第五章 彈性力學(xué)解題方法問題

1、第五章 彈性理論的解題方法,本章任務(wù) 總結(jié)對(duì)彈性力學(xué)基本方程 討論求解彈性力學(xué)問題的方法,目 錄 5.1 彈性力學(xué)基本方程 5.2 問題的提法 5.3 彈性力學(xué)問題的基本解法 5.4 圣維南局部影響原理 5.5 疊加原理,1.平衡方程:彈性體要滿足的基本方程,張量表示：,2.幾何方程：彈性體要滿足的基本方程,張量表示：,張量表示：,廣義胡克定律的應(yīng)變表示,張量表示：,基本方程： 平衡微分方程 幾何方程 本構(gòu)方程 變形協(xié)調(diào)方程（應(yīng)變作為基本未知量）,若物體表面的位移 已知，則位移邊界條件為,若物體部分表面面力和部分表面位移已知，則為混合 邊界條件,5.2彈性力學(xué)問題的提法,彈性力學(xué)的任務(wù)就是在給

2、定的邊界條件下，對(duì)十五個(gè)未知量求解十五個(gè)基本方程。,求解彈性力學(xué)問題時(shí)，并不需要同時(shí)求解十五個(gè)基本未知量，可以做必要的簡(jiǎn)化。,為簡(jiǎn)化求解的難度，僅選取部分未知量作為基本未知量。,在給定的邊界條件下，求解偏微分方程組的問題，在數(shù)學(xué)上稱為偏微分方程的邊值問題。,按照不同的邊界條件，彈性力學(xué)有三類邊值問題。,第一類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力分量以及表面的位移分量，邊界條件為位移邊界條件。,第二類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力和其表面的面力分量為Tx、Ty和Tz，邊界條件為面力邊界條件。,第三類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力分量，以及物體表面的部分位移分量和部分面力分量，邊界條件在面力已知的部分，為面力

3、邊界條件，位移已知的部分為位移邊界條件。稱為混合邊界條件。,以上三類邊值問題，代表了一些簡(jiǎn)化的實(shí)際工程問題。,若不考慮物體的剛體位移，則三類邊值問題的解是唯一的。,基本解法,（1）位移解法： 以位移函數(shù)作為基本未知量,（2）應(yīng)力解法 以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量,（3）混合解法 以部分位移和部分應(yīng)力分量作為基本未知量,利用位移函數(shù) u1, u2, u3 表示其他未知量；,推導(dǎo)由位移函數(shù) ui 描述的基本方程；,關(guān)鍵點(diǎn)：以位移表示的平衡微分方程。,位移解法的基本方程,1. 平衡微分方程 2. 幾何方程 3. 本構(gòu)方程 4. 位移邊界條件，力邊界條件,由,此式稱為位移表示的平衡方程（Leme方程）,將

4、應(yīng)力位移表達(dá)式代入平衡方程,轉(zhuǎn)換指標(biāo),注意到：,即,得,有,給定位移邊界條件就可由Leme方程解出 ui=（u,v,w） 或ui=（u1, u2, u3 ）。,對(duì)于用面力表示的邊界條件 Ti =ij nj,此式稱為力位移邊界條件。,注意：,則,齊次方程,對(duì) 求導(dǎo),因,則,對(duì)Leme方程 進(jìn)行（調(diào)和算子）運(yùn)算：,有,所以,即,這說明應(yīng)力與應(yīng)變滿足雙調(diào)和方程。,由,即,由,有,位移分量求解后，可通過幾何方程求出應(yīng)變 和通過本構(gòu)方程求出應(yīng)力 。,總之，位移解法以位移為3個(gè)基本未知函數(shù)（u1,u2,u3），歸結(jié)為在給定的邊界條件下 求解位移表示的3個(gè)平衡微分方程，即三個(gè) 拉梅方程。,對(duì)于位移邊界條件，

5、位移解法是十分合適的。,至此，我們討論了彈性力學(xué)位移解法的基本方程。除無限大域外，位移解法也適用于全部邊界條件為位移邊界的情況。然而，對(duì)于力邊界條件問題，位移解法就顯得不夠簡(jiǎn)便。一種變通的方法就是選擇應(yīng)力為求解的場(chǎng)變量。應(yīng)力需要滿足六個(gè)平衡方程和三個(gè)獨(dú)立的協(xié)調(diào)方程，通過這六個(gè)方程可以求解出六個(gè)應(yīng)力分量。,例 設(shè)有半空間體，單位體積的質(zhì)量為 ，在水平邊界面上受均布?jí)毫?的作用，試用位移法求各位移分量和應(yīng)力分量，并假設(shè)在 處 方向的位移,受均布?jí)毫ψ饔玫陌肟臻g體,解：可以假設(shè),因此體積應(yīng)變,按位移解題例題,對(duì)于Leme方程,或,積分上式,有,在邊界上，,得,結(jié)合 的表達(dá)式可得,代入由位移表示的邊界

