中考數(shù)學復習專題二次函數(shù)與幾何圖形的綜合有解析

1、 專題八二次函數(shù)與幾何圖 形的綜合 畢節(jié)中考備考攻略 二次函數(shù)與幾何的綜合問題一般作為壓軸題呈現(xiàn),具有知識點多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系復雜、綜合性強、解題方法靈活等鮮明特點,同時題型變化多樣,如求線段的長、求圖形的面積、特殊三角形的存在性、特殊四邊形的存在性、相似三角形的存在性等等. 1.二次函數(shù)與線段的長 (1)一般設(shè)拋物線上點的橫坐標為x,縱坐標為拋物線解析式,與之相關(guān)的點的橫坐標也為x,縱坐標為直線解析式,兩點縱坐標之差的絕對值即為線段的長度； (2)建立關(guān)于線段長的二次函數(shù),通過求二次函數(shù)的最值進而求線段長的最值； (3)線段長之和最小的問題,轉(zhuǎn)化為對稱點后用兩點之間線段最短解決.

2、2.二次函數(shù)與圖形的面積 (1)根據(jù)二次函數(shù)中不同圖形的特點選擇合適的方法解答圖形的面積； (2)通過觀察、分析、概括、總結(jié)等方法了解二次函數(shù)面積問題的基本類型,并掌握二次函數(shù)中面積問題的相關(guān)計算,從而體會數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用； (3)利用二次函數(shù)的解析式求出相關(guān)點的坐標,從而得出相關(guān)線段長,利用割補方法求圖形的面積. 3.二次函數(shù)與特殊三角形 (1)判斷等腰三角形,可以對頂點進行分類討論； (2)判斷直角三角形,可以對直角頂點進行分類討論. 4.二次函數(shù)與特殊四邊形 此類題型結(jié)合特殊四邊形的判定方法,對對應(yīng)邊進行分類討論,求平行四邊形存在類問題用平移法解坐標較簡單,其他特

3、殊的平行四邊形結(jié)合判斷方法用邊相等、角為直角或?qū)蔷€的交點坐標突破. 5.二次函數(shù)與相似三角形 結(jié)合相似三角形判定 方法,如果一個角為直角,只需兩直角邊之比分別相等,此時要對對應(yīng)邊分類討論. 中考重難點突破 二次函數(shù)與線段的長 例1(2018遂寧中考改編)如圖,已知拋物線yax232x4的對稱軸是直線x3,且與x軸相交于A,B兩點(B點在A點右側(cè)),與y軸交于C點. (1)求拋物線的解析式和A,B兩點的坐標； (2)若M是拋物線上任意一點,過點M作y軸的平行線,交直線BC于點N,當MN3時,求點M的坐標. 【解析】(1)由拋物線的對稱軸x3,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到a的值,進而可得出拋物線的

4、解析式,再利用拋物線與x軸交點的縱坐標為0可求出點A,B的坐標； (2)根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標.由點B,C的坐標,利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式.設(shè)點M的橫坐標為m,可表示點M的縱坐標.又由MNy軸,可表示出點N的橫縱坐標,進而可用m的代數(shù)式表示出MN的長,結(jié)合MN3即可得出關(guān)于m的含絕對值符號的一元二次方程,分類討論即可得出結(jié)果. 【答案】解：(1)拋物線yax232x4的對稱軸是直線x3,322a3,解得a14, 拋物線的解析式為y14x232x4. 當y0時,14x232x40, 解得x12,x28. 點A的坐標為(2,0),點B的坐標為(8,0)； (2)當

5、x0時,y14x232x44, 點C的坐標為(0,4). 設(shè)直線BC的解析式為ykxb(k0). 將B(8,0),C(0,4)代入ykxb,得 8kb0，b4，解得k12，b4， 直線BC的解析式為y12x4. 設(shè)點M的坐標為m，14m232m4,則點N的坐標為m，12m4, MN14m232m412m4 14m22m. 又MN3,14m22m3. 當14m22m0,即0m8時,14m22m3,解得m12,m26, 此時點M的坐標為(2,6)或(6,4). 同理,當14m22m0,即m8或m0時,點M的坐標為(427,71)或(427,71). 綜上所述,點M的坐標為(2,6),(6,4),(

