邊形;當(dāng)時,s 的面 11 c d 11 1 3 c r 3 1 4 cq1cq 積為. 6 2 【答案】 25. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（word 版） ）某幾何體的三視圖 如圖所示,則該幾何體的體積是_. 【答案】 1616 26. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純 word 版） ）已知某一多面 體內(nèi)接于一個簡單組合體,如果該組合體的正視圖.測試圖.俯視圖均如圖所示,且圖中 的四邊形是邊長為 2 的正方形,則該球的表面積是_ 【答案】 12 27. （2013 年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）在如圖所示的正方體 中,異面

13、直線與所成角的大小為_ 1111 abcdabc d 1 ab 1 bc d1 c1 b1 a1 d c ab 【答案】 3 三、解答題 28. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（word 版） ）如圖,ab 是圓的直 徑,pa 垂直圓所在的平面,c 是圓上的點. (i)求證:pacpbc平面平面； (ii)2.abacpacpba若，1，1，求證：二面角的余弦值 【答案】 29. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）如圖,四棱錐 pabcd中,paabcd 底面,2,4, 3 bccdacacbacd , f為pc的中點,afpb.

14、(1)求pa的長; (2)求二面角bafd的正弦值. 【答案】 30. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純 word 版） ）如圖,圓錐頂點 為.底面圓心為,其母線與底面所成的角為 22.5.和是底面圓上的兩poabcdo 條平行的弦,軸與平面所成的角為 60.oppcd ()證明:平面與平面的交線平行于底面; ()求.pabpcdcoscod 【答案】解: () pabp d,/ / /cmabcdcdpcdabpcd設(shè)面面直線且面面 . / /abm直線abcdmabcdab面直線面/ 所以,. abcddppab的公共交線平行底面與面面c () . r po o

15、pffcdr 5 . 22tan.60,由題知，則的中點為線段設(shè)底面半徑為 . 5 . 22tan1 5 . 22tan2 45tan, 2 cos 5 . 22tan60tan60tan, 2 cod r of po of )223(3), 1-2(3 2 1cos , 1-2 5 . 22tan1 2 cos2cos 22 codcod cod . 212-17cos. 212-17coscodcod所以 法二: 31. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純 word 版） ）如圖,在四面體 中,平面,.是的中點, bcdaadbcd22, 2,bdadcdbcma

16、dp 是的中點,點在線段上,且.bmqacqcaq3 (1)證明:平面;(2)若二面角的大小為,求的大小./pqbcddbmc 0 60bdc a b c d p q m （第 20 題圖） 【答案】解:證明()方法一:如圖 6,取的中點,且是中點,所以mdfmad .因為是中點,所以;又因為()且3affdpbm/ /pfbd3aqqc ,所以,所以面面,且面,所以3affd/ /qfbd/ /pqfbdcpq bdc 面; / /pqbdc 方法二:如圖 7 所示,取中點,且是中點,所以;取的三bdopbm 1 / / 2 pomdcd 等分點,使,且,所以,所以h3dhch3aqqc 1

17、1 / / / 42 qhadmd ,且,所以面; / / /poqhpqohohbcd/ /pqbdc ()如圖 8 所示,由已知得到面面,過作于,所以adb bdcccgbdg ,過作于,連接,所以就是的cgbmdgghbmhchchgcbmd 二面角;由已知得到,設(shè),所以 813bm bdc , cos ,sin2 2cos ,2 2cossin,2 2sin, cdcgcb cdcgbc bdcdbd 在中,所以在rt bcg 2 sin2 2sin bg bcgbg bc 中, ,所以在中 rt bhg 2 2 12 2sin 33 2 2sin hg hg rt chg 2 2 2

