有理數(shù)知識總結(jié)有用

1、.冀教版有理數(shù)復(fù)習(xí)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：l 理解正負(fù)數(shù)的意義，掌握有理數(shù)的概念和分類；l 理解并會用有理數(shù)的加、減、乘、除和乘方五種運(yùn)算法則進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算；l 通過熟練運(yùn)用法則進(jìn)行計算的同時，能根據(jù)各種運(yùn)算定律進(jìn)行簡便運(yùn)算；l 通過本章的學(xué)習(xí)，還要學(xué)會借助數(shù)軸來理解絕對值，有理數(shù)比較大小等相關(guān)知識。二、重點(diǎn)難點(diǎn)：l 有理數(shù)的相關(guān)概念，如：絕對值、相反數(shù)、有效數(shù)字、科學(xué)記數(shù)法等,有理數(shù)的運(yùn)算；l 有理數(shù)運(yùn)算法則尤其是加法法則的理解；有理數(shù)運(yùn)算的準(zhǔn)確性和如何選擇簡便方法進(jìn)行簡便運(yùn)算。三、學(xué)習(xí)策略：l 先通過知識要點(diǎn)的小結(jié)與典型例題練習(xí)，然后進(jìn)行檢測，找出漏洞，再進(jìn)行針對性練習(xí)，從而達(dá)到內(nèi)容系統(tǒng)化和應(yīng)用的

2、靈活性。四、知識框架：5、 知識梳理1、知識點(diǎn)一：有理數(shù)的概念（一）有理數(shù)：（1）整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱_按定義分類： 按符號分類： 注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為_；負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為_正整數(shù)和零統(tǒng)稱為_；負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為_.（2） 認(rèn)識正數(shù)與負(fù)數(shù)：正數(shù)：像1，1.1，2008等大于_的數(shù)，叫做_.負(fù)數(shù)：像-1，-1.1，-，-2008等在正數(shù)前面加上“”（讀作負(fù)）號的數(shù)，叫_注意：_都大于零，_都小于零.“0”即不是_，也不是_.（3）用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量：如果用正數(shù)表示某種意義的量，那么負(fù)數(shù)表示其_意義的量，如果負(fù)數(shù)表示某種意義的量，則正數(shù)表示其_意義的量.如：若-5米表示向東走5米，則+3米表示向_走

3、3米； 若+6米表示上升6米，則-2米表示_；+表示零上，-則表示_ .（4）有理數(shù)“0”的作用：作用舉例表示數(shù)的性質(zhì)0是自然數(shù)、是有理數(shù)、是整數(shù)表示沒有3個蘋果用+3表示，沒有蘋果用0表示表示某種狀態(tài)表示冰點(diǎn)表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的界點(diǎn)0非正非負(fù)，是一個中性數(shù)（二）數(shù)軸（1）概念：規(guī)定了_ 、_和_的直線注：_、_、_稱為數(shù)軸的三要素，三者缺一不可. 單位長度和長度單位是兩個不同的概念，前者指所取度量單位的 ，后者指所取度量單位的 ，即 是一條人為規(guī)定的代表“1的線段，這條線段 ，按實(shí)際情況來規(guī)定，同一數(shù)軸上的單位長度一旦確定，則不能再改變.（2）數(shù)軸的畫法及常見錯誤分析畫一條水平的_；在這條直線上

4、適當(dāng)位置取一實(shí)心點(diǎn)作為_：確定向右的方向為_，用_表示；選取適當(dāng)?shù)拈L度作單位長度，用細(xì)短線畫出，并對應(yīng)標(biāo)注各數(shù)，同時要注意同一數(shù)軸的 要一致.數(shù)軸畫法的常見錯誤舉例：錯例原因 不統(tǒng)一沒有 （3）有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的 表示出來.在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù) ，正數(shù)都大于 ，負(fù)數(shù)都小于 ，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).注意：數(shù)軸上的點(diǎn)不都是有理數(shù)，如.（三）相反數(shù)（1）相反數(shù)：只有 的兩個數(shù)互稱為相反數(shù)特別地，0的相反數(shù)是；若，則，反之亦然 .（2）相反數(shù)的性質(zhì)：代數(shù)意義：只有 的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，特別地，O的相反數(shù)是0相反數(shù)必須 出現(xiàn)，不能單獨(dú)存在例如+5和