6、427,71)或(427,71).1.(2018安順中考改編)如圖,已知拋物線yax2bxc(a0)的對稱軸為直線x1,且拋物線與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,其中A(1,0),C(0,3). (1)若直線ymxn經(jīng)過B,C兩點,求直線BC和拋物線的解析式； (2)在拋物線的對稱軸x1上找一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,求出點M的坐標. 解：(1)依題意,得 b2a1，abc0，c3， 解得a1，b2，c3， 拋物線的解析式為yx22x3. 令y0,則x22x30, 解得x11,x23, 點B(3, 0). 把B(3,0),C(0,3)代入ymxn,得 3mn0，n3，

7、 解得m1，n3， 直線BC的解析式為yx3； (2)設(shè)直線BC與x1的交點為M,連接AM. 點A,B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱, MAMB, MAMCMBMCBC, 當點M為直線BC與x1的交點時,MAMC的值最小. 把x1代入yx3,得y2, M(1,2).二次函數(shù)與圖形的面積 例2(2018達州中考改編)如圖,拋物線經(jīng)過原點O(0,0),A(1,1),B(72,0). (1)求拋物線的解析式； (2)連接OA,過點A作ACOA交拋物線于點C,連接OC,求AOC的面積. 【解析】(1)設(shè)交點式y(tǒng)axx72,然后把A點坐標代入求出a,即可得到拋物線的解析式； (2)延長CA交y軸于點D,易得OA

8、2,DOA45,則可判斷AOD為等腰直角三角形,由此可求出D點坐標,利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式,再結(jié)合拋物線的解析式可得關(guān)于x的一元二次方程,解方程可得點C的坐標,利用三角形面積公式及SAOCSCODSAOD進行計算,進而得出AOC的面積. 【答案】解：(1)設(shè)拋物線的解析式為yaxx72. 把A(1,1)代入yaxx72,可得a25, 拋物線的解析式為y25xx72, 即y25x275x； (2)延長CA交y軸于點D. A(1,1),OAC90, OA2,DOA45, AOD為等腰直角三角形, OD2OA2,D (0,2). 由點A(1,1),D(0,2),得直線AD的解析式為yx2

9、. 令25x275xx2,解得x11,x25. 當x5時,yx23,C(5,3), SAOCSCODSAOD122512214.2.(2018眉山中考改編)如圖,已知拋物線yax2bxc經(jīng)過點A(0,3),B(1,0),其對稱軸為直線l：x2,過點A作ACx軸交拋物線于點C,AOB的平分線交線段AC于點E,點P是拋物線上的一個動點,設(shè)其橫坐標為m. (1)求拋物線的解析式； (2)若動點P在直線OE下方的拋物線上,連接PE,PO,當m為何值時,四邊形AOPE的面積最大？并求出其最大值.解：(1)由拋物線的對稱性易得D(3,0),設(shè)拋物線的解析式為ya(x1)(x3). 把A(0,3)代入ya(

10、x1)(x3),得33a, 解得a1, 拋物線的解析式為yx24x3； (2)由題意知P(m,m24m3). OE平分AOB,AOB90, AOE45, AOE是等腰直角三角形, AEOA3, E(3,3). 易得OE的解析式為yx. 過點P作PGy軸,交OE于點G,則G(m,m), PGm(m24m3)m25m3. S四邊形AOPESAOESPO E 123312PGAE 9212(m25m3)3 32m2152m 32m522758. 320, 當m52時,四邊形AOPE的面積最大,最大值是758.二次函數(shù)與特殊三角形 例3(2018棗莊中考改編)如圖,已知二次函數(shù)yax232xc(a0)

11、的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點B,C,點C坐標為(8,0),連接AB,AC.(1)求二次函數(shù)的表達式； (2)若點N在x軸上運動,當以點A,N,C為頂點的三角形是等腰三角形時,請寫出此時點N的坐標. 【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可得出答案； (2)分別以A,C兩點為圓心,AC長為半徑畫弧,與x軸交于三個點,由AC的垂直平分線與x軸交于一個點,即可求得點N的坐標. 【答案】解：(1)二次函數(shù)yax232xc的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點C(8,0), c4，64a12c0，解得a14，c4， 二次函數(shù)的表達式為y14x232x4； (2)A(0,4),C(8,0),