18、cossin tantan603 2 2sin 3 cg chg hg ; tan3(0,90 )6060bdc 32. （2013 年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）如圖,在正三棱錐中, 111 abcabc ,異面直線與所成角的大小為,求該三棱柱的體積. 1 6aa 1 bc 1 aa 6 b1 a1 c1 ac b 【答案】解因為 . 1 cc 1 aa 所以為異面直線與.所成的角,即=. 1 bc c 1 bc 1 aa 1 bc c 6 在 rt中, 1 bc c 11 3 tan62 3 3 bcccbc c 從而, 2 3 3 3 4 abc sbc 因此該三棱柱的體積為. 1

19、 3 3 618 3 abc vsaa 33. （2013 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)） （已校對純 word 版含附加題） ）本小題滿分 14 分. 如圖,在三棱錐中,平面平面,過作abcs sabsbcbcab abas a ,垂足為,點分別是棱的中點.sbaf fge，scsa， 求證:(1)平面平面; (2)./efgabcsabc a b c s g f e 【答案】證明:(1),f 分別是 sb 的中點 abas sbaf e.f 分別是 sa.sb 的中點 efab 又ef平面 abc, ab平面 abc ef平面 abc 同理:fg平面 abc 又effg=

20、f, ef.fg平面 abc平面平面 /efgabc (2)平面平面 sabsbc 平面平面=bc sabsbc af平面 sab afsb af平面 sbc 又bc平面 sbc afbc 又, abaf=a, ab.af平面 sab bc平面 sab 又sa平面bcab sabbcsa 34. （2013 年高考上海卷（理） ）如圖,在長方體 abcd-a1b1c1d1中,ab=2,ad=1,a1a=1,證明直 線 bc1平行于平面 da1c,并求直線 bc1到平面 d1ac 的距離. d1 c1 b1 a1 d c b a 【答案】因為 abcd-a1b1c1d1為長方體,故, 1111

21、/,abc d abc d 故 abc1d1為平行四邊形,故,顯然 b 不在平面 d1ac 上,于是直線 bc1平行于 11 /bcad 平面 da1c; 直線 bc1到平面 d1ac 的距離即為點 b 到平面 d1ac 的距離設(shè)為 h 考慮三棱錐 abcd1的體積,以 abc 為底面,可得 111 (1 2) 1 323 v 而中,故 1 adc 11 5,2acdcad 1 3 2 ad c s 所以,即直線 bc1到平面 d1ac 的距離為. 1312 3233 vhh 2 3 35. （2013 年高考湖北卷（理） ）如圖,是圓的直徑,點是圓上異于的點,直aboco,a b 線平面,分

22、別是,的中點.pc abcefpapc (i)記平面與平面的交線為 ,試判斷直線 與平面的位置關(guān)系,并加befabcllpac 以證明; (ii)設(shè)(i)中的直線 與圓的另一個交點為,且點滿足.記直線lodq 1 2 dqcp 與平面所成的角為,異面直線與所成的角為,二面角pqabcpqef 的大小為,求證:.elc sinsinsin 第 19 題圖 【答案】解:(i), efacaacabc 平面efabc 平面 efabca平面 又 efbef 平面 efla lpac a平面 (ii)連接 df,用幾何方法很快就可以得到求證.(這一題用幾何方法較快,向量的方法很 麻煩,特別是用向量不能

23、方便的表示角的正弦.個人認為此題與新課程中對立體幾何的 處理方向有很大的偏差.) 36. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純 word 版） ）如圖 1,在等腰 直角三角形中,分別是上的點,abc90a6bc ,d e,ac ab2cdbe 為的中點.將沿折起,得到如圖 2 所示的四棱錐,其中obcadedeabcde .3a o () 證明:平面; () 求二面角的平面角的余弦值.a obcdeacdb . c o b de a c d o b e a 圖 1圖 2 【答案】() 在圖 1 中,易得 3,3 2,2 2ocacad c d o x e a 向量法圖向

