小學奧數(shù)-格點型面積

1、格點型面積例題精講板塊一 正方形格點問題在一張紙上，先畫出一些水平直線和一些豎直直線，并使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等(通常規(guī)定是1個單位)，這樣在紙上就形成了一個方格網(wǎng)，其中的每個交點就叫做一個格點在方格網(wǎng)中，以格點為頂點畫出的多邊形叫做格點多邊形，例如，右圖中的鄉(xiāng)村小屋圖形就是一個格點多邊形那么，格點多邊形的面積如何計算？它與格點數(shù)目有沒有關系？如果有，這兩者之間的關系能否用計算公式來表達？下面就讓我們一起來探討這些問題吧！用N表示多邊形內(nèi)部格點，L表示多邊形周界上的格點，S表示多邊形面積，請同學們分析前幾個例題的格點數(shù)我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：這個規(guī)律就是畢克定理畢克定理若一個格點多邊形內(nèi)

2、部有N個格點，它的邊界上有L個格點，則它的面積為【例 1】 用9個釘子釘成相互間隔為1厘米的正方陣(如右圖)如果用一根皮筋將適當?shù)娜齻€釘子連結(jié)起來就得到一個三角形，這樣得到的三角形中，面積等于1平方厘米的三角形的個數(shù)有多少？ 面積等于2平方厘米的三角形有多少個？【解析】 面積等于1平方厘米的三角形有32個 面積等于2平方厘米的三角形有8個(1)面積等于1平方厘米的分類統(tǒng)計如下： 底為2，高為1 底為2，高為1 底為1，高為2 32=6(個) 32=6(個) 32=6(個) 底為1，高為2 底為2，高為1 底為1，高為2 32=6(個) 22=4(個) 22=4(個)所以，面積等于1平方厘米的三

3、角形的個數(shù)有：6+6+6+6+4+4=32(個)(2)面積等于2平方厘米的分類統(tǒng)計如下： 32=6(個) 12=2(個)所以，面積等于2平方厘米的三角形的個數(shù)有：6+2=8(個)【例 2】 如圖，的方格紙上放了16枚棋子，以棋子為頂點的正方形有 個 【解析】 根據(jù)正方形的大小，分類數(shù)正方形共能組成五種大小不同的正方形(如右圖)的正方形：9個；的正方形：4個；的正方形：1個；以正方形對角線為邊長的正方形：4個；以長方形對角線為邊長的正方形：2個故可以組成(個)正方形【例 3】 判斷下列圖形哪些是格點多邊形？ 【解析】 根據(jù)格點多邊形的定義可知，圖形的邊必須是直線段，頂點要在格點上！所以只有是格點

4、多邊形【例 4】 如圖，計算各個格點多邊形的面積 【解析】 本題所給的圖形都是規(guī)則圖形，它們的面積運用公式直接可求，只要判斷出相應的有關數(shù)據(jù)就行了 方法一：圖是正方形，邊長是4，所以面積是(面積單位)；圖是矩形，長是5，寬是3，所以面積是(面積單位)；圖是三角形，底是5，高是4，所以面積是(面積單位)；圖是平行四邊形，底是5，高是3，所以面積是(面積單位)；圖是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面積是(面積單位)；圖是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面積是(面積單位)【鞏固】如果兩格點之間的距離是2，能利用剛計算的結(jié)果說出相應面積么？(教師總結(jié)：面積數(shù)值均擴大4倍)方法二：以上部

5、分圖形除了利用各自的面積公式直接求出外，我們還可以從推導它們的面積公式過程中得到啟發(fā)，即用“割補法”或“擴展法”分別轉(zhuǎn)化成長方形來求這一種方法很重要，在下面的題目中我們還將使用這種方法！如圖，我們利用“擴展法”將其轉(zhuǎn)化，如圖所示，從圖中易知三角形面積是長方形面積的一半如圖，我們利用“割補法”將其陰影部分面積平移到右邊，轉(zhuǎn)化成一個長方形，從中易得平行四邊形面積同理，圖、也可利用同樣的思想【例 5】 如圖(a)，計算這個格點多邊形的面積 【解析】 方法一(擴展法)這是個三角形，雖然有三角形面積公式可用，但判斷它的底和高卻十分困難，只能另想別的辦法：這個三角形是處在長是6、寬是4的矩形內(nèi)，除此之外還

6、有其他三個直角三角形，如下右圖(b)，這三個直角三角形面積很容易求出，再用矩形面積減去這三個直角三角形面積，就是所要求的三角形面積矩形面積是；直角三角形的面積是：；直角三角形的面積是：；直角三角形面積是；所求三角形的面積是(面積單位)方法二(割補法)將原三角形分割成兩個我們方便計算面積的三角形，如(c)圖因此三角形的面積是：(面積單位)【例 6】 (“新加坡小學數(shù)學奧林匹克”競賽試題)右圖是一個方格網(wǎng)，計算陰影部分的面積【解析】 擴展法把所求三角形擴展成正方形ABCD中這個正方形中有四個三角形：一個是要求的；另外三個分別是：ABE、FEC、DAF，它們都有一條邊是水平放置的，易求它們的面積分別