5、 互為相反數(shù)，或者說+5是 的相反數(shù)，5是 的相反數(shù)，而單獨(dú)的一個數(shù)不能說是 另外，定義中的“只有”指除 以外，兩個數(shù) ，注意應(yīng)與“只要符號不同”區(qū)分開例如+3與3互為相反數(shù)，而+3與2雖然 不同，但它們不是相反數(shù)幾何意義：一對相反數(shù)在數(shù)軸上應(yīng)分別位于 兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的_相等這兩點(diǎn)是關(guān)于_ 對稱的求任意一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“ ”號即可一般地，數(shù)a的相反數(shù)是 ；這里以a表示任意一個數(shù)，可以為 、 、負(fù)數(shù)，也可以是任意一個代數(shù)式注意a不一定是 注意：當(dāng)a0時，a 0(正數(shù)的相反數(shù)是 數(shù))；當(dāng)a=0時，a O(0的相反數(shù)是 )；當(dāng)a0時，a O (負(fù)數(shù)的相反數(shù)是 )互為相反數(shù)的兩

6、個數(shù)的和為 ，即若a與b互為 ，則a+b=0，反之，若a+b=O，則a與b互為 多重符號的化簡：一個正數(shù)前面不管有多少個“”號，都可以全部 ；一個正數(shù)前面有 個“”號，也可以把“”號全部去掉；一個正數(shù)前面有 個“”號，則化簡后只保留一個“”號，即“ 負(fù) 正”（其中“奇偶”是指正數(shù)前面的“ ”號的個數(shù)的 ，“負(fù)正”是指化簡的最后結(jié)果的 .（四）絕對值（1）絕對值的代數(shù)意義及幾何意義 絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是 ；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的 ；0的絕對值是 . 絕對值的幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的 與_的距離.數(shù)a的絕對值記作 .注意：取絕對值也是一種 ，這個 符號是“ ”

7、，求一個數(shù)的絕對值，就是根據(jù)性質(zhì) 絕對值符號. 絕對值具有 性，取絕對值的結(jié)果總是 .任何一個有理數(shù)都是由 部分組成： 和它的 ，如：5，符號是 ，絕對值是 .（2）字母a的絕對值的分類或或（3）利用絕對值比較兩個負(fù)有理數(shù)的大小規(guī)則：兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而 .步驟：計算兩個負(fù)數(shù)的 .比較這兩個 的大小.寫出正確的判斷結(jié)果.如果若干個非負(fù)數(shù)的和為0，那么這若干個非負(fù)數(shù)都必為 .例如：若2、知識點(diǎn)二：有理數(shù)運(yùn)算（一）有理數(shù)比較大小（1）數(shù)軸上的數(shù)，右邊的數(shù)總 左邊的數(shù)（2）正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；（3）兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而 ；（4）兩數(shù)比較大小，可按符號情況分類： （二）有理數(shù)

8、的加減法（1）有理數(shù)加法法則同號兩數(shù)相加，取相同的 ，并把絕對值 . 絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取 的加數(shù)的符號，并用較大的 減去較小的 .一個數(shù)同0相加，仍得 .（2）有理數(shù)加法的運(yùn)算步驟法則是運(yùn)算的依據(jù)，根據(jù)有理數(shù)加法的運(yùn)算法則，可以得到加法的運(yùn)算步驟：確定和的 ；求和的絕對值，即確定是兩個加數(shù)的絕對值的 .（3）有理數(shù)加法的運(yùn)算律兩個加數(shù)相加，交換加數(shù)的位置， 不變.即a+b=b+a(加法 律) 三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加， 不變.即 (a+b)+c=a+(b+c)（加法 律）（4）有理數(shù)加法的運(yùn)算技巧 分?jǐn)?shù)與小數(shù)均有時，應(yīng)先化為 形式. 帶分?jǐn)?shù)可分為 與 兩部

9、分參與運(yùn)算.多個加數(shù)相加時，若有互為相反數(shù)的兩個數(shù)，可先結(jié)合 得 若有可以湊整的數(shù)，即相加得整數(shù)時，可先結(jié)合 . 若有同分母的分?jǐn)?shù)或易通分的分?jǐn)?shù)，應(yīng)先結(jié)合在一起. 相同的數(shù)可以先結(jié)合在一起.（5）有理數(shù)減法法則減去一個數(shù)，等于 ，即a-b=a+( )（6）有理數(shù)減法的運(yùn)算步驟把減號變?yōu)榧犹枺ǜ淖冞\(yùn)算符號）把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)（改變性質(zhì)符號）把減法轉(zhuǎn)化為加法，按照加法運(yùn)算的步驟進(jìn)行運(yùn)算.（7）有理數(shù)加減混合運(yùn)算的步驟把算式中的減法轉(zhuǎn)化為加法；省略加號與括號；利用運(yùn)算律及技巧簡便計算，求出結(jié)果.注意：根據(jù)有理數(shù)減法法則，減去一個數(shù)等于加上 ，因此加減混合運(yùn)算可以依據(jù)上述法則轉(zhuǎn)變?yōu)橹挥?的運(yùn)算，即變