24、量法圖 y z b c d o b e a h 連結(jié),在中,由余弦定理可得 ,od oeocd 22 2cos455odoccdoc cd 由翻折不變性可知, 2 2a d 所以,所以, 222 a ooda da ood 理可證, 又,所以平面. a ooeodoeoa obcde () 傳統(tǒng)法:過作交的延長線于,連結(jié), oohcdcdha h 因為平面,所以, a obcdea hcd 所以為二面角的平面角. a hoacdb 結(jié)合圖 1 可知,為中點,故,從而 hac 3 2 2 oh 22 30 2 a hohoa 所以,所以二面角的平面角的余弦值為. 15 cos 5 oh a ho

25、 a h acdb 15 5 向量法:以點為原點,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示, ooxyz 則, 0,0, 3 a 0, 3,0c1, 2,0d 所以, 0,3, 3ca 1,2, 3da 設(shè)為平面的法向量,則 , ,nx y z a cd ,即,解得,令,得 0 0 n ca n da 330 230 yz xyz 3 yx zx 1x 1, 1, 3n 由() 知,為平面的一個法向量, 0,0, 3oa cdb 所以,即二面角的平面角的余弦 315 cos, 535 n oa n oa n oa acdb 值為. 15 5 37. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（

26、含答案） ）如圖, 四棱柱 abcd-a1b1c1d1中, 側(cè)棱a1a底面abcd, ab/dc, abad, ad = cd = 1, aa1 = ab = 2, e為棱aa1的中點. () 證明b1c1ce; () 求二面角b1-ce-c1的正弦值. () 設(shè)點m在線段c1e上, 且直線am與平面add1a1所成角的正弦值為, 求線段 2 6 am的長. 【答案】 38. （2013 年高考新課標(biāo) 1（理） ）如圖,三棱柱 abc-a1b1c1中,ca=cb,ab=a a1,ba a1=60. ()證明 aba1c; ()若平面 abc平面 aa1b1b,ab=cb=2,求直線 a1c 與

27、平面 bb1c1c 所成角的正弦值. 【答案】()取 ab 中點 e,連結(jié) ce, 1 ab, 1 ae, ab= 1 aa, 1 baa= 0 60, 1 baa是正三角形, 1 aeab, ca=cb, ceab, 1 ceae=e,ab面 1 cea, ab 1 ac; ()由()知 ecab, 1 eaab, 又面 abc面 11 abb a,面 abc面 11 abb a=ab,ec面 11 abb a,ec 1 ea, ea,ec, 1 ea兩兩相互垂直,以 e 為坐標(biāo)原點,ea 的方向為x軸正方向,|ea |為單位 長度,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系oxyz, 有題設(shè)知 a(1,0

28、,0), 1 a(0,3,0),c(0,0,3),b(-1,0,0),則bc =(1,0,3), 1 bb = 1 aa =(-1,0,3), 1 ac =(0,-3,3), 設(shè)n=( , , )x y z是平面 11 cbbc的法向量, 則 1 0 0 bc bb n n ,即 30 30 xz xy ,可取n=(3,1,-1), 1 cos, ac n= 1 1 | ac ac n |n| 10 5 , 直線 a1c 與平面 bb1c1c 所成角的正弦值為 10 5 39. （2013 年高考陜西卷（理） ）如圖, 四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面abcd是正方形, o為底 面中心,

29、 a1o平面abcd, . 1 2abaa () 證明: a1c平面bb1d1d; () 求平面ocb1與平面bb1d1d的夾角的大小. o d1 b1 c1 d a c b a1 【答案】解:() ;又因為,在正bdoaabcdbdabcdoa 11 ,面且面 方形 ab cd 中, . bdcaacacaacabdaacoabdac 11111 ,，故面且面所以；且 在正方形 ab cd 中,ao = 1 . . 1 11 oaoaart中，在 . oecaoceaedb 1111111 為正方形，所以，則四邊形的中點為設(shè) ，所以由以上三點得且，面面又oobdddbboddbbbd 111

