畢業(yè)論文_用微積分理論證明不等式的方法

用微積分理論證明不等式的方法摘要本文總結了利用微積分理論證明不等式的10種方法導數(shù)定義法、單調(diào)性法、極值與最大最小值法、拉格朗日中值定理法、柯西中值定理法、函數(shù)的凹凸性法、泰勒公式法、冪級數(shù)展開式法、定積分理論法、參數(shù)法關鍵詞不等式、導數(shù)、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式英文摘要THEWAYSTOPROVEINEQUALITIESWITHCALCULUSTHEORYABSTRACTINTHISPAPER,ISUMUPTENMETHODSTOPROVEINEQUALITIESWITHCALCULUSTHEORYTHEMETHODWITHDERIVATIVESDEFINITION,THEMETHODWITHMONOTORICITY,THEMETHODWITHEXTREMUM,THEMETHODWITHLAGRANGEMEANVALUETHEOREM,THEMETHODWITHFUNCTIONSCONCAVITYORCONVEXITY,THEMETHODWITHTAYLORFORMULA,THEMETHODWITHDEVELOPMENTOFPOWERSERIES,THEMETHODWITHDEFINITEINTEGRALTHEORYANDTHEMETHODWITHPARAMETERKEYWORDSINEQUALITY,DERIVATIVE,LAGRANGEMEANVALUETHEOREM,CAUCHYMEANVALUETHEOREM,TAYLORFORMULA用微積分理論證明不等式的方法高等數(shù)學中所涉及到的不等式，大致可分為兩種函數(shù)不等式含變量和數(shù)值不等式不含變量對于前者，一般可直接或稍加變形構造一函數(shù)，從而可通過研究所構造函數(shù)的性質，進而證明不等式；對于后者，我們也可根據(jù)數(shù)值不等式的特點，巧妙的構造輔助函數(shù)，從而將數(shù)值不等式問題轉化為函數(shù)的問題，研究方法正好與前者相似微積分是高等數(shù)學中的重要內(nèi)容，以它為工具能較好的研究函數(shù)的形態(tài)，有些常規(guī)方法難于證明的不等式，若能根據(jù)不等式的結構特征，巧妙的構造函數(shù)，將不等式問題轉化為函數(shù)的問題，利用微積分理論研究函數(shù)的性質，應用函數(shù)的性質證明不等式一、用導數(shù)定義證明不等式法1證明方法根據(jù)導數(shù)定義導數(shù)定義設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，若極限XFY0存在，則稱函數(shù)在可導，稱這極限為函數(shù)在點XXFLIMLI000F0XXFY的導數(shù)，記作FY2證明方法1找出，使得恰為結論中不等式的一邊；2利用導數(shù)的定義并結合已0X0XFY知條件去研究3例例1設函數(shù)，其中都為實數(shù)，NXAXAXFSI2SINI1NA,21為正整數(shù)，已知對于一切實數(shù)，有，試證NF1分析問題中的條件與結論不屬于同一類型的函數(shù)，如果能找出它們之間的關系，無疑能幫助解決此題，可以看出于是問題可以轉化為證明021FNAA10F證明因則XXXFNCOSCOSS21利用導數(shù)的定義得NAAF21由于XFXFXFFXLIM00LI000XFSIN所以即1SIN0FX12NAA4適用范圍用導數(shù)定義證明不等式，此方法得適用范圍不廣，我們應仔細觀察問題中的條件與結論之間的關系有些不等式符合導數(shù)的定義，因此可利用導數(shù)的定義將其形式轉化，以達到化繁為簡的目的二用可導函數(shù)的單調(diào)性證明不等式法1證明方法根據(jù)可導函數(shù)的一階導數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性關系定理定理一若函數(shù)在可導，則在內(nèi)遞增（遞減）的充要條件是XF,BAXF,BA,0FXF定理二設函數(shù)在連續(xù)，在內(nèi)可導，如果在內(nèi)（或XF,0XF），那么在上