高一數(shù)學(xué)必修一函數(shù)及其表示-函數(shù)的概念

1、1.2函數(shù)及其表示1.2.1函數(shù)的概念【教學(xué)目的】1、使學(xué)生理解函數(shù)的概念，明確決定函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則三個(gè)要素；2、理解函數(shù)符號(hào)的含義，能根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求出定義域、值域；3、使學(xué)生能夠正確使用“區(qū)間”、“無(wú)窮大”的記號(hào)；4、使學(xué)生明白靜與動(dòng)的辯證關(guān)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】在對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)上理解函數(shù)的概念【教學(xué)難點(diǎn)】函數(shù)概念的理解【教學(xué)過程】一、復(fù)習(xí)引入提問初中學(xué)習(xí)的（傳統(tǒng)）的函數(shù)的定義是什么？初中學(xué)過哪些函數(shù)？回答設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量和，如果對(duì)于的每一個(gè)值，都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)是自變量，是的函數(shù)，并將自變量取值的集合叫做函數(shù)的定義域，和自變量的值

2、對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域，這種用變量敘述的函數(shù)定義我們稱之為函數(shù)的傳統(tǒng)定義。講述初中已經(jīng)學(xué)過：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等。提問問題1：=1（）是函數(shù)嗎？問題2：=與=是同一函數(shù)嗎？投影觀察對(duì)應(yīng)：分析觀察分析集合A與B之間的元素有什么對(duì)應(yīng)關(guān)系？二、講授新課 函數(shù)的概念（一）函數(shù)與映射投影函數(shù)：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作=，A。其中叫自變量，的取值范圍A叫做函數(shù)=的定義域；與的值相對(duì)應(yīng)的的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合|A，叫做函

3、數(shù)=的值域。函數(shù)符號(hào)=表示“是的函數(shù)”，有時(shí)簡(jiǎn)記作函數(shù)。函數(shù)的三要素：對(duì)應(yīng)法則、定義域A、值域|A注：只有當(dāng)這三要素完全相同時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才能稱為同一函數(shù)。映射：設(shè)是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系,使對(duì)于集合中的任意一個(gè)元素,在集合中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)為從集合到集合的一個(gè)映射.如果集合中的元素對(duì)應(yīng)集合中元素,那么集合中的元素叫集合中元素的原象,集合中元素叫合中的元素的象.映射概念的理解(1)映射包含三個(gè)要素:原像集合A,像集合B(或B的子集)以及從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)法則.兩個(gè)集合A,B可以是數(shù)集,也可以是點(diǎn)集或其他集合.對(duì)應(yīng)法則可用文字表述,也可以用符號(hào)表示.

4、映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系,它具有:(1)方向性:映射是有次序的,一般地從A到B的映射與從B到A的映射是不同的;(2)任意性:集合A中的任意一個(gè)元素都有像,但不要求B中的每一個(gè)元素都有原像;(3)唯一性:集合A中元素的像是唯一的,即不允許“一對(duì)多”,但可以“多對(duì)一”.函數(shù)與映射的關(guān)系函數(shù)是一種特殊的映射.映射與函數(shù)概念間的關(guān)系可由下表給出.映射函數(shù)集合A,B可為任何集合,其元素可以是物,人,數(shù)等函數(shù)的定義域和值域均為非空的數(shù)集對(duì)于集合A中任一元素,在集合B中都有唯一確定的像對(duì)函數(shù)的定義域中每一個(gè),值域中都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)對(duì)集合B中任一元素,在集合A中不一定有原像對(duì)值域中每一個(gè)函數(shù)值,在定義

5、域中都有確定的自變量的值與之對(duì)應(yīng)函數(shù)是特殊的映射,映射是函數(shù)的推廣.注意（1）函數(shù)實(shí)際上就是集合A到集合B的一個(gè)特殊對(duì)應(yīng)：AB。這里A，B為非空的數(shù)集。（2）A：定義域，原象的集合；|A：值域，象的集合，其中|AB；：對(duì)應(yīng)法則，A，B（3）函數(shù)符號(hào)：=，是的函數(shù)，簡(jiǎn)記回顧（二）已學(xué)函數(shù)的定義域和值域：1、一次函數(shù)=(0)：定義域，值域2、反比例函數(shù)=(0)：定義域|0，值域y | y03、二次函數(shù)=2(0)：定義域，值域：當(dāng)0時(shí)，|；當(dāng)0時(shí)，|。（三）函數(shù)的值：關(guān)于函數(shù)值例析：若=231，求。解：=22321=11注意（1）在=中表示對(duì)應(yīng)法則，不同的函數(shù)其含義不一樣； （2）不一定是解析式，有

6、時(shí)可能是“列表”、“圖象”； （3）與是不同的，前者為變數(shù)，后者為常數(shù)，是的一個(gè)特殊值。（四）區(qū)間的概念投影設(shè)、是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且，我們規(guī)定：（1）滿足不等式的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，表示為,；（2）滿足不等式的實(shí)數(shù)的集合叫做開區(qū)間，表示為（,）；（3）滿足不等式或者的實(shí)數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，表示為、；（4）實(shí)數(shù)集可以用區(qū)間表示為（,）；滿足不等式，的實(shí)數(shù)的集合可以分別表示為,，（,），（,，（,）。注意注意集合與區(qū)間之間的關(guān)系：區(qū)間是數(shù)集，表示區(qū)間端點(diǎn)的兩個(gè)實(shí)數(shù)不能相等，但數(shù)集中不等式兩端的兩個(gè)實(shí)數(shù)可以相等，如。三、實(shí)例提升例析例1、設(shè)集合M=|02，N=|02，從M到N有4種對(duì)應(yīng)如下圖所示