12、 AC428245. 以點A為圓心,AC長為半徑作圓,交x軸于點N,則ANAC,故NAC是以NC為底邊的等腰三角形,此時N點坐標為(8,0)； 以點C為圓心,AC長為半徑作圓,交x軸于點N,則CNCA,故ACN是以NA為底邊的等腰三角形,此時N點坐標為(845,0)或(845,0)； 作AC的垂直平分線,交x軸于點N,則NANC,故ANC是以AC為底邊的等腰三角形,此時點N為BC的中點.令y14x232x40,解得x18,x22,此時N點坐標為(3,0). 綜上所述,點N在x軸上運動,當以點A,N,C為頂點的三角形是等腰三角形時,點N的坐標為(8,0),(845,0),(3,0)或(845,0

13、).3.(2018蘭州中考)如圖,拋物線yax2bx4經(jīng)過A(3,0),B(5,4)兩點,與y軸交于點C,連接AB,AC,BC.(1)求拋物線的表達式； (2)求證：AB平分CAO； (3)拋物線的對稱軸上是否存在點M,使得ABM是以AB為直角邊 的直角三角形？若存在,求出點M的坐標；若不存在,請說明理由.(1)解：將A(3,0),B(5,4)代入yax2bx4,得 9a3b40，25a5b44，解得a16，b56， 拋物線的表達式為y16x256x4；(2)證明：AO3,OC4, AC5. 取D(2,0),則ADAC5. 由兩點間的距離公式可知BD（52）2（40）25.C(0,4),B(5

14、,4),BC5. ADACBDBC. 四邊形ACBD是菱形, CABBAD,AB平分CAO；(3)解：如圖,拋物線的對稱軸交x軸與點E,交BC與點F, 過點A,B分別作MAAB,MBAB,交對稱軸于點M,M. 拋物線的對稱軸為x52, AE115. A(3,0),B(5,4),tan EAB12. MAB90,tan MAE2.ME2AE11,M52，11. 同理,tan MBF2. 又BF52,FM5,M52，9. 綜上所述,拋物線的對稱軸上存在點M52，11 或52，9,使得ABM是以AB為直角邊的直角三角形.二次函數(shù)與四邊形例4(2018河南中考改編)如圖,拋物線yax26xc交x軸 于

15、A,B兩點,交y軸于點C,直線yx5經(jīng)過點B,C. (1)求拋物線的解析式； (2)過點A的直線交直線BC于點M,當AMBC時,過拋物線上一動點P(不與點B,C重合),作直線AM的平行線交直線BC于點Q,若以點A,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形,求點P的橫坐標；【解析】(1)利用直線BC的解析式確定點B,C的坐標,然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式； (2)先利用拋物線的解析式求出A點坐標,再判斷OCB為等腰直角三角形,繼而得到OBCOCB45,則AMB為等腰直角三 角形,進而求出點M的坐標,根據(jù)拋物線和直線BC的解析式設(shè)點P,Q的坐標,根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分,即可列出等式方程,

16、解方程即可得到點P的橫坐標. 【答案】解：(1)當x0時,y5,則C(0,5). 當y0時,yx50,解得x5,則B(5,0). 把B(5,0),C(0,5)代入yax26xc,得 25a30c0，c5，解得a1，c5， 拋物線的解析式為yx26x5； (2)令yx26x50,解得x11,x25, A(1,0). B(5,0),C(0,5),BAC90,OCB為等腰直角三角形,OBCOCB45. 又AMBC,AMB為等腰直角三角形, AM22AB22422. 以點A,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形, AMPQ,PQAM22,PQBC. 作PDx軸交直線BC于點D,則PDQ45, PD2P

17、Q2224. 設(shè)P(m,m26m5),則D(m,m5). 當點P在直線BC上方時,PDm26m5(m5)m25m4,解得m11(舍去),m24； 當點P在直線BC下方時,PDm5(m26m5)m25m4,解得m35412,m45412. 綜上所述,點P的橫坐標為4,5412或5412. 4.(2018濟寧中考改編)如圖,已知拋物線yax2bxc(a0)經(jīng)過點A(3,0),B(1,0),C(0,3). (1)求該拋物線的解析式； (2)若點Q在x軸上,點P在拋物線上,是否存在以點B ,C,Q,P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,求點P的坐標；若不存在,請說明理由.解：(1)把A(3,0),B(