嚴格單調(diào)增加（或嚴格單調(diào)減少）XFBA定理三設函數(shù)在內(nèi)可導，若（或），則在XF,0XFXFXF內(nèi)嚴格遞增（或嚴格遞減）,BA上述定理反映了可導函數(shù)的一階導數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關系，因此可用一階導數(shù)研究函數(shù)在所討論區(qū)間上的單調(diào)性2證明方法（1）構造輔助函數(shù)，取定閉區(qū)間；XF,BA如何構造輔助函數(shù)利用不等式兩邊之差構造輔助函數(shù)（見例2）；利用不等式兩邊相同“形式”的特征構造輔助函數(shù)（見例3）；若所證的不等式涉及到冪指數(shù)函數(shù)，則可通過適當?shù)淖冃危ㄈ羧?shù)）將其化為易于證明的形式，再如前面所講那樣，根據(jù)不等式的特點，構造輔助函數(shù)（見例4）2研究在上的單調(diào)性，從而證明不等式XF,BA3例例2證明不等式01LN122XXX分析利用差式構造輔助函數(shù)，則將,01LN2XF要證明的結論轉化為要證，而，因而只要證明0,XFF0,XFF證明令，易知在上連,01LN122XXXF,0續(xù)，且有，由定理二可知在上嚴格單,0,L2XF調(diào)增加，所以由單調(diào)性定義可知，即XFXF因此1LN122XX0X例3求證BABA11分析不等式兩邊有相同的“形式”試構造輔助函數(shù)A0,1XF利用定理二與在在上的單調(diào)性證明不等式XF,0證明設輔助函數(shù)易知在上連續(xù)，且有0,1XXF,0,012XF則由定理二可知在上嚴格單調(diào)增加由，有0XF,0BA0，得到BAFF，所以原不等式成立BABA111例4證明當時，0X21XE分析此不等式為冪指數(shù)函數(shù)不等式，若直接利用差式構造輔助函數(shù)將很難求其導數(shù)，更很難判斷其在上的單調(diào)性，可對不等式兩邊分別取對數(shù)得到,，化簡得，在此基礎上可利用差式構造21LN1XX21LNXX輔助函數(shù)，因，因而只要證明0LN2XF0F即可0,XF證明分別對不等式得兩邊取對數(shù)，有，化簡有21LN1XX設輔助函數(shù)，21LN2XX0,LN2F，易知在上連續(xù)，也在上連續(xù)，因FF,0F，根據(jù)定理二，得在上嚴格單調(diào)增加，所以0,1XXXF,0又由在上連續(xù)，且，根據(jù)定理二可知FFXF,XF在上嚴格單調(diào)增加，所以，即X,0,F，因此，即01LN2X1LN2XX21XE4適用范圍利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，不等式兩邊的函數(shù)必須可導；對所構造的輔助函數(shù)應在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導，且在閉區(qū)間的某端點處的值為0，然后通XFXF過在開區(qū)間內(nèi)的符號來判斷在閉區(qū)間上的單調(diào)性XFXF三、函數(shù)的極值與最大、最小值證明不等式法1證明方法根據(jù)極值的充分條件定理定理四（極值的第一充分條件）設在連續(xù)，在內(nèi)可導，XF0,0X（I）若當時，,當時，,則,00XX,0F在取得極大值F0II若當時，,當時，,則,00XX0XF,0XXF在取得極小值XF0定理五（極值的第二充分條件）設在的某領域內(nèi)一階可導，在XF,0X處二階可導，且，,I若，則在取得0X0XF0FXF0極大值；II若，則在取得極小值0FX極值和最值是兩個不同的概念極值僅是在某點的鄰域內(nèi)考慮，而最值是在某個區(qū)間上考慮若函數(shù)在一個區(qū)間的內(nèi)部取得最值，則此最值也是極值極值的充分條件定理反映了可導函數(shù)的一階導數(shù)符號或二階導數(shù)在可疑點上的導數(shù)符號與函數(shù)極值的關系2證明方法（1）構造輔助函數(shù)，并取定區(qū)間XF如何構造輔助函數(shù)當不等式兩邊均含有未知數(shù)時，可利用不等式兩邊之差構造輔助函數(shù)（見例5）；當不等式兩邊含有相同的“形式”時，可利用