正比例的意義教材分析

1、正比例的意義教材分析石特小學(xué) 鐘舒瑤 正比例的意義是六年級(jí)下冊(cè)第四單元的內(nèi)容。這個(gè)單元的教學(xué)內(nèi)容的最大特點(diǎn)是知識(shí)的綜合性強(qiáng)，概念的內(nèi)涵的包攝性大，原來(lái)學(xué)生學(xué)過(guò)的數(shù)量關(guān)系、方程思想等，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)本單元的知識(shí)都有很大的幫助。從縱向看，學(xué)生已學(xué)過(guò)了商不變的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)，對(duì)于兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量同方向的變化已有了一定的感悟；從橫向看，前幾節(jié)課學(xué)生研究了比的意義和性質(zhì)、比例的意義和性質(zhì)、解比例等知識(shí)，但側(cè)重點(diǎn)有所不同，原來(lái)是關(guān)注如何求出未知量，現(xiàn)在是要在原來(lái)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究當(dāng)一個(gè)量不變的情況下，另兩個(gè)量存在怎樣的關(guān)系，研究的層次更高，更具有一般意義。學(xué)好這部分知識(shí)為以后學(xué)習(xí)正反比例解決

2、問(wèn)題打下必備的基礎(chǔ)，同時(shí)為學(xué)生用正比例的方法解決歸一問(wèn)題打開了一條思路。依據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)，重點(diǎn)應(yīng)放在探究正比例的意義上，根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念和學(xué)生的年齡特點(diǎn)、身心發(fā)展特點(diǎn)及教育教學(xué)規(guī)律，教學(xué)時(shí)要注意三點(diǎn)：（1）正確把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)。這部分知識(shí)與前面的比、比例、分?jǐn)?shù)、除法等知識(shí)聯(lián)系特別緊密，有的學(xué)生可能已經(jīng)有了一定的了解，如在學(xué)習(xí)研究商不變的規(guī)律時(shí)，估計(jì)學(xué)生會(huì)有所遷移。因此教學(xué)時(shí)老師不必多“插手”，把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生。（2）課堂氛圍要開放。教學(xué)時(shí)教師創(chuàng)設(shè)的氛圍必須是開放的、寬松的、自主的，以利于學(xué)生獲得更深刻、更準(zhǔn)確的理解和體驗(yàn)。盡量讓學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的情景中，運(yùn)用已有知識(shí)去嘗試、去探究、去發(fā)

3、現(xiàn)、去再創(chuàng)造。（3）創(chuàng)設(shè)的情景要切合學(xué)生的生活實(shí)際。教材很重視從生活現(xiàn)象和數(shù)學(xué)例子中提取數(shù)學(xué)模型，并在練習(xí)設(shè)計(jì)中重視了將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用于生活解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，拓展了學(xué)生的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，有利于更好地理解基本概念和方法。通過(guò)具體實(shí)例，借助事物表象，引導(dǎo)學(xué)生逐步了解數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)兩種相關(guān)聯(lián)量的變化規(guī)律。 本單元在學(xué)生具有比和比例的知識(shí)，認(rèn)識(shí)常見數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上編排，通過(guò)對(duì)兩個(gè)數(shù)量保持商一定變化，理解正比例關(guān)系，滲透初步的函數(shù)思想。正比例歷來(lái)是小學(xué)數(shù)學(xué)里的重要內(nèi)容之一，與過(guò)去的教材相比，本單元進(jìn)一步加強(qiáng)正比例的概念教學(xué)，突出正比例關(guān)系的圖像及簡(jiǎn)單應(yīng)用，重視正、與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，淡化脫離現(xiàn)實(shí)

