函數(shù)思想解題探究

1、函數(shù)思想解題探究函數(shù)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點(diǎn)。函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)、集合與對(duì)應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想的精髓就是構(gòu)造函數(shù)。函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對(duì)于函數(shù)y f (x) ，當(dāng) y 0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式 f ( x)0 ，借助數(shù)列的通項(xiàng)或前n 項(xiàng)和時(shí)自變量為自然數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題也是十分重要。函數(shù) f ( x)(ax b) n (n n * ) 與二項(xiàng)式定理密切相關(guān)，利用這個(gè)函數(shù)，用賦值法和比較系數(shù)法可與函數(shù)的圖像與性質(zhì)可以解決不等

2、式的有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式。以解決很多有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題。解析幾何中的許多問題，例如直線與二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論。立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決。建立空間向量后，立體幾何與函數(shù)的關(guān)系就更加密切。函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解（證）不等式、 解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題 ;二是在問題的研究中， 通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)問題，達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的

3、目的?？v觀中學(xué)數(shù)學(xué)，可謂是以函數(shù)為中心，以函數(shù)為綱， “綱舉目張” ，抓住了函數(shù)這個(gè)“綱”就帶動(dòng)起了中學(xué)數(shù)學(xué)的“目” 。即使對(duì)函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)的研究，也完全是以函數(shù)為對(duì)象、為中心的。熟練掌握基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)與方程思想解題的基礎(chǔ)。善于根據(jù)題意構(gòu)造、抽象出函數(shù)關(guān)系式是用函數(shù)思想解題的關(guān)鍵。所謂函數(shù)思想，不僅僅是使用函數(shù)的方法來研究和解決函數(shù)的問題，它的精髓是運(yùn)用函數(shù)分析問題、解決問題的觀點(diǎn)、方法，是通過構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，使用函數(shù)方法來解決問題的思想。1. 構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)例 1.已知關(guān)于 x 的方程 x 22 cos xa 20 有唯一解，求a 的值；分析：構(gòu)造函數(shù)f ( x

4、)x 22 cos xa2 ，則問題轉(zhuǎn)化為求f ( x) 的零點(diǎn)唯一時(shí)的a 。解析：令 f ( x)x 22 cos xa 2 ， xr f (x) f (x), f ( x)是偶函數(shù)。f ( x) 的圖像關(guān)于 y軸對(duì)稱， 而題設(shè)方程f ( x)0 由唯一解， 從而此解必為 x0（否則必有另一解） ，f ( 0) 0 2a 20, 解得 a2 。點(diǎn)評(píng)：有關(guān)不等式、方程及最值之類的問題，通過構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式，借助函數(shù)的圖像與性質(zhì)，常可使問題簡(jiǎn)單得解。2.選定主元，揭示函數(shù)關(guān)系例 2對(duì)于 a 1,1 的一切值，使不等式 ( 2) x2 ax 1( 2) 2 x a 恒成立的 x 的取值范圍是33分析

5、：從一個(gè)含有多變?cè)臄?shù)學(xué)問題里，選定合適的主變?cè)瑥亩沂酒渲兄饕暮瘮?shù)關(guān)系。解析 ;( 2) x2 ax 1( 2 ) 2 x a 且 021 ， x 2ax 1 2x a ，即 a( x 1) ( x 1) 20 。333當(dāng) x1 時(shí)，不定式不成立。當(dāng)x時(shí)，設(shè) f (a)a(x 1) ( x1)21。當(dāng) x1時(shí)， f ( a)為1,1上的增函數(shù)，欲使 f (a)0恒成立，則只需 f ( 1) 0 ，即( x1) 2( x 1)0,x 1 0, x 2.x1時(shí)，f (a)為1,1上的減函數(shù)，欲使 f (a)0恒成立，則只需 f (1) 0即 ( x1) 2(x1)0, x 1,x0. 故 x