此形式構造輔助函數(shù)（見例6）；當不等式形如（或）（為常數(shù)）時，可設為輔助函數(shù)（見AXGAXGXG例7）2求出在所設區(qū)間上的極值與最大、最小值XF極值與最大、最小值的求法極值求法（1）求出可疑點，即穩(wěn)定點與不可導的連續(xù)點；（2）按極值充分條件判定可疑點是否為極值點最大、最小值的求法（1）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、最小值的求法先求出,BA可疑點，再將可疑點處的函數(shù)值與端點處的函數(shù)值比較，最大者為最大值，最小者為最小值（2）開區(qū)間內(nèi)可導函數(shù)的最大值、最小值的求法若在內(nèi)可導，且,BAXF,BA有唯一的極值點，則此極值點即為最大值點或最小值點3例例5證明當時有0X45X分析利用差式構造輔助函數(shù)，這與前面利用函數(shù)單調(diào)性定0,XF義證明不等式中所構造輔助函數(shù)的方法相同，但由于在上不是單調(diào)函數(shù)，（因F,對任意，且，不能判斷的0,21X5,212512121XXXFFXXF符號）所以不能用可導函數(shù)的單調(diào)性證明此不等式，則可采用函數(shù)的極值方法試之函數(shù)的單調(diào)性證明此不等式，則可采用函數(shù)的極值方法試之證明構造輔助函數(shù)，則有0,45XXF令，解得，其,115224XF0XF1X中只有在區(qū)間內(nèi)，由，有在點連1,045LIMLI1XFXF續(xù)因當時，則在上為減函數(shù)；當時，XF,01X0X則在上為增函數(shù)；由定理四可知，在處取得極小值，即為F,1XFF區(qū)間上的最小值，所以當時，有故,00X01FX即,045XX45例6設，則,BABBA1分析此不等式兩邊含有相同的“形式”，可將不等式變形為BA，可構造輔助函數(shù)BBA1101XXFB證明將不等式變形為，構造輔助函數(shù)，BBA1101XFB則有，令，則有當時，BXXF210XFXX0，所以單調(diào)遞減；當時，則單調(diào)遞增因此，由定0FFBFF理四可知在時取得極小值，即最小值所以當，有XFB,0A，即BAF1BF1,1BAB例7證明若，則對于中的任意有1P,0X121PPX分析顯然設輔助函數(shù)，若設，由,1XFPPG，故很難用函數(shù)單調(diào)性的定義去證2001FGFFP明考慮到，不難看到不等式，即為與其端點F1PPXXF處的函數(shù)值的大小比較問題，因而可想到用最值方法試之1,X證明設輔助函數(shù)為，則時，有0,1XXFPP0X令得,111PXFF,解之得穩(wěn)定點,因函數(shù)在閉區(qū)間0,1上連續(xù),因而在0,1上11PPXX21XXF有最大值和最小值，已知有1212,10PPFF,12,MAXAX101,0PFMIN1,0XX因此對一切時，有所以原不等式得,21,I10PPX1,0PX,121XFP證4適用范圍（1）所設函數(shù)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導，但在所討論的區(qū)間上不是單調(diào)函XF數(shù)時；（2）只能證不嚴格的不等式而不能證出嚴格的不等式四、用拉格朗日中值定理證明不等式法1證明方法根據(jù)拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理若函數(shù)滿足下列條件（I）在閉區(qū)間上連續(xù)；XFXF,BA（）在開區(qū)間內(nèi)可導，則在內(nèi)至少存在一點，使得XF,BA,BAF拉格朗日中值定理反映了函數(shù)或函數(shù)增量和可導函數(shù)的一階導數(shù)符號之間的關系2證明方法輔助函數(shù)，并確定施用拉格朗日中值定理的區(qū)間；XFXF,BA對在上施用拉格朗日中值定理；XF,BA利用與的關系，對拉格朗日公式進行加強不等式3例例8證明當XX1LN,0分析所證不等式中的函數(shù)的導數(shù)為，即所證不等式中含有函數(shù)及其導1數(shù)，因而可用拉格朗日中值定理試之由于，因此可構造函數(shù)的改變量0L，則相應自變量