4、背景判斷比例關(guān)系，不安排應(yīng)用正比例關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題。全單元編排例題和一個(gè)練習(xí)，教學(xué)正比例的意義和圖像知識(shí)。一、抽象實(shí)際事例中的數(shù)量變化規(guī)律，形成正比例的概念。 例1讓學(xué)生初步感知“兩種相關(guān)聯(lián)的量”以及“成正比例的量”的含義。列表呈現(xiàn)了一種彩帶的數(shù)量和總價(jià)，通過(guò)寫出幾組對(duì)應(yīng)的總價(jià)和數(shù)量的比并求比值，發(fā)現(xiàn)各個(gè)比的比值都是3.5，理解3.5是這種彩帶每米的價(jià)錢的數(shù)，由此得出數(shù)量關(guān)系總價(jià)/數(shù)量=單價(jià)（一定）。在數(shù)量關(guān)系中，總價(jià)比數(shù)量等于單價(jià)是舊知識(shí)，單價(jià)“一定”是這個(gè)問(wèn)題情境里的規(guī)律，是正比例概念的生長(zhǎng)點(diǎn)。教材先指出總價(jià)和路程是兩種相關(guān)聯(lián)的量，用“數(shù)量變化，總價(jià)也隨著變化”具體解釋兩種量的“相關(guān)聯(lián)”。

5、再指出這種彩帶總價(jià)和數(shù)量的比的比值總是一定，可以說(shuō)總價(jià)和數(shù)量成正比例，它們是成正比例的量，學(xué)生在這里首次感知了正比例關(guān)系?！霸囈辉嚒痹诹硪唤M數(shù)量關(guān)系中繼續(xù)感知正比例關(guān)系，購(gòu)買鉛筆數(shù)量和總價(jià)的表格里有三個(gè)空格，先計(jì)算買4枝、5枝、6枝這種鉛筆的總價(jià)，讓學(xué)生體會(huì)鉛筆的單價(jià)每枝0.3元是不變的，總價(jià)是隨著數(shù)量變化而變化的，總價(jià)與數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量。然后依次回答其他三個(gè)問(wèn)題，得出“鉛筆總價(jià)和數(shù)量成正比例”的結(jié)論，并用式子總價(jià)/數(shù)量=單價(jià)（一定）作出解釋?！霸囈辉嚒钡恼J(rèn)知線索與例1相似，留給學(xué)生自主活動(dòng)的空間比例1大，使學(xué)生對(duì)正比例關(guān)系的體驗(yàn)更深刻。學(xué)生在上面兩個(gè)實(shí)例中感知了正比例的具體含義，教材第6

6、3頁(yè)要形成正比例的概念。抽象概括正比例的意義是概念形成的重要環(huán)節(jié)，也是發(fā)展數(shù)學(xué)思考的極好機(jī)會(huì)。首先用字母表示數(shù)量，每個(gè)實(shí)例里都有兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，分別是路程和時(shí)間或者總價(jià)與數(shù)量，兩個(gè)量的比的比值分別是速度和單價(jià)，因而用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值；然后把路程/時(shí)間=速度（一定）、總價(jià)/數(shù)量=單價(jià)（一定）表示成y/x=k（一定），并指出正比例關(guān)系可以用這個(gè)字母式子表示。用抽象的字母組成的式子表示正比例關(guān)系是認(rèn)知難點(diǎn)，教學(xué)要聯(lián)系兩個(gè)實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“字母表示具體的數(shù)量字母式子表示常見數(shù)量關(guān)系字母式子表示正比例關(guān)系”的過(guò)程，加強(qiáng)對(duì)式子y/x=k（一定）的理解?！熬氁痪殹迸袛嗌a(chǎn)零

7、件的數(shù)量和時(shí)間成不成正比例，是把正比例概念具體化，利用概念進(jìn)行演繹推理。具體地說(shuō)，是分析這個(gè)情境里的生產(chǎn)零件數(shù)量和所用時(shí)間的比的比值是否始終保持一定，如果具備y/x=k（一定）這種關(guān)系，兩種相關(guān)聯(lián)的量成正比例，否則就不成正比例。學(xué)生在第62頁(yè)“試一試”里已經(jīng)進(jìn)行過(guò)這樣的分析和判斷，那時(shí)是依據(jù)連續(xù)的四個(gè)問(wèn)題進(jìn)行的，現(xiàn)在要求他們獨(dú)立開展有條理的推理活動(dòng)，進(jìn)一步理解正比例的意義，掌握判斷兩種量成不成正比例的方法。練習(xí)十三第13題配合例1的教學(xué)，第3題判斷正方形的周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)、面積與邊長(zhǎng)成不成正比例?？梢愿鶕?jù)表格里填的數(shù)據(jù)進(jìn)行推理，因?yàn)橹荛L(zhǎng)與邊長(zhǎng)的比4/1、8/2、12/3、16/4的比值都是4，面積與