30、111 e.e, .(證畢) ddbbca 111 面 () 建立直角坐標(biāo)系統(tǒng),使用向量解題. 以 o 為原點,以 oc 為 x 軸正方向,以 ob 為 y 軸正方向.則 . ) 1, 0 , 1 () 1 , 1 , 1 (),100(),001 (,0 , 1 , 0 111 cabacb，）（ 由()知, 平面bb1d1d的一個法向量 .0 , 0 , 1),1 , 1 , 1 (),1, 0 , 1 ( 111 ）（ocobcan 設(shè)平面ocb1的法向量為 ，則0, 0, 2122 ocnobnn ).1- , 1 , 0(向向向 2 n為解得其中一個 . 2 1 22 1 | | |

31、,cos|cos 21 21 11 nn nn nn o d1 b1 c1 d a c b a1 所以,平面ocb1與平面bb1d1d的夾角為 3 40. （2013 年高考江西卷（理） ）如圖,四棱錐中,pabcdpa ,abcd ebd 平面為的中點gpd為的中點， ,連接并延長交于. 3 ,1 2 dabdcb eaebabpa ，ceadf (1) 求證:;adcfg 平面 (2) 求平面與平面的夾角的余弦值.bcpdcp 【答案】解:(1)在中,因為是的中點,所以, abdebd1eaebedab 故, , 23 badabeaeb 因為,所以, dabdcb eabecb 從而有,

32、 fedfea 故,又因為所以. ,efad affd,pggdfgpa 又平面, paabcd 所以故平面. ,gfadad cfg (3) 以點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的坐標(biāo)系,則a , 33 (0,0,0), (1,0,0),( ,0),(0, 3,0) 22 abcd (4) ,故 3 (0,0, ) 2 p 1333 333 (0),(, ),(,0) 2222222 bccpcd ， 設(shè)平面的法向量,則 , bcp 111 (1,)ny z 1 11 13 0 22 333 0 222 y yz 解得,即. 1 1 3 3 2 3 y z 1 3 2 (1, ) 33 n 設(shè)平面的法

33、向量,則,解得, dcp 222 (1,)nyz 2 22 33 0 22 333 0 222 y yz 2 2 3 2 y z 即.從而平面與平面的夾角的余弦值為 2 (1, 3,2)n bcpdcp . 12 12 4 2 3 cos 416 8 9 n n n n 41. （2013 年高考四川卷（理） ）如圖,在三棱柱中,側(cè)棱底面, 11 abcabc 1 aa abc ,分別是線段的中點,是線段 1 2abacaa120bac 1 ,d d 11 ,bc bcp 的中點.ad ()在平面內(nèi),試作出過點與平面平行的直線 ,說明理由,并證明直線abcp 1 abcl 平面;l 11 ad

34、d a ()設(shè)()中的直線 交于點,交于點,求二面角的余弦labmacn 1 aamn 值. d1 d c b a1 b1 c1 a p 【答案】解:如圖,在平面內(nèi),過點做直線 /,因為 在平面外, abcplbcl 1 abc 在平面內(nèi),由直線與平面平行的判定定理可知, /平面. bc 1 abcl 1 abc 由已知,是的中點,所以,則直線. abacdbcbcadlad 因為平面,所以直線 .又因為在平面內(nèi),且 1 aa abc 1 aa l 1 ,ad aa 11 add a 與相交,所以直線平面 ad 1 aa 11 add a 解法一: 連接,過作于,過作于,連接. 1 apa 1

35、 aeapee 1 efamfaf 由知,平面,所以平面平面. mn 1 aea 1 aea 1 amn 所以平面,則. ae 1 amn 1 amae 所以平面,則. 1 am aef 1 am af 故為二面角的平面角(設(shè)為). afe 1 aamn 設(shè),則由,有,. 1 1aa 1 2abacaa120bac 60bad 2,1abad 又為的中點,所以為的中點,且, padmab 1 ,1 2 apam 在中, ;在中, . 1 rt aapa 1 5 2 ap 1 rt a ama 1 2am 從而, 1 1 1 5 aaap ae ap 1 1 1 2 aaam af am 所以.