的改變量為，原不等式等價于1LNLXX，由不等式中間部分的形式可知，可利用拉格朗日中值定理去證明證明構造函數(shù)，因在上連續(xù)，在上可導，TFLNTF01,X1,X在TF上滿足拉格朗日條件，于是存在，使01,X,X，因1FF，所以1,LNLN1XXFXF1LX即0,LN1X4適用范圍當所證的不等式中含有函數(shù)值與一階導數(shù)，或函數(shù)增量與一階導數(shù)時，可用拉格朗日中值定理來證明五、用柯西中值定理證明不等式法1證明方法根據(jù)柯西中值定理柯西中值定理若函數(shù)與都在閉區(qū)間上連續(xù)；與都在開XFG,BAXFG區(qū)間內(nèi),BA可導；與在內(nèi)不同時為0；則在內(nèi)至少存在一XFG,BAG,BA點，使得AGBFGF柯西中值定理反映了兩個函數(shù)或兩個函數(shù)增量與它們一階導數(shù)之間的關系2證明方法構造兩個輔助函數(shù)和，并確定它們施用柯西中值定理的區(qū)間；XFG,BA對與在上施用柯西中值定理；XFG,BA利用與的關系，對柯西公式進行加強不等式,3例例9設，證明20,YXEAAYXAXXYLNCOS分析原不等式可等價于可看出不等式左邊可看成是函數(shù)AXXLNCOSTAF與在區(qū)間上的改變量的商，故可用柯西中值定理證明之TTGCOS,YX證明原不等式等價于，可構造函數(shù)，,AXAXLNCOSTAFTGCOS因,TFG均在上連續(xù)，在上可導，且，由于，則YX,YX0LNATFT2YX，所以在上滿足柯西中值條YGTTCOSCOS0SIN,TFG,件，于是存在，使得，又因,YXSINLCOSAXYXFF,EA有，得到,因,20YX1LN,SI1,AAXSINLL,SINLLAAXX此,即AXYAXLNCOSAYXXXYLNCOS4適用范圍當不等式含有兩個函數(shù)的函數(shù)值及其一階導數(shù)，或兩個函數(shù)的函數(shù)增量及其一階導數(shù)時，可用柯西中值定理證明六、上述二、三、四、五種方法小結前面二、三、四、五種方法中，均可利用差式構造函數(shù)，但有時應用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性證明不等式，有時應用導數(shù)研究函數(shù)極值證明不等式，而有時應用拉格朗日中值定理或柯西中值定理證明不等式三者有何區(qū)別若所證不等式含有函數(shù)值及其導數(shù)，宜用中值定理；若所證不等式，其兩端函數(shù)均可導，且或,BAXGF,XGFAGFAF有一為0時，宜用函數(shù)的單調(diào)性FBF若所證不等式的兩端函數(shù)有不可導時，不能用函數(shù)單調(diào)性證明，宜用中值定理若所證不等式，兩端函數(shù)均可導，但,BAXGF,XGF不是單調(diào)的函數(shù)時，宜用函數(shù)的極值來證明XFXF七、用函數(shù)的凹凸性證明不等式1證明方法根據(jù)凹凸函數(shù)定義及其定理和詹森不等式定義設為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對于I上任意兩點和實數(shù)，XF21,X1,0總有,則稱為I上的凸函數(shù)，若總有1122XFXFXFXF,則稱為I上的凹函數(shù)定理六設為I上的二階可導函數(shù)，則為I上的凸函數(shù)（或凹函數(shù)）的充要XFXF條件是在I上0XFXF或命題（詹森不等式）若在上為凸函數(shù)，對任意的XF,BA且,則該命題可用數(shù)學歸2,10,NIBAXII1I1NIIF1INIF納法證明函數(shù)的凹凸性定理反映了二階可導函數(shù)的二階導數(shù)符號與凹凸函數(shù)之間的關系2證明方法定義證明法將不等式寫成定義的形式，構造輔助函數(shù)，并討論在所給區(qū)XFXF間上的凹凸性詹森不等式法對一些函數(shù)值的不等式，構造凸函數(shù)，應用詹森不等式能快速證此類不等式3例例10證明當時,0YX2LNLNLYXYX分析不等式等價于不等式兩邊含有相同“形式”2LN,TLN可設輔助函數(shù)因此原不等式可化為要證只要0LNTTF22YXFFX證明TF在上為凸函數(shù)，即證在內(nèi