6、 的取值范圍時(shí) (,0) (2, ) 。點(diǎn)評(píng)：本解的巧妙之處是“反客為主”，求 x 反而以 a 為主變?cè)獙?duì)x 進(jìn)行討論，這才是真正切中要害。若以 x 為主元對(duì) a 進(jìn)行討論，則問題的解決就繁就難多了。3選取變?cè)?，確定函數(shù)關(guān)系例 3函數(shù) yx1x 的值域是。分析：一般思路是：平方，移項(xiàng)，孤立根式，再平方，可以化無理式為有理式。面對(duì)這樣一個(gè)低于四次的含雙變量的方程，其難度真不敢想象。然而，可考慮轉(zhuǎn)換選取新變?cè)?。解析：由x00 x 1，設(shè) x sin 2 ,0,，則 1xcos2，1x 02那么 ysincos2 sin().0,34，4244當(dāng)0或時(shí), ymin1;當(dāng)時(shí)， ymax2.于是函數(shù)的值

7、域是 1,224點(diǎn)評(píng)：雖然經(jīng)選取變?cè)蟮暮瘮?shù)簡(jiǎn)潔明快，可以使人拍案叫絕，但須特別注意到：轉(zhuǎn)化后的函數(shù)y sin( x)在 0，上沒有單調(diào)性，故最大值不能在其右端點(diǎn)取得。424.利用二項(xiàng)式定理構(gòu)造函數(shù)例 4：求證： c m c nkc m1c nk 1c mk c n0c mkn 。分析：構(gòu)造函數(shù)f ( x)(1x) m (1x) n(1x) m n ，比較兩個(gè)展開式中x k 的系數(shù)。解析：令 f ( x(1x)m nkn 是（1m n展開式中 xk的系數(shù)，又， c mx）f ( x) (1x) m (1x) n(c m0c m1 xc m2 x 2c mn x m )(c n0c n1 xc

8、nn x n ), 其中 x k 的系數(shù)為 c m0c nkc m1 c nk 1c mkc n0 ，故 c m0 c nkc m1 cnk 1c mk c n0 =c mkn 。點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)f ( x)(ax b) n ( nn * ) ，用賦值法或“二項(xiàng)”展開來比較系數(shù)可以解決許多二項(xiàng)式定理有關(guān)的問題。5.用函數(shù)的思想方法解數(shù)列題例 5.已知不定式a 的取值范圍。111171 的自然數(shù) n 都成立， 求實(shí)數(shù)n 1n 22nlog 2 ( a 1)對(duì)一切大于1212分析： 1n11無法求和，常規(guī)數(shù)列的方法就不起作用了，故必須用函數(shù)的思想，用研究函n22n數(shù)單調(diào)性的方法研究這個(gè)數(shù)列，求出最小

9、值。解析：令111(且2),當(dāng)2時(shí)，有f (n)nn 22nnnnnf ( n1)f (n)11110 ，2n12n2n12( n 1)(2n1)所以 f (n1)f ( n),f (n) 為增函數(shù)，且f ( n) minf (2)7 ,由題意得 717 ,12log 2 (a1)log 2 (a1)0, 解得1a2 。121212點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)（本例為單調(diào)性）求出f (n) 的最小值。用函數(shù)方法解決問題，正是函數(shù)思想的核心。6.建立函數(shù)關(guān)系解應(yīng)用題例 6.用總長(zhǎng)為 14.8m的鋼條制成一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，要求底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m ，那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的

10、最大容積。分析：這里有四個(gè)變量：底面的長(zhǎng)、寬、長(zhǎng)方體的體積和高。設(shè)長(zhǎng)、高可用x 表示，容積 y 是 x 的函數(shù)。運(yùn)用長(zhǎng)方體的體積公式，建立目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，再求函數(shù)的最大值。解析：設(shè)容器底面寬為x(m),則長(zhǎng)為 x+0.5(m),高為 14.84x4(x0.5)3.22x(m).4由 3.2 2x0和 x0得0x1.6，設(shè)容器的容積為y(m 3 ),則有yx( x0.5)(3.22x)(0x1.6),整理得 y2x32.2x 21.6x ，求導(dǎo)，得y6x 24.4x1.6 ，令 y0, 有6x 24.4x 1.60, 即 15x 211x40,解得x11, x24(不合題意，舍去 )。從而，在定義域（0，1.6）1處使 y 0 。因此，內(nèi)只有在 x15當(dāng) x1 時(shí)， y 取得最大值，ymax22.21.61.8 這時(shí)，高為3