追逐實(shí)驗(yàn)問題

1、 追逐問題實(shí)驗(yàn) 1. 四人追逐實(shí)驗(yàn) 如圖2.1,在正方形ABCD的四個頂點(diǎn)各有一個人。設(shè)在初始時刻時，四人同時出發(fā)勻速以沿順時針走向下一個人。如果他們始終對準(zhǔn)下一個人為目標(biāo)行進(jìn)，最終結(jié)果會如何。作出各自的運(yùn)動軌跡。 解：該問題可以通過計(jì)算機(jī)模擬來實(shí)現(xiàn)。這需要將時間離散化。設(shè)時間間隔為，時刻表示時間 設(shè)第個人時刻的位置坐標(biāo)為： 對前面3個人表達(dá)式為： 其中 對第4個人表達(dá)式為： 其中 Matlab實(shí)現(xiàn)程序run.m如下：%模擬運(yùn)動n=2000;x=zeros(4,n);y=zeros(4,n);dt=0.03; %時間間隔v=30; %速度x(1,1)=1000; y(1,1)=0; %第1個人

2、初始坐標(biāo)x(2,1)=0; y(2,1)=0; %第2個人初始坐標(biāo)x(3,1)=0; y(3,1)=1000; %第3個人初始坐標(biāo)x(4,1)=1000; y(4,1)=1000; %第4個人初始坐標(biāo)for i=2:n for j=1:3 d=sqrt(x(j+1,i-1)-x(j,i-1)2+(y(j+1,i-1)-y(j,i-1)2); %第j+1個人和第j個人距離 cosx=(x(j+1,i-1)-x(j,i-1)/d; %求cos值 sinx=(y(j+1,i-1)-y(j,i-1)/d; %求sin值 x(j,i)=x(j,i-1)+v*dt*cosx; %求新x坐標(biāo) y(j,i)=

3、y(j,i-1)+v*dt*sinx; %求新y坐標(biāo) end %考慮第1,2,3人運(yùn)動一步 d=sqrt(x(1,i-1)-x(4,i-1)2+(y(1,i-1)-y(4,i-1)2); %第4個人和第1個人距離 cosx=(x(1,i-1)-x(4,i-1)/d; %求cos值 sinx=(y(1,i-1)-y(4,i-1)/d; %求sin值 x(4,i)=x(4,i-1)+v*dt*cosx; %求第4點(diǎn)新x坐標(biāo) y(4,i)=y(4,i-1)+v*dt*sinx; %求第4點(diǎn)新y坐標(biāo) end%plot(x,y)for j=1:nplot(x(1,j),y(1,j),x(2,j),y(2

4、,j),x(3,j),y(3,j),x(4,j),y(4,j) %作點(diǎn)圖hold on %保持每次作圖,實(shí)現(xiàn)各次圖行迭加end執(zhí)行結(jié)果見圖1 圖1 模擬結(jié)果圖形2 艦艇追擊實(shí)驗(yàn)?zāi)尘兯脚灷走_(dá)發(fā)現(xiàn)距d=10km處有一艘走私船正以勻速u=8km/h沿直線行駛，緝私艦立即以速度v=12km/h追趕，若用雷達(dá)進(jìn)行跟蹤，保持船的瞬時速度方向始終指向走私船，試求緝私艦追逐路線和追上的時間。一、 理論求解 該問題采用微分方程求解。 圖2 坐標(biāo)示意圖 如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)開始時走私船位于坐標(biāo)原點(diǎn)，沿Y軸以u米/秒運(yùn)動，時刻位置為,開始時緝私艦位于X軸處，沿走私船方向以v米/秒運(yùn)動，時刻位置為。 直線AB與緝私艦行

5、走路線相切，則由幾何關(guān)系有： 即 兩邊對求導(dǎo)有： 則 令，則方程變?yōu)椋?初始條件為:：則方程變?yōu)椋?兩邊積分有： 初始條件為：兩邊積分得到追擊曲線為：當(dāng)時，走私船坐標(biāo)。所花時間為將d=10，u=8，v=12有：走私船坐標(biāo)km，所花時間小時二、 計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn) 該問題可以通過計(jì)算機(jī)仿真來實(shí)現(xiàn)。這需要將時間離散化。設(shè)時間間隔為，時刻表示時間 設(shè)走私船時刻的位置坐標(biāo)為 設(shè)緝私艦時刻的位置坐標(biāo)為 則走私船時刻運(yùn)動表達(dá)式為： 則緝私艦時刻運(yùn)動離散表達(dá)式為： 其中 仿真Matlab程序:dt=0.01; n=151; d=10; u=8; v=12; T=d*v/(v*v-u*u); %理論時間 x1=z

6、eros(n,1); y1=zeros(n,1); x2=zeros(n,1); y2=zeros(n,1); x1(1)=0; y1(1)=0; %走私船開始位置 x2(1)=d; y2(1)=0; %緝私艦開始位置 for j=1:n-1 x1(j)=0; %走私船橫坐標(biāo) y1(j)=(j+1)*dt*u; %走私船縱坐標(biāo) ct=(x1(j)-x2(j)/sqrt(x1(j)-x2(j)2+(y1(j)-y2(j)2); st=(y1(j)-y2(j)/sqrt(x1(j)-x2(j)2+(y1(j)-y2(j)2); x2(j+1)=x2(j)+v*dt*ct; %緝私艦橫坐標(biāo) y2(j+1)=y2(j)+v*dt*st; %緝私艦縱坐標(biāo) end subplot(2,1,1) plot(x1,y1,b,x2,y2,r) title(仿真曲線);%理論曲線 x=d:-0.01:0; k=u/v; subplot(2,1,2) y=d/2*(x/d).(1+k)/(1+k)-(x/d).(1-k)/(1-k)+d