角平分線、平行線、等腰三角形“知識板塊”的應用

1、角平分線、平行線、等腰三角形“知識板塊”的應用 1.角平分線遇平行線出現(xiàn)等腰三角形。分a、b兩種情形： a、 如圖甲：一直線與角的一邊平行 /oa?3?2?cd?1?3?do?dc ?1?2? 等腰三角形docb、 如圖乙：一直線與角的平分線平行 ? de/oc? 2等腰三角形與角平分線往往出現(xiàn)平行線 a、如圖甲：等腰三角形的一腰與角的一邊平行 co?dc?1?3? ?2?3?cd/oa?1?2? b、如圖乙：等腰三角形的底邊與頂角的外角平分線平行 ?1?3?2?4?3?4?od?oe?等腰三角形ode?1?2?圖甲 b o 3 d 圖乙 1 2 4 e a c ?oe?3?4?od1?3?a

2、ob?2?aob?3?4? ? ?1?3?oc/de1 ?1?aob?2 ?3等腰三角形與平行線往往出現(xiàn)角平分線 a、如圖甲：與一腰平行 oa/dc?3?2?1?2 co?dc?3?1?b、如圖乙：與底邊平行 od?oe?3?4? ? ? 1 ? ? 3 ? ? 1 ?2?de/oc? ?2?4? 角平分線、平行線、等腰三角形關系密切，在題設中若見其一，應思其二，想其三；或作其二，尋找發(fā)現(xiàn)其三，這種解題思路方法往往能得到打開第一道大門的金鑰匙，突破解題的一個難點，使一類題目變難為易成為可能，使學生對題目一看就會成為可能。這種思維方法稱為“知識板塊”思維。 角平分線、平行線、等腰三角形“知識板塊

3、”的應用舉例： 例1、如圖1：已知在abc中?abc、?acb的平分線交于點i，過點i作de/bc，分別交ab、ac于點d、e。求證：de=bd+ce。 a 證明： de/bc?2?3? 3?1?2?1? d i e 3 ?bd?di?de?di?ie?bd?ce1 ?2 同理：ce?ei?b c 例2、如圖2：已知i是abc的內(nèi)心，di/ab交bc于點d，ei/ac交bc于e。求證： a die的周長等于bc。 證明： di/ab?1?3?3?2?di?bd?1?2?i b 1 3 2 d 圖（2） c e 同理：ei = ce。 die的周長=di + ie + ed = bc 例3、如圖

4、3：已知在abc中，?abc的平分線與?acb的外角平分線交于點d，de/bc，交ab于點e，交ac于點f，求證：ef = becf。 a 證明： /bc?2?bde?de?1?bdee f d ?1?2? ?be?ed1 3 4 b 2 同理：cf = fd c m ef = ed fd = be cf 例1、 例2、例3都是由角平分線、平行線發(fā)現(xiàn)等腰三角形，并且同時出現(xiàn)兩個，而這個 發(fā)現(xiàn)是突破此類問題難點的關鍵。 例4、平行四邊形abcd中，ab=3，bc=4，?abc的平分線交ad于點e，?bcd 的平分線交ad于點f，be、cf交于點g，fg=1。求：?a的度數(shù)。 解： ?ad/bc?

5、2?5平行四邊形abcd?ad?bc?2?1?5?1 ? ?ae?ab?ae?3?ab?3?de?ad?ae?1ad?bc?ad?4?bc?4?同理可證：df = cd = ab = 3 ? af = 1 ef = ad （af + de ）= 4 2 = 2 ?0平行四邊形abcd?ab/cd?abc?bcd?180?1?2?abc?2?1?3?bcd?2? ?2?3?900?bgc?900?egf?900?5?3001 ?fg?1,?fg?ef?2? ? 30 0 ?a?12001 ?評注：此題關鍵在于利用角平分線、平行線發(fā)現(xiàn)兩個等腰三角形，即abe和dcf。 利用平行四邊形的對邊相等，分