7、為，所以，圖中陰影部分的面積為：()【例 7】 分別計算圖中兩個格點多邊形的面積 【解析】 利用“擴展法”和“割補法”我們都可以簡單的得到的面積均為9面積單位的面積均為10面積單位【點評】“一個格點多邊形面積的大小很可能是由哪些因素決定呢？”“格點多邊形內(nèi)部的格點數(shù)和周界上的格點數(shù)與格點多邊形的面積有沒有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？”下面我們就來探討一下！在鞏固中，我們發(fā)現(xiàn)兩個圖形面積相等進一步還可以發(fā)現(xiàn)第一個圖形邊界上的格點數(shù)是8個；第二個圖形邊界上的格點數(shù)是10個，包含在圖形內(nèi)的格點數(shù)也相等，都是6個【鞏固】求下列各個格點多邊形的面積 【解析】 ；，(面積單位)； ；，(面積單位)； ；，(面積單位)

8、； ；，(面積單位)用N表示多邊形內(nèi)部格點，L表示多邊形周界上的格點，S表示多邊形面積，請同學們分析前幾個例題的格點數(shù)我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：這個規(guī)律就是畢克定理畢克定理若一個格點多邊形內(nèi)部有N個格點，它的邊界上有L個格點，則它的面積為【例 8】 我們開始提到的“鄉(xiāng)村小屋”的面積是多少？【解析】 圖形內(nèi)部格點數(shù)；圖形邊界上的格點數(shù) ；根據(jù)畢克定理， 則(單位面積)【例 9】 右圖是一個面積單位的圖形求矩形內(nèi)的箭形的面積【解析】 箭形的面積(面積單位)【例 10】 右圖中每個小正方形的面積都是1，那么圖中這只“狗”所占的面積是多少？【解析】 圖形內(nèi)部格點數(shù)為54，圖形周界上格點數(shù)為19所以圖形的面積

9、為：(面積單位)【鞏固】如圖，每一個小方格的面積都是1平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米？ 【解析】 方法一：正方形格點陣中多邊形面積公式：(N+-1)單位正方形面積，其中N為圖形內(nèi)格點數(shù)，L為圖形周界上格點數(shù)有N=4，L=7，則用粗線圍成圖形的面積為：(4+-1)1=65(平方厘米)方法二：如右上圖，先求出粗實線外格點內(nèi)的圖形的面積，有=32=15，=22=1，=22=1，=22=1，=22=l，=22=1，還有三個小正方形，所以粗實線外格點內(nèi)的圖形面積為15+l+1+1+1+1+3=95，而整個格點陣所圍成的圖形的面積為16，所以粗線圍成的圖形的面積為：16-95=65平方

10、厘米【例 11】 (“小學數(shù)學奧林匹克”競賽試題)的方格紙，小方格的面積是1平方厘米，小方格的頂點稱為格點請你在圖上選7個格點，要求其中任意3個格點都不在一條直線上，并且使這7個點用直線連接后所圍成的面積盡可能大那么，所圍圖形的面積是 平方厘米【解析】 為了使這7個點圍成最大的面積，這7個點應盡量在正方形的邊或頂點上，如圖選取7個點，圍成面積最大最大面積為(平方厘米)【例 12】 (“保良局亞洲區(qū)城市小學數(shù)學”競賽試題)第一屆保良局亞洲區(qū)城市小學數(shù)學邀請賽在7月21日開幕，下面的圖形中，每一個小方格的面積是1，那么7、2、1三個數(shù)字所占的面積之和是多少？【解析】 要計算三個數(shù)字所占的面積之和，

11、可以先分別求出每個數(shù)字所占的面積顯然，圖中的三個數(shù)字都可以看作格點多邊形，根據(jù)畢克定理，可以很方便地求出每個數(shù)字所占的面積值得注意的是：數(shù)字“7”內(nèi)部有兩個格點，而數(shù)字“2”和“1”內(nèi)部都沒有格點7所占的面積為：；2所占的面積為：；1所占的面積為：所以，這三個數(shù)字所占的面積之和為：【例 13】 (第六屆“從小愛數(shù)學”邀請賽試題)兩個邊長相等的正方形各被分成25個大小相同的小方格現(xiàn)將這兩個正方形的一部分重疊起來，若左上角的陰影部分(塊狀)面積為，右下角的陰影部分(線狀)面積為，求大正方形的面積【解析】 塊狀部分與線狀部分之間的部分稱為D，則D與前者共14個方格，與后者共17個方格，因此每個方格的

