解三角形的基本題型

1、解三角形的基本題型睢縣回族高級(jí)中學(xué) 楊少輝解三角形問(wèn)題是高考的一種基本問(wèn)題，可以說(shuō)是?？?；下面就這類(lèi)問(wèn)題來(lái)做個(gè)總結(jié)，有不對(duì)的地方希望大家指正。一、與解三角形有關(guān)的公式、定理、結(jié)論：1、正弦定理： ；正弦定理的變形： ;（根據(jù)合比定理）2、余弦定理：余弦定理的變形：3、三角形面積公式：（1）；（2）（兩邊及夾角）；（3）（兩角及夾邊）；（4）（兩角及對(duì)邊）；（5）（三邊）；（6）（代入正弦定理）；（7）；4、三角形中的邊角關(guān)系：（1）；（2）轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)： ； ；（3）大邊對(duì)大角： ； ；（4）銳角與鈍角的判定： 角A為銳角； 角A為直角； 角A為鈍角；（5）銳角三角形中的邊角關(guān)系： ；二、解

2、三角形的常見(jiàn)題型：題型一：已知兩邊及對(duì)角，判斷三角形解的個(gè)數(shù)；例1、根據(jù)已知條件，判斷下列解的個(gè)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；解析：顯然應(yīng)使用正弦定理：（1），故：，解得：，；由圖形可知：直線與只有唯一的交點(diǎn)，所以：只有唯一解；（2）由解得：，；實(shí)際就是研究 圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；由圖像知：有兩個(gè)交點(diǎn)，即：有兩個(gè)解；（3）由解得：，這樣的角B不存在，無(wú)解；（4）由解得：，又；故：；（變式1）已知中，若此三角形有兩個(gè)解，求邊的取值范圍？分析：由正弦定理知：，；只需： 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)即可；由圖像可知：；（變式2）（1）在中，求；（2）在中，求；分析：（1）由于；關(guān)鍵是的正負(fù)；也就是分析角A是銳角

3、還是鈍角；即：交點(diǎn)的情況；如圖：只有一個(gè)交點(diǎn)，角A是一個(gè)銳角；即：；（2）類(lèi)似分析可知：，故：；總結(jié)：解決這類(lèi)問(wèn)題一般用正弦定理，轉(zhuǎn)化成圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題；題型二：利用正弦定理求外接圓半徑；例2、直三棱柱中，求其外接球的表面積；分析：此題的關(guān)鍵是確定球心的位置并求球的半徑；如圖：為的外接圓半徑；由正弦定理：；解得：，；球的半徑，故：球的表面積為；（變式）二面角為，點(diǎn)P為二面角內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)P到面和面的距離分別為1和2；求點(diǎn)P到直線的距離；分析：先作出P到直線的距離，然后放入一個(gè)三角形求解；過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)C；可得：為所求距離；顯然，A、B、C、P四點(diǎn)共圓；PC為外接圓

4、直徑；中，由余弦定理知：；題型三：判斷三角形的形狀；例3、在中，已知,判斷的形狀；分析：判斷三角形的形狀，一般有兩條思路：（1）證明角的關(guān)系；（2）證明邊的關(guān)系；法一：將角轉(zhuǎn)化成邊；原式轉(zhuǎn)化為：，代入正弦定理：，應(yīng)用余弦定理可得：，進(jìn)一步化簡(jiǎn)得：；故：或，即：為等腰三角形或直角三角形；法二：將邊轉(zhuǎn)化成角；原式可化為：；代入正弦定理得：，即：；故：或；為等腰三角形或直角三角形；（變式）在中，已知,判斷的形狀；題型四：已知三角形中的邊角混合式，解三角形；例4、在中，已知，且；求；解析：由于要求的是邊，應(yīng)將角轉(zhuǎn)化為邊；可化為：；繼續(xù)應(yīng)用余弦定理轉(zhuǎn)化可得：；化簡(jiǎn)得：，結(jié)合：，可得：；解得：；例5、在中

5、，已知；求；解析：由于要求的是角，應(yīng)盡量將所有的邊轉(zhuǎn)化為角；故：；解得；即：；解得：；由，；例6、在中，已知；（1）求角A；（2）若，求；解析：（1）邊化角：；統(tǒng)一角：化簡(jiǎn)得：；進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得：；解得：；（2）從第一問(wèn)得到啟發(fā)，面積公式應(yīng)用：可以解出；從再聯(lián)想到余弦定理：；代入數(shù)據(jù)可得：；兩式聯(lián)立解得：；（變式）在中，已知，且成等比數(shù)列；（1）求的值；（2）若,求的值；總結(jié)：解決此類(lèi)問(wèn)題，變角轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，統(tǒng)一變量是目的；題型五：三角形中的取值范圍問(wèn)題；例7、在中，已知；（1）求角A的大小；（2）若，求周長(zhǎng)及面積的取值范圍；解析：（1），即：；化簡(jiǎn)得：；角；（2）法一：轉(zhuǎn)化為邊；由余弦定理：；周

6、長(zhǎng)；只需要求的取值范圍即可；由三角形的性質(zhì)知：；由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)成立；故：，即：，周長(zhǎng)的取值范圍是：；由于且；所以：；即：面積的取值范圍是；法二：轉(zhuǎn)化為角；由正弦定理知：；周長(zhǎng)=；將代入并化簡(jiǎn)得：周長(zhǎng)=，；周長(zhǎng)的取值范圍是：；面積的取值范圍是；（變式1）將例7中的“”改為“銳角”“法一”將很難解決這個(gè)問(wèn)題，而“法二”僅僅需要改變一下角B的取值范圍即可； 將代入可得：；后面同上法；（變式2）在中，已知求的取值范圍；解析：由正弦定理知：；由輔助角公式得：；故：；的取值范圍是：；題型六：解三角形的應(yīng)用題；例8、如圖,A,B是海面上位于東西方向相距 海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn),現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏

7、東 ,B點(diǎn)北偏西 的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào),位于B點(diǎn)南偏西且與B點(diǎn)相距 海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救,其航行速度為30海里/小時(shí),該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間?解析：解:根據(jù)題意知 海里, ,在中,由正弦定理得, (海里),又,海里,在中,由余弦定理得 所以，救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí).例9、福州青運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式上舉行升旗儀式，在坡度的看臺(tái)上，同一列上的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60和30，第一排和最后一排的距離為米（如下圖所示），則旗桿的高度為（）米A. B. C.20 D.30分析：;在中：即：米；所以，在中，米例10、如圖，在中，已知點(diǎn)在邊上，, , 則的長(zhǎng)為 分析：在中：

8、；由余弦定理可知：，解得：；例11、（2013年高考新課標(biāo)1（理）如圖,在ABC中,ABC=90,AB=,BC=1,P為ABC內(nèi)一點(diǎn),BPC=90(1)若PB=,求PA;(2)若APB=150,求tanPBA解析：(1)由已知得,PBC=,PBA=30o,在PBA中,由余弦定理得=,PA=; (2)設(shè)PBA=,由已知得,PB=,在PBA中,由正弦定理得,化簡(jiǎn)得, =,=. 例11、在中，角A的角平分線AD交邊BC于點(diǎn)D，且AB=2，CD=2DB，求AD的長(zhǎng)；解析：如圖：在中用正弦定理得：；在中用正弦定理得：；兩式聯(lián)立得：；解得：；例12、在中，AB=2，,D是AC上一點(diǎn)，且AD=2CD，,求BD的長(zhǎng)；解析：如圖：先解出；法