)即可,0XF,Y0XF證明（定義證明法）設有則LNTT01,LNTTFT在TF,為凸函數(shù)對任意，有取要使0,YXX22YXFFX與的系數(shù)相同，當且僅當時成立，即因此XFG112LNLNLYXY例11若A,B,C是的三內(nèi)角，則ABC32SINISINCBA分析不等式左邊為的函數(shù)的和，考慮構造凸函數(shù)XSINXFI證明（詹森不等式）令，則則是XF0,SIN0SNF上的凸函數(shù),取，由，得到0CBA,3211I，由詹森不等式結論得3121,因是的三內(nèi)角，則SINISINSINBACBABA,C，可得即23SINISINI31CBA32SINISINBA4適用范圍當不等式可寫成凹凸函數(shù)定義的形式或對一些函數(shù)值和且能夠構造凸函數(shù)的不等式八、用泰勒公式證明不等式法1證明方法根據(jù)泰勒定理泰勒定理若函數(shù)滿足如下條件XF在閉區(qū)間上函數(shù)存在直到階連續(xù)導數(shù)在開區(qū)間內(nèi)存在的,BAN,BAXF階導數(shù)，則對任何，至少存在一點，使得1N,X,BA112NNNAXFXFXAFAFXF泰勒公式揭示了多項式與函數(shù)之間的關系2證明方法根據(jù)已知條件，圍繞證明目標，選取恰當?shù)狞c將函數(shù)在這些點展成泰勒展式；根據(jù)已知條件，向著有利于證明目標不等式的方向對上面的展式作適當?shù)奶幚?，直到可以結合已知條件證出不等式為止（注意具體的題目應用此方法時要靈活運用，有些題目在進行前，要先對已知條件或證明目標進行適當?shù)霓D化，以更有利于證明的進行，使不會過于繁瑣）3例例12設函數(shù)在上二階可導，,且，試證明XF1,010F2XF1XF分析根據(jù)題設條件，在上二階可導，且函數(shù)值，XF,10F，可寫出函數(shù)在處的一階泰勒公式，并取考察點0或1，利用相應的泰勒2XF公式，對作估計F證明取10X，由泰勒公式分別有,0,2121XXFFF由于，則將以上兩式12XX10F做差，整理得所以,12221XFFF21221XFXFXF因此原不等012,121122XXXX式成立4適用范圍當遇到含有函數(shù)或高階導數(shù)，或函數(shù)增量與高階導數(shù)，或要證的是導數(shù)（一階或二階）不等式時，可利用泰勒公式來證明有關的不等式九、用冪級數(shù)展開式證明不等式法證明方法根據(jù)幾個重要的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式幾個重要的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式如下；,121XNXEX；,123SIN121XN；,421CO2XXNN；1,0,1XXN1,312LN1XNX初等函數(shù)是中學數(shù)學教學重點，某些初等函數(shù)可展開成冪級數(shù)，在展開式中添加或刪去某些冪級數(shù)時，可很快證明出某些含冪級數(shù)的不等式2證明方法先把初等函數(shù)展開成冪級數(shù)，然后在展開式中添加或刪去某些冪級數(shù)即可快速證明此不等式3例例13當，證明1,0XXE2證明因分別可寫成冪級數(shù)展開式，有XE21NX1,0,22XN,XXENX則左邊的一般項為，右邊的一般項為，因此當，所以N22N2,3N1,0,12XE4適用范圍當不等式中含有上面幾個重要初等函數(shù)之一時，可用冪級數(shù)展開式法來證明此不等式十、用定積分理論來證明不等式法1證明方法根據(jù)定積分的性質和變上限輔助函數(shù)理論定積分性質之一設與為定義在上的兩格可積函數(shù)，若XFG,BA,BAXGF則DABA微積分學基本定理若函數(shù)在上連續(xù)，則由變動上限積分XF,BA，,BAXDTFXA定義的函數(shù)在上可導，而且也就是說，函數(shù)是被積函數(shù)在XFXF上的一個原函數(shù),B微積分學基本定理溝通了導數(shù)和定積分這兩個從表面看去似不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系2證明方法利用定積分的性質證明不等式法對可積函數(shù)，先證出，