36、 2 sin 5 ae af 所以. 2 2 215 cos1 sin1 55 故二面角的余弦值為 1 aamn 15 5 解法二: 設(shè).如圖,過作平行于,以為坐標(biāo)原點,分別以,的 1 1aa 1 a 1 ae 11 bc 1 a 111 ,ae ad 1 aa 方向為軸,軸,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系(點與點重合). xyzoxyzo 1 a 則,. 1 0,0,0a0,0,1a 因為為的中點,所以分別為的中點, pad,m n,ab ac 故, 3 13 1 ,1 ,1 2222 mn 所以,. 1 3 1 ,1 22 am 1 0,0,1a a 3,0,0nm 設(shè)平面的一個法向量為,

37、則 1 aam 1111 ,nx y z 即故有 11 11 , , nam na a 11 11 0, 0, nam na a 111 111 3 1 ,10, 22 ,0,0,10, x y z x y z 從而 111 1 31 0, 22 0. xyz z 取,則,所以. 1 1x 1 3y 1 1,3,0n 設(shè)平面的一個法向量為,則 1 amn 2222 ,nxy z 即故有 21 2 , , nam nnm 21 2 0, 0, nam nnm 222 222 3 1 ,10, 22 ,3,0,00, xy z xy z 從而 222 2 31 0, 22 30. xyz x 取,

38、則,所以. 2 2y 2 1z 2 0,2, 1n 設(shè)二面角的平面角為,又為銳角, 1 aamn 則. 12 12 1,3,00,2, 1 15 cos 525 nn nn 故二面角的余弦值為 1 aamn 15 5 42. （2013 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)） （已校對純 word 版含附加題） ）本小題滿分 10 分. 如圖,在直三棱柱中,點是 111 abcabcacab 2 acab4 1 aad 的中點bc (1)求異面直線與所成角的余弦值ba1dc1 (2)求平面與所成二面角的正弦值. 1 adc 1 aba 【答案】本題主要考察異面直線.二面角.空間向量等

39、基礎(chǔ)知識以及基本運算,考察運用 空間向量解決問題的能力. 解:(1)以為為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系, 1 ,aaacabxyza 則, )0 , 0 , 0(a)0 , 0 , 2(b)0 , 2 , 0(c)4 , 0 , 0( 1 a)0 , 1 , 1 (d)4 , 2 , 0( 1 c , )4, 0 , 2( 1 ba)4, 1, 1 ( 1 ba 10 103 1820 18 ,cos 11 11 11 dcba dcba dcba 異面直線與所成角的余弦值為 ba1dc1 10 103 (2) 是平面的的一個法向量 )0 , 2 , 0(ac 1 aba 設(shè)平面的法向量為,

40、 1 adc),(zyxm )0 , 1 , 1 (ad)4 , 2 , 0( 1 ac 由 1 ,acmadm 取,得,平面的法向量為 042 0 zy yx 1z2, 2xy 1 adc) 1 , 2, 2( m 設(shè)平面與所成二面角為 1 adc 1 aba , 得 3 2 32 4 ,coscos mac mac mac 3 5 sin 平面與所成二面角的正弦值為 1 adc 1 aba 3 5 43. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）word 版含答案（已校對） ）如圖, 四棱錐中,與都是等邊pabcd902,abcbadbcadpab ， pad 三角形. (i

41、)證明: (ii)求二面角的大小.;pbcdapdc 【答案】 44. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）如圖所示,在三棱 錐 pabq 中,pb 平面 abq , babpbq , ,d c e f 分別是 ,aq bq ap bp 的中點, 2aqbd ,pd與 eq交于點g ,pc與 fq交于點h , 連接gh. ()求證: ab gha ; ()求二面角d ghe 的余弦值. 【答案】解:()證明:因為 ,d c e f 分別是 ,aq bq ap bp 的中點, 所以efab,dcab,所以efdc, 又ef 平面pcd,dc 平面pcd, 所以e

