高中立體幾何中二面角經(jīng)典求法

1、高中立體幾何中二面角求法摘要：在立體幾何中，求二面角的大小是歷屆高考的熱點(diǎn)，幾乎每年必考，而對(duì)于求二面角方面的問題，同學(xué)們往往很難正確地找到作平面角的方法，本文對(duì)求二面角的方法作了一個(gè)總結(jié)，希望對(duì)學(xué)生有幫助。 （一）、二面角定義的回顧：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角來衡量的。而二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線，則為二面角的平面角。OABOABl (二)、二面角的通常求法1、由定義作出二面角的平面角； 2、利用三垂線定理（逆定理）作出二面角的平面角；3、作二面角棱的垂面，則垂面與二面角兩個(gè)面的交線所成的角就是

2、二面角的平面角。4、空間坐標(biāo)法求二面角的大小5、平移或延長（展）線（面）法6、射影公式S射影=S斜面cos7、化歸為分別垂直于二面角的兩個(gè)面的兩條直線所成的角1、利用定義作出二面角的平面角，并設(shè)法求出其大小。例1、 如圖,已知二面角-等于120,PA,A,PB,B. 求APB的大小.POBA解: 設(shè)平面PAB=OA,平面PAB=OB。 PA, PA 同理PB 平面PAB又OA平面PAB OA 同理OB. AOB是二面角-的平面角.在四邊形PAOB中, AOB=120,. PAO=POB=90, 所以APB=602、 三垂線定理（逆定理）法由二面角的一個(gè)面上的斜線（或它的射影）與二面角的棱垂直，

3、推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜線）也與二面角的棱垂直，從而確定二面角的平面角。ABCDA1B1C1D1EO例2：如圖,ABCD-A1B1C1D1是長方體,側(cè)棱AA1長為1,底面為正方體且邊長為2,E是棱BC的中點(diǎn),求面C1DE與面CDE所成二面角的正切值.解：在長方體ABCDA1B1C1D1中由三垂線定理可得： CD=2 CE=1, DE=3、找（作）公垂面法由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面角的平面角。例5、如圖，已知PA與正方形ABCD所在平面垂直，且ABPA，求平面PAB與平面PCD所成的二面角的大小。 解:PA平面AB

4、CD，PACDP 又CDAD，故CD平面PAD A D而CD平面PCD， B C 所以 平面PCD平面PAD 同理可證 平面PAB平面PAD因?yàn)?平面PCD平面PADPD，平面PAB平面PADPA，所以PA、PD與所求二面角的棱均垂直，即APD為所求二面角的平面角，且APD45 5、平移或延長（展）線（面）法將圖形中有關(guān)線段或平面進(jìn)行平移或延長（展），以其得到二面角的兩個(gè)平面的交線。例3、正三角形ABC的邊長為10，A平面，B、C在平面的同側(cè)，且與的距離分別是4和2，求平面ABC與所成的角的正弦值。解：設(shè)E、F分別為B、C的射影，連EF并延長交BC延長線于D，連AD；AEE、F是B、C射影 B

5、E丄；CF丄 BECF 又CF：BE= ， B C是BD的中點(diǎn) BC=DC， CABC是正三角形B=BCA=BAC=60， 又ACB+ACD=180 ， E F DaACD=120又AC=DC ， ACAD=CDA=30，又BAD=BAC+CAD ，BAD=90，BA丄AD ，又AE是AB在平面上的射影，AEAD 又 BAAD ，平面ABC平面=A，BAE是平面ABC與所成的角，BE平面， BEAE ， ABC是 Rt SinBAE=BE：AB=，即平面ABC與所成角的正弦值為。6、射影公式由公式S射影=S斜面cos，作出二面角的平面角直接求出。運(yùn)用這一方法的關(guān)鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有

6、關(guān)平面上的射影，而且它們的面積容易求得。AHMD1C1B1A1BCD例4、如圖，設(shè)M為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)，求平面BMD與底面ABCD所成的二面角的大小。 解：D1D面ABCD，C1C面ABCD， BMD1在底面上的射影為BDC，設(shè)正方體的棱長a，則SBCD=a，BD1=a所以MH=a，SBMD1=a由SBDC=SBMD1cos得=arccos 7、化歸為分別垂直于二面角的兩個(gè)面的兩條直線所成的角例6、在長方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別在BB1、DD1上，且AEA1B，AFA1D(1) 求證:A1C平面AEF；若規(guī)定兩個(gè)平面所成的角是這兩個(gè)平面所組成的

7、二面角中的銳角(或直角)，則在空間中有定理：“若兩條直線分別垂直于兩個(gè)平面，則這兩條直線所成的角與這兩個(gè)平面所成角的大小相等”（2）、試根據(jù)上述定理，在AB4，AD3，AA15時(shí)，求平面AEF與平面D1B1BD所成角的大小的余弦值A(chǔ)BCDA1B1C1D1FEG解：(1)A1BBC 即A1B是A1C的射影 又A1BAE A1CAE 同理A1CAF A1C平面AEF (2) 的解法如下： 過C作BD的垂線交AB于G 又D1DCG，故CG平面BB1D1D而A1C平面AEF(1)已證)，設(shè)CG與A1C所成的角為，則即為平面BB1D1D與平面AEF所成的角SinBCGSinABD，CosBCG，GCBG

8、=，AG=A1G=A1A+AG=，A1C=AB+AD+AA1 =50在A1CG中，由余弦定理得CosA1CG=求二面角的大小還有很多的方法，這里只是列舉了幾個(gè)常用的方法，希望同學(xué)們能在解題的時(shí)候加以總結(jié)，爭取在高考中旗開得勝！如何用空間向量求解二面角求解二面角大小的方法很多，諸如定義法、三垂線法、垂面法、射影法、向量法等若干種。而這些方法中最簡單易學(xué)的就是向量法，但在實(shí)際教學(xué)中本人發(fā)現(xiàn)學(xué)生利用向量法求解二面角還是存在一些問題，究其原因應(yīng)是對(duì)向量法的源頭不盡了解。本文就簡要介紹有關(guān)這類問題的處理方法，希望對(duì)大家有所幫助。在立體幾何中求二面角可歸結(jié)為求兩個(gè)向量的夾角問題對(duì)于空間向量、，有cos，=

9、利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中二面角的問題例1 在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值證明： 建立如圖空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長為1，依題意ABCVDxyz得= (0，1，0)，是面VAD的法向量，設(shè)= (1，y，z)是面VDB的法向量，則= (1，1，)。cos，=，又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角為銳角，所以其余弦值是BBCACADM例2如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB =，AC=1，CB=，側(cè)棱AA1=1，側(cè)面AA1B1B的兩條對(duì)角線交點(diǎn)為D，B1C1的中點(diǎn)為

10、M求證CD平面BDM；求面B1BD與面CBD所成二面角的余弦值 解：略BBCACADMyxzG如圖，以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系.設(shè)BD中點(diǎn)為G，連結(jié)BG，則依G(，)，= (，)，= (，)，= 0，BDBG又CDBD，與的夾角等于所求二面角的平面角 cos=例3如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EFPB交PB于點(diǎn)F求二面角CPBD的大小解：zPFEDABCyxG如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，=，則從而所以=由條件EFPB知，= 0，即，解得點(diǎn)F的坐標(biāo)為，且，即，故是二面角CPBD的平面角=，且，所以，二面角CPBD的大小為xyzABBA例4 已知三棱柱AB中，平面平面，=，=，且= 2，=，求二面角AB的余弦值解：以為原點(diǎn)，分別以，所在的直線為x，y軸，過點(diǎn)且與平面垂直的直線