8、邊長(zhǎng)的比1/1、4/2、9/3、16/4的比值不相等，所以正方形的周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)成正比例，面積與邊長(zhǎng)不成正比例。也可以根據(jù)正方形的周長(zhǎng)公式和面積公式推理，從“邊長(zhǎng)4=周長(zhǎng)”可以得到周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)的比的比值是確定的數(shù)4，即周長(zhǎng)/邊長(zhǎng)=4（一定），所以正方形的周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)成正比例。從“邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)=面積”可以知道，面積雖然隨著邊長(zhǎng)的變化而變化，但是面積與邊長(zhǎng)的比的比值是變化的量，即面積/邊長(zhǎng)=邊長(zhǎng)，所以正方形的面積與邊長(zhǎng)不成正比例。前一種思考對(duì)問(wèn)題進(jìn)行具體的分析，適宜大多數(shù)學(xué)生的實(shí)際水平，也符合標(biāo)準(zhǔn)的要求。后一種思考沒(méi)有利用數(shù)據(jù)信息，推理的難度較大，不必對(duì)學(xué)生提出這樣的要求。教材設(shè)計(jì)這道題的意圖是進(jìn)一步使學(xué)生理

9、解正比例的意義，突出正比例概念的內(nèi)涵：兩種相關(guān)聯(lián)量的比的比值保持一定。2用圖像直觀表達(dá)正比例關(guān)系。例2是按照標(biāo)準(zhǔn)的要求“根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在有坐標(biāo)系的方格紙上畫圖，并根據(jù)其中一個(gè)量的值估計(jì)另一個(gè)量的值”編排的，設(shè)計(jì)的三個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)了教學(xué)正比例圖像的三個(gè)步驟。第一步認(rèn)識(shí)圖像上的點(diǎn)，按照“A點(diǎn)表示1小時(shí)行80千米”“B點(diǎn)表示5小時(shí)行400千米”說(shuō)出其他各點(diǎn)的具體含義，體會(huì)各個(gè)點(diǎn)都表示汽車在某段時(shí)間所行駛的路程，也體會(huì)這些點(diǎn)是根據(jù)對(duì)應(yīng)的時(shí)間與路程的數(shù)據(jù)在方格紙上畫出來(lái)的。第二步認(rèn)識(shí)圖像的形狀，從圖中描出的點(diǎn)在一條直線上，體會(huì)正比例關(guān)系的圖像是一條直線。了解正比例圖像是直線對(duì)以后畫圖能起兩點(diǎn)作

10、用：一是畫正比例關(guān)系的圖像（如第64頁(yè)“練一練”），可以根據(jù)提供的各組數(shù)據(jù)描出圖像的許多個(gè)點(diǎn)，再依次連成直線；二是如果按正比例關(guān)系畫出的點(diǎn)不在同一條直線上，表明畫點(diǎn)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，應(yīng)及時(shí)糾正。第三步應(yīng)用圖像，估計(jì)行駛時(shí)間所對(duì)應(yīng)的路程或者行駛路程所用的時(shí)間。要指導(dǎo)學(xué)生利用畫垂線或畫平行線的技能，盡量使得數(shù)準(zhǔn)確些。如估計(jì)2.5小時(shí)行駛的千米數(shù)，要在橫軸上找到表示2.5小時(shí)的點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)畫橫軸的垂線，得到垂線與圖像的交點(diǎn)，再過(guò)交點(diǎn)作縱軸的垂線，根據(jù)垂足在縱軸上的位置估計(jì)行駛的路程。練習(xí)十三第4、5題配合例2的教學(xué)。判斷實(shí)際問(wèn)題里相關(guān)聯(lián)的兩種量成不成正比例有兩種思路，一種是看畫成的圖像，如果圖像是一條直線，

