2016中考數(shù)學專題復習-一線三角三等角型

1、可編輯 “一線三等角”基本圖形解決問題三角形相似在整個初中數(shù)學中有著重要的地位，在學習三角形相似形時，我們從復雜圖形中分離出基本數(shù)學模型，對分析問題、解決問題有化繁為簡的效果。在近幾年的中考題中，經(jīng)常可以看到“一線三等角”的數(shù)學模型，所謂“一線三等角”是指在一條直線上出現(xiàn)了三個角相等。所以，只要見到一條直線上出現(xiàn)了三個等角，往往都存在這樣的模型，也會存在相似三角形，當出現(xiàn)了有相等邊的條件之后，相似就轉化為全等了，綜合性題目往往就會把相似和全等的轉化，作為出題的一種形式，需要大家注意。本文將重點對這一基本圖形進行探討。通過對題目的有效分解，打破同學們對綜合題的畏懼心理，讓同學們加深對于題目條件的

2、使用：條件用完，即使題目沒有求解完畢，也得到相應的分數(shù)，提高問題解決的能力，在這個師生共同探討的過程中鼓勵學生嘗試解題，并加強題后反思，培養(yǎng)他們解題的能力。一、知識梳理：（1）四邊形ABCD是矩形，三角板的直角頂點M在BC邊上運動，直角邊分別與射線BA、射線CD交于E、F，在運動過程中，EBMMCF. （2）如圖1：已知三角形ABC中，AB=AC,ADE=B,那么一定存在的相似三角形有ABDDEC.如圖2：已知三角形ABC中，AB=AC,DEF=B,那么一定存在的相似三角形有DBEECF.（圖1） （圖2）二、【例題解析】【例1】(2014四川自貢）閱讀理解：如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上

3、任取一點E（點E不與點A、點B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點解決問題：（1）如圖1，A=B=DEC=55，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E；拓展探究：（3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折

4、疊，使點D落在AB邊上的點E處若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究AB和BC的數(shù)量關系【練習】1、 已知矩形ABCD中， AB=3，AD=2=，點P是AB上的一個動點，且和點A,B 不重合，過點P作PE垂直DP，交邊BC于點E,設,PA=x，BE=y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍 .2、如圖，已知正方形ABCD，將一塊等腰直角三角尺的銳角頂點與A重合，并將三角尺繞點旋轉，當M點旋轉到BC的垂直平分線PQ上時，連接ON，若ON=8，求MQ的長.3. 如圖，在矩形ABCD中，AB=m(m是大于0的常數(shù))，BC=8,E為線段BC上的動點（不與BC重合）.連接DE，

5、作EFDE，EF與射線BA交于點F，設CE=x,BF=y,(1)求y關于x的函數(shù)關系式（2）若m=8，求x為何值時，y有最大值，最大值是多少？（3）若，要使DEF為等腰三角形，m的值應為多少？【例2】等邊ABC邊長為6，P為BC邊上一點，MPN=60，且PM、PN分別于邊AB、AC交于點E、F.（1）如圖1，當點P為BC的三等分點，且PEAB時，判斷EPF的形狀；（2）如圖2，若點P在BC邊上運動，且保持PEAB，設BP=x，四邊形AEPF面積的y，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）如圖3，若點P在BC邊上運動，且MPN繞點P旋轉，當CF=AE=2時，求PE的長.圖1 圖2

6、 圖3分析過程：（1）EPF為等邊三角形. （2）設BP=x，則CP6x.由題意可 BEP的面積為. CFP的面積為.ABC的面積為.設四邊形AEPF的面積為y. =.自變量x的取值范圍為3x6. （3）可證EBPPCF. .設BP=x，則 . 解得 . PE的長為4或. 【練習】.如圖，在ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，點P為BC邊上一動點（不與點B、C重合），過點P作射線PM交AC于點M，使APM=B；（1）求證：ABPPCM；（2）設BP=x，CM=y求 y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍（3）當APM為等腰三角形時，求PB的長ABPCM（4) 當點是的中點時，試說明AD

7、E是什么三角形，并說明理由【例3】在中，是AB上的一點，且，點P是AC上的一個動點，交線段BC于點Q，（不與點B,C重合），已知AP=2，求CQ 【練習】在直角三角形ABC中，是AB邊上的一點，E是在AC邊上的一個動點，（與A,C不重合），與射線BC相交于點F.(1)、當點D是邊AB的中點時，求證：(2)、當，求的值 【例4】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(3，0)，B(1.0)，C(0，3)(1)求拋物線的解析式；(2)若點P為第三象限內拋物線上的一點，設PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；(3)設拋物線的頂點為D，DEx軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得ADM是

8、直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由答案：(1)y=x2+2x3；(2)S有最大值，點P的坐標為（，）；(3)M的坐標為（0，）或（0，）或（0，1）或（0，3）.課后作業(yè)：ABCDEF1. 已知：如圖，在ABC中，點D在邊AB上，點E在邊BC上又點F在邊AC上，且(1) 求證：FCEEBD；(2) 當點D在線段AB上運動時，是否有可能使如果有可能，那么求出BD的長如果不可能請說明理由CPEABD2. 如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點，且BP=2，將一個大小與B相等的角的頂點放在P 點，然后將這個角繞P點轉動，使角的兩邊始終分別與AB、AC相

9、交，交點為D、E。（1）求證BPDCEP（2）是否存在這樣的位置，PDE為直角三角形？若存在，求出BD的長；若不存在，說明理由。CPEABF3. 如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一個動點(與B、C不重合)，PEAB與E，PFBC交AC與F，設PC=x，記PE=，PF=（1）分別求、關于x的函數(shù)關系式（2）PEF能為直角三角形嗎?若能，求出CP的長，若不能，請說明理由。CPEABF4. 如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一個動點(與B、C不重合)，PEAB與E，PFBC交AC與F，設PC=x，PEF的面積為y（1）寫出圖中的相似三角形不必證明；（2）

10、求y與x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；（3）若PEF為等腰三角形，求PC的長。5. 已知在等腰三角形中，是的中點， 是上的動點（不與、重合），連結，過點作射線，使，射線交射線于點，交射線于點.（1）求證：；（2）設.用含的代數(shù)式表示；求關于的函數(shù)解析式，并寫出的定義域.6. 已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如圖8，P為AD上的一點，滿足BPCA求證；ABPDPC求AP的長（2）如果點P在AD邊上移動（點P與點A、D不重合），且滿足BPEA，PE交直線BC于點E，同時交直線DC于點Q，那么當點Q在線段DC的延長線上時，設APx，CQy，求y關于x的函數(shù)解析

11、式，并寫出函數(shù)的定義域；當CE1時，寫出AP的長（不必寫出解題過程）CDABP答案：1. 解：（1）AB=ACB=CBED+DEF=C+EFC=90又BED=EFCFCEEBD（2）BD=x，BE=，F(xiàn)CEEBD若BD不存在2. 解：（1）AB=ACB=CCPEABDHDPC=DPE+EPC=B+BDPEPC =BDP ABDDCE（2）DPE=B90若PDE=90，在RtABH和RtPDE中 cosABH=cosDPE=CPEABDHPC=4 若PED=90在RtABH和RtPDE中 cosABH=cosPED=PC=4 （舍去）CPEABFH綜上所述，BD的長為3. 解：（1）、 （2）FPE=B90若PFE=90，在RtABH和RtPFE中CPEABFH cosABH=cosFPE=若PEF=90，在RtABH和RtPFE中 cosABH=cosFPE=4. 解：（1）PEBEPCCPE