6、條件,由條件 得,將常數(shù) 和 代入 的表達(dá)式，得,求應(yīng)變,由廣義胡克定律,有,即,位移法,其位移邊界條件為：,給定位移邊界條件就可由Leme方程解出 。,復(fù)習(xí):位移法,位移分量求解后，可通過幾何方程求出應(yīng)變 和通過本構(gòu)方程求出應(yīng)力 。,位移解法以位移為3個(gè)基本未知函數(shù)（u1,u2,u3），歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解位移表示的3個(gè)平衡微分方程，即三個(gè)拉梅方程。,位移解法適用于位移邊界條件。,對(duì)于位移法體力為常量時(shí)：,由位移法得到：體積應(yīng)力 和體積應(yīng)變 均滿足 調(diào)和（Laplace)方程；,位移分量,應(yīng)力分量和應(yīng)變分量均滿足雙調(diào)和方程；,位移分量,應(yīng)力分量和應(yīng)變分量為雙調(diào)和函數(shù)。,解：由幾何方程

7、求應(yīng)變分量,由,力邊界條件,應(yīng)力解法基本步驟： 以應(yīng)力分量 ij 作為基本未知量； 用六個(gè)應(yīng)力分量表示協(xié)調(diào)方程； 關(guān)鍵點(diǎn)：以應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程 應(yīng)力解法的方程 1. 平衡微分方程 2. 變形協(xié)調(diào)方程 3. 本構(gòu)方程 4. 面力邊界條件,（1）整理上面的方程，把其中 l 的指標(biāo)取為 k，,（2）把 k=1,2,3的疊加起來，運(yùn)用,即,合并有,上式對(duì)指標(biāo) i 和 j 對(duì)稱所以只含有六個(gè)獨(dú)立方程，利用平衡方程 有,上兩式代入?yún)f(xié)調(diào)方程中有,把上式中 i=j 的3個(gè)方程疊加起來， 注意到 ii = , , ii = 和 ii =3 可得,對(duì)上式作雙調(diào)和運(yùn)算有,由,上式稱為Michell方程(用應(yīng)力表示的

8、協(xié)調(diào)方程),還可以寫成,Michell方程,對(duì)于上式當(dāng) 時(shí)有,同理對(duì)于上式當(dāng) 時(shí)分別有,對(duì)于上式當(dāng) 時(shí)有,即,展開Michell方程,應(yīng)力法體力為零時(shí),應(yīng)力解法的基本未知量為6個(gè)應(yīng)力分量，可以避開幾何方程； 基本方程為 3個(gè)平衡微分方程和 6個(gè)變形協(xié)調(diào)方程和3個(gè)邊界條件，對(duì)于幾何形狀或載荷較復(fù)雜問題的求解困難。 應(yīng)力解法適用于面力邊界條件與單連體。 總之，在以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量求解時(shí)，歸結(jié)為在給定的面力邊界條件下，求解平衡微分方程和應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程所組成的偏微分方程組。,混合解法 根據(jù)問題性質(zhì)和邊界條件，選擇不同的基本未知量求解稱為混合解法。,彈性理論解的惟一性定理 彈性體受已知外力

9、的作用。在物體的邊界上，或者面力已知；或者位移已知；或者一部分面力已知，另一部分位移已知；則彈性體平衡時(shí)，體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變是惟一的，對(duì)于后兩種情況，位移也是唯一的。,解的疊加原理： 小變形線彈性條件下，作用于物體的若干組載荷產(chǎn)生的總效應(yīng)（應(yīng)力和變形等），等于每組載荷單獨(dú)作用效應(yīng)的總和。,5.5 疊加原理,逆解法 根據(jù)問題的性質(zhì)，確定基本未知量和相應(yīng)的基本方程，并且假設(shè)一組滿足全部基本方程的應(yīng)力函數(shù)(或位移函數(shù))。然后在確定的坐標(biāo)系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的物體，其表面將受什么樣的面力作用或者將存在什么樣的位移。,半逆解法 對(duì)于給定的彈性力學(xué)問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀，受力特征和變形特點(diǎn)，或已知簡(jiǎn)單結(jié)論，如材料力學(xué)解，假設(shè)部分應(yīng)力分量或者部分位移分量的函數(shù)形式為已知，由基本方程確定其他的未知量，然后根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)。,彈性力學(xué)解的唯