18、1,0),C(0,3)代入yax2bxc,得 9a3bc0，abc0，c3，解得a1，b2，c3， 該拋物線的解析式為yx22x3； (2)存在以點B,C,Q,P為頂點的四邊形是平行四邊形. 設(shè)直線BC的解析式為ykx3, 把B(1,0)代入,得k30,即k3, 直線BC的解析式為y3x3. 設(shè)Q(x,0),P(m,m22m3). 當四邊形BCQP為平行四邊形時,BCPQ,且BCPQ. 由B(1,0),C(0,3),得點P的縱坐標為3,即m22m33, 解得m17, 此時P(17,3)或P(17,3)； 當四邊形BCPQ為平行四邊形或四邊形是以BC為對角線的平行四邊形時,點P的縱坐標為3,即m

19、22m33,解得m0或m2,此時P(2,3). 綜上所述,存在以點B,C,Q,P為頂點的四邊形是平行四邊形,P的坐標為(17,3)或(17,3),(2,3).二次函數(shù)與相似三角形例5(2018德州中考改編)如圖,在平面直角坐標系中,直線yx1與拋物線yx2bxc交于A,B兩點,其中A(m,0),B(4,n),該拋物線與y軸交于點C,與x軸交于另一點D.(1)求m,n的值及該拋物線的解析式； (2)連接BD,CD,在線段CD上是否存在點Q,使得以A,D,Q為頂點的三角形與ABD相似？若存在,請求出點Q的坐標；若不存在,請說明理由. 【解析】(1)把點A,B的坐標代入yx1求出m與n的值,確定點A

20、,B的坐標,然后代入yx2bxc求出b與c的值即可； (2)由點C,D的坐標易得直線BC的解析式為yx5,再由直線AB的解析式易得ABCD,因此ADCBAD.分類討論：當DAQABD或DQAABD時,根據(jù)對應(yīng)邊成比例求出DQ的長,即可求出點Q的坐標. 【答案】解：(1)把點A(m,0),B(4,n)代入yx1,得m1,n3, A(1,0),B(4,3). yx2bxc經(jīng)過A,B兩點, 1bc0，164bc3，解得b6，c5， 該拋物線的解析式為yx26x5； (2)在線段CD上存在點Q,使得以A,D,Q為頂點的三角形與ABD相似. 由(1)中結(jié)果可知C(0,5),D(5,0), 直線CD的解析

21、式為yx5. 又直線AB的解析式為yx1, ABCD,BADADC. 設(shè)Q(x,x5)(0x5). 當ABDDAQ時,ABDAADDQ, 即3244DQ,解得DQ823, 由兩點間的距離公式,得(x5)2(x5)28232,解得x73或x233(舍去),此時Q73，83； 當ABDDQA時,ABDQADDA1,即DQ32, (x5)2(x5)2(32)2, 解得x2或x8(舍去),此時Q(2,3). 綜上所述,點Q的坐標為(2,3)或73，83.5.(2018深圳中考改編) 已知頂點為A的拋物線yax1222經(jīng)過點B32，2.(1)求拋物線的解析式； (2)如圖,直線AB與x軸相交于點M,與y

22、軸相交于點E,拋物線與y軸相交于點F,在直線AB上有一點P,若OPMMAF,求POE的面積.解：(1)把點B32，2代入yax1222,解得a1, 拋物線的解析式為yx1222, 即yx2x74； (2)由(1)中結(jié)果得A12，2,F0，74. 設(shè)直線AB的解析式為ykxb,由點A,B的坐標,得212kb，232kb，解得k2，b1， 直線AB的解析式為y2x1, OE1,FE34. 若OPMMAF,則當OPAF時,OPEFAE,OPFAOEFE13443, OP43FA431202274253. 設(shè)點P(t,2t1),則OPt2（2t1）253, 即(15t2)(3t2)0,解得t1215,