11、那么兩種量成正比例；如果圖像不是一條直線，那么兩種量不成正比例。另一種是根據(jù)正比例的意義，利用各組對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)寫出比、求比值，從比值是否相等作出成不成正比例的判斷。教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用后一種思路，在判斷活動(dòng)中加強(qiáng)對(duì)概念的理解。3調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性與數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)成反比例的量。例3教學(xué)反比例的意義，安排的教學(xué)活動(dòng)線索和例1十分相似。在表格里可以看到筆記本的單價(jià)在變化，購(gòu)買的數(shù)量也在變化，而且每組相對(duì)應(yīng)的單價(jià)和數(shù)量的乘積都是60，這不僅是算得的，還和題目里的“用60元買筆記本”相一致，因此用數(shù)量關(guān)系式“單價(jià)數(shù)量=總價(jià)（一定）”表示這個(gè)問(wèn)題情境里兩個(gè)變量的變化規(guī)律。在此基礎(chǔ)上指出單價(jià)和數(shù)量是兩種相關(guān)

12、聯(lián)的量，它們成反比例，是兩個(gè)成反比例的量?！霸囈辉嚒毕劝驯砀裉顚懲暾?，在填表時(shí)體會(huì)工地要運(yùn)的72噸水泥是確定的。然后思考三個(gè)問(wèn)題，抓住每天運(yùn)的噸數(shù)與需要的天數(shù)的乘積是多少，乘積表示什么數(shù)量以及問(wèn)題情境的數(shù)量關(guān)系式，從每天運(yùn)的噸數(shù)天數(shù)=運(yùn)水泥的總噸數(shù)（一定），理解每天運(yùn)的噸數(shù)和需要的天數(shù)成反比例。通過(guò)上面四個(gè)實(shí)例的研究，學(xué)生初步感知了反比例的含義，于是用字母x、y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示兩個(gè)量的乘積，把反比例關(guān)系表示成xy=k（一定），形成反比例的概念。學(xué)生認(rèn)識(shí)正比例意義時(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)可以遷移到反比例意義的學(xué)習(xí)中來(lái)，教學(xué)時(shí)要給學(xué)生多提供一些獨(dú)立思考和合作交流的機(jī)會(huì)。如讓學(xué)生觀察例3的表格、

13、填寫“試一試”的表格，發(fā)現(xiàn)表格里的變量，解釋兩個(gè)變量的“相關(guān)聯(lián)”；讓學(xué)生聯(lián)系已有的數(shù)量關(guān)系，研究總價(jià)與數(shù)量、每天運(yùn)的噸數(shù)與需要的天數(shù)的變化，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)總價(jià)總是60元，一共運(yùn)水泥的噸數(shù)總是72；讓學(xué)生寫出單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)，每天運(yùn)的噸數(shù)、需要的天數(shù)和運(yùn)水泥總數(shù)的數(shù)量關(guān)系式，說(shuō)說(shuō)總價(jià)一定、運(yùn)水泥的總噸數(shù)一定的理由；讓學(xué)生閱讀教材第65頁(yè)關(guān)于單價(jià)和數(shù)量成反比例的那段話，交流自己的理解和體會(huì)；讓學(xué)生試著用字母x、y、k表示反比例關(guān)系練習(xí)十三第68題配合例3的教學(xué)，重溫認(rèn)識(shí)反比例的過(guò)程，應(yīng)用概念進(jìn)行判斷，從而加強(qiáng)對(duì)反比例的理解。第8題在方格紙上分別呈現(xiàn)了三個(gè)面積都是12平方厘米的長(zhǎng)方形、三個(gè)周長(zhǎng)都是14厘米的長(zhǎng)方形，看圖在表格里填出各個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬。前三個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)乘寬分別是121=12、62=12、43=12，即長(zhǎng)寬=面積（一定），得到的結(jié)論是長(zhǎng)方形的面積一定，長(zhǎng)與寬成反比例。后三個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)乘寬分別是61=6、52=10、43=12，這些周長(zhǎng)相等的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)與寬的乘積不相等，所以長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定，長(zhǎng)與寬不成反比例。教學(xué)這道題要讓學(xué)生經(jīng)歷得出結(jié)論的過(guò)程，強(qiáng)化對(duì)反比例概