6、別得到af=de=1。 用平行線的同旁內(nèi)角的平分線互相垂直得到rtbgc，rtbgf。 如果直角邊為斜邊的一半則直角邊所對的角為300。 用三角形內(nèi)角和定理得?a?120。 例5、在矩形abcd中，ac與bd交于點o；de平分?adc，交bc于點e，?bde=150，求?coe的度數(shù)。 a d 解： 0?矩形abcd?adc?90o 0 ?edc?45?de平分?adc ?b ?bcd?900?c e 0?ced?450 cd?ce ?bde?150?odc?450?150?600? ?矩形abcd?bd?ac?1?od?bd?od?oc2?1?oc?ac?2?cd?oc?0?ocd?600?

7、 ? ?等邊ocd ? ? ? ce?oc?coe?ced0 1800?300?750 ?oce?90?60?30 ?coe?20評注：矩形的對角線相等且相互平分，即矩形的對角線把矩形分成四個等腰三角形。 有一個角為60度的等腰三角形為等邊三角形。 等腰三角形的一個底角= 11800?頂角。 2?此題關鍵是 cd?oc?oc?ce。 cd?ce?0此題內(nèi)含“角平分線遇平行線出現(xiàn)等腰三角形cde”。 例6、 在abc中，?cab?90，a db c于點d ，點e在b c的延長線上，且 ?cae?b，ad=3，de=4。求：cd：ce的值。 解： ad?bc?rt?ade? ? ad?3?ae?

8、de?4?32?42?5?1?3作df/ca，交ea的延長線于點f?2?f?bac?900?b?4?900?b?1?ad?bc?1?4?900?1?2?b?2? ?3?f?af?ad?af?3ad?3?afcd3df/ac?aece5 評注：關鍵由?b?1,?b?2發(fā)現(xiàn)ac平分?dae。 作角平分線的平行線構(gòu)造出等腰adf。 由勾股定理求出ae=5，從而求出cd：ce的值。 例7、 如圖：?bac?900,ab?ac?1,bd是角平分線de/bc，交ab于點e。求 de之長。 a e b 1 2 aead?de/bc?解：。 abac?ae?ad。 ab?ac?設ae=ad=x；則de=2x

9、3 d c de/bc?2?3?1?3?be?de ?2?1?be? 2x ab?x?2x?1 ?2?1x?1?x?12?1?2?1 de?2?2 評注： 發(fā)現(xiàn)aed仍為等腰直角三角形。 由角平分線、平行線發(fā)現(xiàn)等腰bed。 設未知數(shù)，列方程求出de之長。（方程思想） 例8、 如圖：已知rtabc中，以ab為直徑的o交斜邊 bc于點d，oe/bc交ac于點e。 求證：de是o的切線。 ?1?3?de/bd?2?b? 證明：?ob?od?3?b?1?2?oa?od?ode?oae?ode?oae?90? oe公有?ed是圓o的切線。 評注：只能利用定義證明直線與圓相切。 由等腰三角形和平行線，發(fā)現(xiàn)

10、角平分線得1=2。 利用全等三角形證等角，利用垂直證垂直。 例9、ab是o的直徑，bc是o外一點。pbab，ac/op交o于c點。求證：pc是o的切線。 p oc?oa?1?2?證明：連結(jié)，則?1?3? ac/op?2?4?3?4?op?op?opc?opb oc?ob?c 1 a 2 3 4 o b ?pco?pbo?0 ?pco?90?0pb?ab?pbo?90?dc?pc?pc是圓o的切線。 【切線的判定方法：過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線?！?評注：由等腰aoc的構(gòu)造出現(xiàn)，進而可發(fā)現(xiàn)3 = 4。 利用直角b證明了p c o為直角。 具體判定直線與圓相切的兩個判別方法： 作垂足，垂足在圓上。 連半徑，證明半徑