23、t223. 由對稱性知,當t1215時,也滿足OPMMAF, t1,t2的值都滿足條件. SPOE12OE|t|, 當t215時,SOPE121215115； 當t23時,SOPE1212313. 綜上所述,POE的面積為115或13.畢節(jié)中考專題過關(guān) 1.(2018自貢中考改編)如圖,拋物線yax2bx3過A(1,0),B(3,0)兩點,直線AD交拋物線于點D,點D的橫坐標為2,點P(m,n)是線段AD上的動點. (1)求直線AD及拋物線的解析式； (2)過點P的直線垂直于x軸,交拋物線于點Q,求線段PQ的長度l與m的關(guān)系式,m為何值時,PQ最長？ 解：(1)把(1,0),(3,0)代入ya

24、x2bx3,得 ab30，9a3b30，解得a1，b2， 拋物線的解析式為yx22x3. 當x2時,y(2)22(2)33, 即D(2,3). 設(shè)直線AD的解析式為ykxb. 將A(1,0),D(2,3)代入,得 kb0，2kb3，解得k1，b1， 直線AD的解析式為yx1； (2)由(1)可得P(m,m1),Q(m,m22m3), l(m1)(m22m3), 即lm2m2(2m1), 配方,得lm12294, 當m12時,PQ最長.2.(2018菏澤中考改編)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線yax2bx5交y軸于點A,交x軸于點B(5,0)和點C(1,0). (1)求該拋物線的解析式； (2

25、)若點P是直線AB下方的拋物線上一動點,當點P運動到某一位置時,ABP的面積最大,求出此時點P的坐標和ABP的最大面積. 解：(1)拋物線yax2bx5交y軸于點A,交x軸于點B(5,0)和點C(1,0), 25a5b50，ab50，解得a1，b4， 該拋物線的解析式為yx24x5； (2)設(shè)點P的坐標為(p,p24p5),如圖. 由點A(0,5),B(5,0)得直線AB的解析式為yx5. 當xp時,yp5. OB5, SABP（p5）（p24p5）25 52p522254. 點P是直線AB下方的拋物線上一動點, 5p0, 當p52時,S取得最大值, 此時S1258,點P的坐標是52，354,

26、 即當點P的坐標為52，354時,ABP的面積最大,此時ABP的面積是1258.3.(2018泰安中考改編)如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)yax2 bxc交x軸于點A(4,0),B(2,0),交y軸于點C(0,6),在y軸上有一點E(0,2),連接AE. (1)求二次函數(shù)的表達式； (2)拋物線對稱軸上是否存在點P,使AEP為等腰三角形？若存在,請求出所有P點坐標；若不存在,請說明理由. 解：(1)二次函 數(shù)yax2bxc經(jīng)過點A(4,0),B(2,0),C(0,6), 16a4bc0，4a2bc0，c6，解得a34，b32，c6， 二次函數(shù)的表達式為y34x232x6； (2)在拋物線對

27、稱軸上存在點P,使AEP為等腰三角形. 拋物線y34x232x6的對稱軸為x1,設(shè)P(1,n). 又E(0,2),A(4,0), PA9n2,PE1（n2）2, AE16425. 當PAPE時,9n21（n2）2, 解得n1,此時P(1,1)； 當PAAE時,9n225, 解得n11,此時P(1,11)； 當PEAE時,1（n2）225, 解得n219,此時P (1,219). 綜上所述,點P的坐標為(1,1),(1,11)或(1,219).4.(2018上海中考)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y12x2bxc經(jīng)過點A(1,0)和點B0，52,頂點為C,點D在其對稱軸上且位于點C下

28、方,將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90,點C落在拋物線上的點P處. (1)求這條拋物線的表達式； (2)求線段CD的長； (3)將拋物線平移,使其頂點C移到原點O的位置,這時點P落在點E的位置,如果 點M在y軸上,且以O(shè),D,E,M為頂點的四邊形面積為8,求點M的坐標. 解：(1)把A(1,0),B0，52代入y12x2bxc,得 12bc0，c52，解得b2，c52， 這條拋物線的表達式為y12x22x52； (2)y12(x2)292, C2，92,拋物線的對稱軸為直線x2. 如圖,設(shè)CDt,則D2，92t. 由題意,得PDC90,DPDCt, P2t，92t. 把P2t，92t代入y12x22x52,可得 t10(舍去),t22. 線段CD的長為2； (3)由(2)易知P4，52,D2，52. 平移后,E點坐標為(2,2). 設(shè)M(0,m),則12|m|52228, m72, 點M 的坐標為0，72或0，72.5.(2018綿陽中考改編)如圖,已知拋物線yax