7、： 其中能表示為M到N的函數(shù)關(guān)系的有 。解析根據(jù)對(duì)應(yīng)的含義和函數(shù)的概念，可以看出能表示M到N的函數(shù)關(guān)系。例析例2、求下列函數(shù)的定義域：； =； =解析函數(shù)的定義域通常由問題的實(shí)際背景確定，如果只給出解析式=，而沒有指明它的定義域，那么函數(shù)的定義域就是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合。解：2=0，即=2時(shí)，分式無(wú)意義，而2時(shí)，分式有意義這個(gè)函數(shù)的定義域是|2。320，即時(shí)，根式無(wú)意義而320，即時(shí)，根式才有意義這個(gè)函數(shù)的定義域是|。當(dāng)10且20，即1且2時(shí)，根式和分式同時(shí)有意義這個(gè)函數(shù)的定義域是|1且2另解：要使函數(shù)有意義，必須：10且201且2 這個(gè)函數(shù)的定義域是：|1且2強(qiáng)調(diào)解題時(shí)要注意書寫

8、過程，注意緊扣函數(shù)定義域的含義。由本例可知，求函數(shù)的定義域就是根據(jù)使函數(shù)式有意義的條件，布列自變量應(yīng)滿足的不等式或不等式組，解不等式或不等式組就得到所求的函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域的常見類型：（1）當(dāng)為整式時(shí)，定義域?yàn)?；?）當(dāng)為分式時(shí)，定義域?yàn)槭狗帜覆粸?的的集合；（3）當(dāng)為n次根式中的偶次根式時(shí)，定義域?yàn)槭贡婚_方式非負(fù)的的集合；（4）當(dāng)是由幾個(gè)式子組成時(shí)，定義域是使各個(gè)式子都有意義的的取值的集合。例析例3、已知函數(shù)=3252，求，。解析解：(3)=332532=14；=3()25()2=85；=3(1)25(1)+2=32。例析例4、下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)=是同一個(gè)函數(shù)？（1）； （2）；

9、 （3）解析解：（1）=，0，0，定義域不同且值域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；（2）=，定義域值域都相同，是同一個(gè)函數(shù)；（3）=|=，0；值域不同，不是同一個(gè)函數(shù)。例析例5、下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否為相同的函數(shù)？（1） （定義域不同）（2） （定義域不同）（3） （定義域、值域都不同）注意兩個(gè)函數(shù)相同即它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同。四、演練反饋1、函數(shù)的定義域是（ ）A B C D2、下列各組，函數(shù)與表示同一個(gè)函數(shù)的是（ ） A=1，=0 B=0 ，=C=2， = D=3，=3、已知函數(shù)=23，求：（1），；（2）；（3）若0，1，2，3，求函數(shù)的值域。4、若，則到的映射有 個(gè)，到的映射有 個(gè)，到

10、的函數(shù)有 個(gè)演練反饋答案：1、B 2、D 3、（1）=3，=1，=7； （2）=49； （3）值域?yàn)?，1，1，3 4、81,64,81五、課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng)：AB，其中集合A，B必須是非空的數(shù)集；表示是的函數(shù)；函數(shù)的三要素是定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則，定義域和對(duì)應(yīng)法則一經(jīng)確定，值域隨之確定；判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一函數(shù)，必須三要素完全一樣，才是同一函數(shù)；表示在=時(shí)的函數(shù)值，是常量；而是的函數(shù)，通常是變量?！窘毯笤洝勘竟?jié)的教學(xué)重點(diǎn)是在對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)上來(lái)理解函數(shù)的概念，主要包括函數(shù)的概念、三要素的理解，難點(diǎn)是函數(shù)定義和函數(shù)符號(hào)的認(rèn)識(shí)與使用。由于學(xué)生在初中已學(xué)習(xí)了函數(shù)的傳統(tǒng)定義，并學(xué)習(xí)了幾類簡(jiǎn)單的函數(shù)，所以在高中重新定義函數(shù)時(shí)，學(xué)生并不陌生，重要的是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到它的優(yōu)越性，從根本上揭示了函數(shù)的本質(zhì)由定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則三要素構(gòu)成的整體，通過例題解析讓學(xué)生充分理解函數(shù)的概念。板書函數(shù)的概念（一）函數(shù)與映射函數(shù)的三要素：對(duì)應(yīng)法則、定義域A、值域|A注：只有當(dāng)這三要素完全相同時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才能稱為同一函數(shù)。（二）已學(xué)函數(shù)的定義域和值域：1、一次函數(shù)=(0)：定義域，值域2、反比例函數(shù)=(0)：定義域|0，值域y | y03、二次函數(shù)=2(0)：定義域，值域：當(dāng)0時(shí)，|；當(dāng)0時(shí)，|。板書（三）函數(shù)的