12、面積是大正方形的面積為【例 14】 (第六屆“華杯賽”試題)圖中正六邊形ABCDEF的面積是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求陰影四邊形CEPQ的面積【解析】 如圖，將正六邊形ABCDEF等分為54個小正三角形根據(jù)平行四邊形對角線平分平行四邊形面積，面積，面積，四邊形ABQP面積上述三塊面積之和為因此，陰影四邊形CEPQ面積為板塊二 三角形格點問題所謂三角形格點多邊形是指：每相鄰三點成“”或“”，所形成的三角形都是等邊三角形規(guī)定它的面積為1，以這樣的點為頂點畫出的多邊形為三角形格點多邊形關于三角形格點多邊形的面積同樣有它的計算公式：如果用S表示面積，N表示圖形內(nèi)包含的格點數(shù)，L表示圖形周界上

13、的格點數(shù)，那么有，就是格點多邊形面積等于圖形內(nèi)部所包含格點數(shù)的2倍與周界上格點數(shù)的和減去2【例 15】 如圖(a)，有21個點，每相鄰三個點成“”或“”，所形成的三角形都是等邊三角形計算三角形ABC的面積 【解析】 方法一：如圖(b)所示，在ABC內(nèi)連接相鄰的三個點成DEF，再連接DC、EA、FB后是ABC可看成是由DEF分別延長FD、DE、EF邊一倍、一倍、二倍而成的，由等積變換不難得到， ，所以(面積單位) 方法二：如圖(c)所示，作輔助線把圖、分別移拼到、的位置，這樣可以通過數(shù)小正三角形的方法，求出ABC的面積為10 方法三：如圖(d)所示：作輔助線可知：平行四邊形ARBE中有6個小正三

14、角形，而ABE的面積是平行四邊形ARBE面積的一半，即，平行四邊形ADCH中有4個小正三角形，而ADC的面積是平行四邊形ADCH面積的一半，即平行四邊形FBGC中有8個小正三角形，而FBC的面積是平行四邊形FBGC的一半，即：所以(面積單位) 【鞏固】如圖，每相鄰三個點所形成的三角形都是面積為1的等邊三角形，計算ABC的面積【解析】 因為；：所以(面積單位)【例 16】 求下列格點多邊形的面積(每相鄰三個點“”或“”成面積為1的等邊三角形) 【解析】 ；，(面積單位)； ；，(面積單位)； ；，(面積單位)； ；，(面積單位)【例 17】 把大正三角形每邊八等分，組成如右圖所示的三角形網(wǎng)如果大

15、三角形的面積是128，求圖中粗線所圍成的三角形的面積【解析】 圖中有(個)小三角形，那么一個小三角形的面積是，圖形內(nèi)部格點數(shù)為12，圖形周界上格點數(shù)為4；圖形的面積為：(面積單位)，進而得圖形的面積為：【例 18】 如圖，如果每一個小三角形的面積是1平方厘米，那么四邊形ABCD的面積是多少平方厘米？ 【解析】 法一：正三角形方形格點陣中多邊形面積公式：(2N+L-2)x單位正三角形面積，其中N為圖形內(nèi)格點數(shù)，L為圖形周界上格點數(shù)有N=9，L=4，所以用粗線圍成的圖形的面積為：(92+4-2)1=20(平方厘米)法二：如下圖，我們先數(shù)出粗實線內(nèi)完整的小正三角形有10個，而將不完整的小正三角形分成

16、4部分計算，其中部分對應的平行四邊形面積為4，所以部分的面積為2，、部分對應的平行四邊形面積分別為2，8，6，所以、部分的面積分別為1，4，3所以粗實線內(nèi)圖形的面積為10+2+1+4+3=20(平方厘米)【例 19】 把同一個三角形的三條邊分別5等分、7等分(如圖1，圖2)，然后適當連接這些等分點，便得到了若干個面積相等的小三角形已知圖1中陰影部分面積是294平方分米，那么圖2中陰影部分的面積是_平方分米 【解析】 圖1中陰影部分占整個三角形面積的，圖2中陰影部分占整個三角形面積的，故圖2中陰影部分的面積為294=200(平方分米)【例 20】 將圖中的圖形分割成面積相等的三塊 【解析】 如右圖所示 【例 21】 如圖涂陰影部分的小正六角星形面積是16平方厘米，問：大正六角星形面積是多少平方厘米？ 【解析】 如圖，涂陰影部分的小正六角星形可分成12個與三角形PMN全等(能完全重疊地放在一起)的小三角形而圖中的大正六角星形除去小正六角星形后有64=24個與三角形PMN全等的小三角形，所以大正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米【例 22】