10、為求幾個正數(shù)，負(fù)數(shù)和0的和，這個和稱為代數(shù)和.為了書寫簡便，可以把加號與每個加數(shù)外的括號均省略，寫成省略加號和的形式，例如：（+3）+（-0.15）+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11，它的含義是正3，負(fù)0.15，負(fù)9，正5，負(fù)11的和。（三）有理數(shù)的乘除法（1）有理數(shù)乘法法則兩數(shù)相乘，同號得 ，異號得 ，并把 相乘.任何數(shù)同 相乘，都得0.（2）有理數(shù)乘法的運(yùn)算律兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等.即ab= （乘法結(jié)合律）三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等.即 abc= （乘法結(jié)合律）一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把

11、積相加. 即 a(b+c)= （乘法分配律）（3）有理數(shù)乘法法則的推廣幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由 的個數(shù)決定，當(dāng) 的個數(shù)是偶數(shù)時，積為 ； 的個數(shù)是奇數(shù)時，積為 .幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0，則積為 .在進(jìn)行乘法運(yùn)算時，若有帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化為 ，便于約分；若有小數(shù)及分?jǐn)?shù)，一般先將小數(shù)化為 ，或湊整計算；利用乘法分配律及其逆用，也可簡化計算.（4）有理數(shù)除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的 。即ab=a (b0)兩數(shù)相除，同號得 ，異號得 ，并把絕對值 ， 除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.（5）倒數(shù)及有理數(shù)除法乘積為 的兩個數(shù)互為倒數(shù)。倒數(shù)是 出現(xiàn)的，單獨(dú)一個數(shù)不能稱為倒數(shù)；

12、互為倒數(shù)的兩個數(shù)的乘積一定 ； 沒有倒數(shù)；求一個非零有理數(shù)的倒數(shù)，只要把它的分子和分母 即可（正整數(shù)可以看作分母為1的分?jǐn)?shù)）。注意： 互為倒數(shù)，則；互為負(fù)倒數(shù)，則。反之亦然.有理數(shù)除法的運(yùn)算步驟：首先確定商的 ，然后再求出商的絕對值.（四）有理數(shù)的乘方 （1）概念：求個相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做 ， 的結(jié)果叫做 ，在中，叫做 ，叫做 .（2）含義： 中，為底數(shù)，為指數(shù)，即表示的個數(shù)，表示有 相乘.例如：表示33333，(-3)表示（-3）（-3）（-3）（-3）（-3），特別注意負(fù)數(shù)及分?jǐn)?shù)的乘方，應(yīng)把底數(shù)加上括號. 如(-2)表示 相乘，而-2則表示7個2相乘的積的 。當(dāng)n為奇數(shù)時，(-a)=

13、；而當(dāng)n為偶數(shù)時，(-a)= .注意： 負(fù)數(shù)的奇次冪是 ，負(fù)數(shù)的 冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是 ，0的任何次冪都是 ，任何不為0的數(shù)的0次冪都是 .（3）“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用口訣“奇負(fù)偶正”在多處知識點(diǎn)中均提到過，它具體的應(yīng)用有如下幾點(diǎn)：多重負(fù)號的化簡，這里奇偶指的是“”號的個數(shù)，例如：（3）= ，+（3）= .有理數(shù)乘法，當(dāng)多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號，例如：（3）（2）（6）= ，而（3）（2）6= .有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為 ；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為 ，例如：（3）= ，（3）= .（4）有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算

14、順序：先乘方，再乘除，最后加減；同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行.加減法為一級運(yùn)算，乘除法為二級運(yùn)算，乘方及開方（以后學(xué)）稱為三級運(yùn)算.同級運(yùn)算，按從左到右的順序進(jìn)行；不同級運(yùn)算，應(yīng)先算 級運(yùn)算，然后 級，最后 級；如果有括號，先算括號里的，有多重括號時，應(yīng)先算_括號里的，再算 括號里的，最后算 括號里的. 以上運(yùn)算順序可以簡記為：“從左到右，從高（級）到低（級），從?。ɡㄌ枺┑酱螅ɡㄌ枺?6、 經(jīng)典例題1、類型一：正數(shù)與負(fù)數(shù)的意義例1一個物體沿著東西兩個相反方向運(yùn)動，如果把向東的方向規(guī)定為正，那么走6km，走-4.5km，走0km的意義各