42、f平面pcd, 又ef 平面 efq ,平面 efq平面pcd gh , 所以efgh, 又efab, 所以abgh. ()解法一:在 abq 中, 2aqbd , addq , 所以 =90abq ,即 abbq ,因為pb 平面 abq ,所以ab pb , 又 bpbqb ,所以ab 平面 pbq ,由()知abgh, 所以gh 平面 pbq ,又fh 平面 pbq ,所以gh fh ,同理可得gh hc , 所以 fhc 為二面角d ghe 的平面角,設(shè) 2babqbp ,連接pc, 在 tr fbc中,由勾股定理得, 2fc , 在 tr pbc中,由勾股定理得, 5pc , 又h為

43、 pbq 的重心,所以 15 33 hcpc 同理 5 3 fh , 在fhc中,由余弦定理得 55 2 4 99 cos 5 5 2 9 fhc , 即二面角d ghe 的余弦值為 4 5 . 解法二:在 abq 中, 2aqbd , addq , 所以 90abq ,又pb 平面 abq ,所以 ,ba bq bp 兩兩垂直, 以b為坐標(biāo)原點,分別以 ,ba bq bp 所在直線為x軸, y 軸,z軸,建立如圖所示的空 間直角坐標(biāo)系,設(shè) 2babqbp ,則 (1,0,1)e , (0,0,1)f , (0,2,0)q , (1,1,0)d , (0,1,0)c(0,0,2)p ,所以 (

44、 1,2, 1)eq , (0,2, 1)fq , ( 1, 1,2)dp , (0, 1,2)cp , 設(shè)平面 efq 的一個法向量為 111 ( ,)mx y z , 由 0m eq , 0m fq , 得 111 11 20 20 xyz yz 取 1 1y ,得 (0,1,2)m . 設(shè)平面pdc的一個法向量為 222 (,)nxyz 由 0n dp , 0n cp , 得 222 22 20 20 xyz yz 取 2 1z ,得 (0,2,1)n .所以 4 cos, 5 m n m n m n 因為二面角d ghe 為鈍角,所以二面角d ghe 的余弦值為 4 5 . 45. （

45、2013 年高考湖南卷（理） ）如圖 5,在直棱柱, 1 111 / /abcdabc dadbc中， ,.90 ,1badacbd bc 1 3adaa (i)證明:; (ii)求直線所成角的正弦值. 1 acb d 111 bcacd與平面 【答案】解: () acbbabcdbdabcdbbdcbaabcd 111111 ,面且面是直棱柱 . dbacbdbdbbdbacbbbbdbdac 11111 ,，面。面且又 (證畢) () 。的夾角與平面的夾角即直線與平面直線 111111 ,/acdadacdcbadbccb 軸正半軸。為軸正半軸，為點，量解題。設(shè)原點在建立直角坐標(biāo)系，用向x

46、adyaba bdacybdyacycybdda), 0 , , 3(), 0 , , 1 () 0 , , 1 (), 0 , , 0(),3 , 0 , 3(),0 , 0 , 3(,00 , 0 1 ，則，設(shè) ).3 , 0 , 3(),0 , 3, 1 (. 30, 0030 1 2 adacyyybdac ），（），（的一個法向量平面則的法向量為設(shè)平面303,313-. 0 0 , 1 1 1 adnacd adn acn nacd 7 21 37 33 |,cos|sin003,313- 1 adnadnacd），（），（的一個法向量平面 . 7 21 11 夾角的正弦值為與平面所

47、以acdbd 46. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純 word 版） ）如圖,在四棱柱 中,側(cè)棱, 1111 abcdabc d 1 aaabcd 底面/ /abdc 1 1aa 3abk ,.4adk5bck6dck(0)k (1)求證: 11; cdadd a 平面 (2)若直線與平面所成角的正弦值為,求的值; 1 aa 1 abc 6 7 k (3)現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼接成一個新 1111 abcdabc d 的棱柱,規(guī)定:若拼接成的新的四棱柱形狀和大小完全相同,則視為同一種拼接方案.問: 共有幾種不同的方案?在這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為,寫出( )f k 的表達式(直接寫出答案,不必要說明理由)( )f k