弧長與扇形面積的應用

1、3.7 弧長及扇形的面積應用一、教學目標：1、進一步理解弧長及扇形面積的計算公式并能準確應用；2、利用數(shù)學知識解決實際問題，逐步培養(yǎng)學生的應用意識；3、經歷對物體翻滾過程的體驗，逐步發(fā)展學生的空間觀點；二、教學重點：弧長及扇形面積計算公式的應用，對物體翻轉過程的想象。三、 教學難點：對物體翻滾過程的想象，并將其抽象成數(shù)學問題加以解決。四、教學過程：（一） 復習與回顧：上一節(jié)課我們討論了弧長及扇形面積的計算公式。今天，請同學們先完成以下問題：1、在半徑為R的圓中，的圓心角所對的弧長的計算公式為：。2、如果扇形的半徑為R，圓心角為，那么扇形面積的計算公式為：。3、扇形的弧長與扇形的面積之間的關系為

2、：。接下來，我們通過幾個具體問題來看看弧長及扇形面積的應用。（二） 典型題探討：1、 課本習題變式探討：如圖1，折線AOBC是一段圍墻，一根5米長的繩子的一端拴在O點處的柱子上，另一端拴著一只小羊。請在圖1中畫出小羊的最大活動區(qū)域。首先，讓學生快速回憶以前解決過的原問題，并通過依次點擊按鈕1按鈕5來展示小羊活動的最大區(qū)域及其形成過程，如圖2中由曲線所圍成的區(qū)域。然后，點擊 按鈕，顯示以下變式問題：如果OA6米，OB3米，BC5米，AOB90，OBC120，則小羊活動的最大區(qū)域的面積為_。解析：根據(jù)最大區(qū)域的形成過程知該區(qū)域的面積分成了扇形DOF和扇形FBG兩部分。所以，小羊的最大活動區(qū)域的面積

3、應為：此時，點擊按鈕6顯示答案。評注：該問題中小羊活動的路徑為兩段圓弧，而最大活動區(qū)域實際上分別是線段OD、BF繞著點O、B旋轉時掃過的圖形面積之和。2、典型問題賞析：問題1、將以邊長為1的等邊三角形木板沿水平線翻滾(如圖3所示)，那么點B從開始至結束所經過的路徑的長度為_。A、 B、 C、4 D、解析：讓學生動手操作，去體會點B的運動路徑并將其在圖形中畫出來，然后加以計算。在絕大部分學生獲得結果時依次點擊按鈕1、按鈕2、按鈕1，協(xié)助學生進一步想象物體的運動以及點B的路徑。至于計算，有圖3易知兩段弧相等，各弧的圓心角為120，半徑為1，故可求得答案為B。此時，點擊按鈕3顯示答案。問題2、邊長為

4、2的正方形木塊在水平地面上翻滾兩周(如圖4所示)后，頂點A所經過的路徑總長為_，A點與旋轉中心連線所掃過的面積為_。解析：讓學生組成兩人學習互助組，共同協(xié)作動手操作，去尋找并體會A點的運動路徑并在圖形中畫出來；適時指點遇到障礙的學習小組，給予必要的提示。點擊按鈕1、按鈕2、按鈕1，讓學生驗證自己的想象以及操作結果，使學生從中獲得成就感。A點路徑的計算能夠分別計算弧AC、弧CA的長，然后相加即可。依次點擊按鈕3顯示輔助線和A點路徑長的答案；點擊按鈕5顯示A點與旋轉中心連線所掃過的圖形為兩個扇形，點擊按鈕6顯示A點與旋轉中心連線所掃過的圖形的面積。評注：在該問題中，A點在兩次翻滾時所繞的旋轉中心發(fā)

5、生了變化，所以旋轉半徑也發(fā)生了變化。這個點，應給學生強調，并與課本變式題實行對比，讓學生體會問題之關鍵所在。問題3、在ABC中，C90，A60，AC，將ABC繞點B旋轉至BDE的位置，且使點A、B、D在同一條直線上，請在圖中畫出AC邊掃過的面積，并求這個面積。解析：本題也是考慮一條線段掃過的圖形面積，那么它與課本變式題和問題2中的問題是否一樣呢？請同學們動手試一試，想一想，也能夠將你的想法和同伴實行交流。適時地指點和給出必要的提示：線段與兩個端點之間的關系，點的運動路徑能找出來嗎？線段的中點的路徑又如何呢？試著再找找線段上其它點的運動路徑，你能發(fā)現(xiàn)什么呢？點擊按鈕1顯示圖5中的陰影部分，此即為

6、線段AC掃過的圖形。方法一、利用“陰影部分面積總面積空白部分面積”，即陰影部分面積(扇形ABE的面積BDE的面積)(ABC的面積扇形CBD的面積)扇形ABE的面積扇形CBD的面積；方法二、圖5中陰影部分的面積能夠利用圖6或圖7的方法將其轉化為扇環(huán)的問題實行求解；點擊按鈕2可得圖6，點擊按鈕3可得圖7； 方法三、扇環(huán)是圓環(huán)的一部分，那么能否將方法二中的扇環(huán)與圓環(huán)聯(lián)系起來呢？請同學們試著將ABC繼續(xù)繞點B順時針旋轉，再依次轉過兩個120，看看能得到什么圖形？從中你能得到什么啟示？在學生有了初步理解后，點擊按鈕4可得圖8。利用圖8，我們不難得到圖5中陰影部分的面積為。評注：在該問題中，線段AC掃過的

7、圖形即使不是規(guī)則圖形，但我們能夠通過對圖形的組拼將其轉化為規(guī)則圖形。這正是求解不規(guī)則圖形面積的常用方法。五、課時小結：1、 弧長與扇形面積的計算關鍵是找準扇形的半徑和圓心角的大?。?、 翻滾問題關鍵是搞清物體在翻滾時是圍繞那一個點翻滾的，翻滾的角度是多大；3、 求解不規(guī)則圖形的面積要注意觀察圖形的特征，抓住特征實行簡單的圖形組拼。六、課后鞏固練習：1、在ABC中，C90，A60，AC，將ABC繞點B旋轉至ABC的位置(如圖9所示)，且使點A、B、C在同一條直線上，則點A經過的路徑長為_。A、 B、 C、 D、2、如圖10，矩形ABCD的長和寬分別為2和1，AB在直線m上。依次以B、為中心將矩形ABCD按順時針旋轉90，這樣點A按曲線移動，其中弧與邊CD交于點P。(1)、求A點運動的路徑的長度；(2)、求圖中陰影部分的面積；(3)、求A點的運動路徑與直線m所圍圖形的面積。3、 在ABC中，如果A45，B75，BC2，將