15、是什么？思路點(diǎn)撥： 正數(shù)與負(fù)數(shù)可表示具有相反意義的量，正數(shù)表示向東運(yùn)動，則負(fù)數(shù)表示 運(yùn)動 .0表示原地不動，0表示正數(shù)與 的分界，在實(shí)際問題中也有確定的意義. 解析： 總結(jié)： 舉一反三：【變式1】博然的父母6月份共收入4800元，可以將這筆收入記作+4800元；由于天氣炎熱，博然家用其中的1600元錢買了一臺空調(diào)，又該怎樣記錄這筆支出呢?解析：【變式2】某老師把某一小組五名同學(xué)的成績簡記為：10、5、0、8、3，又知記為0的實(shí)際成績表示90分，正數(shù)表示超過90分，則這五位同學(xué)的平均成績?yōu)槎嗌俜郑?解析：2、類型二：有理數(shù)的分類例2把下列各數(shù)填入相應(yīng)的括號內(nèi)：+6，0.35，-1，-7.82，0

16、，97，.整數(shù)集合： ；非負(fù)集合： ；分?jǐn)?shù)集合： ；負(fù)數(shù)集合： .思路點(diǎn)撥：根據(jù)有理數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，將所給數(shù)進(jìn)行分類填整數(shù)集合時，不能漏掉“ ”；填集合時，最后要加“”，“非負(fù)數(shù)”不要僅理解為正數(shù)， 既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，屬于“非負(fù)”范圍內(nèi)的數(shù)；負(fù)數(shù)包括 和 .解析：舉一反三：【變式】（1）最小的正整數(shù)是 ：最大的負(fù)整數(shù)是 ；最小的整數(shù)是 ；最小的正數(shù)是 ；最大的負(fù)數(shù)是 ；最小的有理數(shù) ；絕對值最小的有理數(shù)是 。（2）一個數(shù)的相反數(shù)等于它本身，這個數(shù)是 ；一個數(shù)的絕對值等于它本身，這個數(shù)是 ；一個數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，這個數(shù)是 ；一個數(shù)的倒數(shù)等于它本身，這個數(shù)是 ；一個數(shù)的平方等于它本身，

17、這個數(shù)是 ；一個數(shù)的平方等于它的絕對值，這個數(shù)是 ；一個數(shù)的平方等于它的相反數(shù)，這個數(shù)是 ；一個數(shù)的立方等于它本身，這個數(shù)是 。解析：3、類型三：多重符號的化簡例3、化簡下列各數(shù)：思路點(diǎn)撥：多重符號的化簡是由“ ”的個數(shù)來定，若“-”個數(shù)是 個時，化簡結(jié)果為正；若 “-”個數(shù)是奇數(shù)個時，化簡結(jié)果為 。解析：舉一反三：【變式1】【變式2】說出下列各式的意義，然后化簡：(1)-(-3) (2)+-(+5)；(3)-(-6)（共n個負(fù)號）4、類型四：有理數(shù)的大小比較例4在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點(diǎn)，并用“ ”連接起來； 思路點(diǎn)撥：首先畫出數(shù)軸，三要素要齊全；再把各數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)找出來；然后根據(jù)這

18、些數(shù)在數(shù)軸上的位置順序比較大小，再用“ ”連接起來. 解析：舉一反三：【變式】利用絕對值比較下列有理數(shù)的大小用、號連接. （1）-0.6，-60 （2） 思路點(diǎn)撥：比較負(fù)數(shù)的大小，先求出各數(shù)的 ，關(guān)鍵是比較絕對值的大小，絕對值大的反而 ，比較分?jǐn)?shù)大小，一般要化成同 的分?jǐn)?shù)來比較.解析5、類型五：絕對值的概念例5若+|2b+5|=0,計算2a-b的值. 思路點(diǎn)撥：從表面看條件比較復(fù)雜，但根據(jù)絕對值的非負(fù)性，可求出a,b值。解析：舉一反三：【變式1】若，化簡：解析：【變式2】代數(shù)式的最小值為 。解析： 【變式3】a，b在數(shù)軸上的位置如圖（1）化簡： 。（2）比較大?。海?。解析：5、類型六：相反數(shù)，倒數(shù)的概念例6已知a、b互為倒數(shù)，c、d互為相反數(shù)，且，那么的值為 。思路點(diǎn)撥：根據(jù)相反數(shù)與倒數(shù)的意義可得： 互為相反數(shù)的兩數(shù)的和為 ，互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為 . 舉一反三：【變式】已知三個互不相等的