債券組合信用VaR度量分析

第18章債券組合信用VaR度量,計(jì)算單只債券的信用風(fēng)險(xiǎn),信用評(píng)級(jí)轉(zhuǎn)移概率債券信用風(fēng)險(xiǎn)指由于信用質(zhì)量改變而引起的價(jià)值變動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)。每個(gè)債券信用質(zhì)量用8種評(píng)級(jí)之一來(lái)表示(AAAAAABBBBBBCCCDefault)。不僅違約會(huì)導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)，而且升降級(jí)引起的價(jià)值變化也會(huì)導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)。所以需要估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)期內(nèi)信用評(píng)級(jí)轉(zhuǎn)移到其他任何可能信用狀態(tài)的概率。債券發(fā)行者的信用級(jí)別決定了債券在風(fēng)險(xiǎn)期內(nèi)違約或者轉(zhuǎn)移到任何可能信用評(píng)級(jí)的概率。,A級(jí),AAA級(jí)和BBB級(jí)債券一年后的信用評(píng)級(jí)轉(zhuǎn)移概率,圖18.1信用等級(jí)轉(zhuǎn)移實(shí)例（1年風(fēng)險(xiǎn)期）,通過(guò)觀測(cè)大量公司的信用評(píng)級(jí)歷史數(shù)據(jù)來(lái)得到轉(zhuǎn)移概率。這隱含兩個(gè)假設(shè)：(1)假設(shè)所有公司的信用評(píng)級(jí)是正確的；(2)假設(shè)具有相同信用級(jí)別的所有公司將來(lái)表現(xiàn)行為一致轉(zhuǎn)移到其他信用級(jí)別的概率均相同。下頁(yè)表中用矩陣表示所有級(jí)別債券的轉(zhuǎn)移概率。,表18.1年期轉(zhuǎn)移概率矩陣,表18.1最左邊一列是債券當(dāng)前的信用評(píng)級(jí)，沿著那行的各列是風(fēng)險(xiǎn)期末的評(píng)級(jí)。例如，左下角的數(shù)字0.22說(shuō)明了一個(gè)信用評(píng)級(jí)為CCC的債券在1年末轉(zhuǎn)移到AAA信用級(jí)別的概率是0.22。,債券定價(jià),確定了單只債券在風(fēng)險(xiǎn)期末轉(zhuǎn)移到任何可能信用狀態(tài)的概率后，就可以確定風(fēng)險(xiǎn)期末相應(yīng)信用狀態(tài)上債券的價(jià)值。每個(gè)轉(zhuǎn)移狀態(tài)計(jì)算一次價(jià)值，因而每只債券有8個(gè)新定價(jià)。這8個(gè)定價(jià)可分為兩類(lèi)。第一類(lèi)，在違約情況下，需要基于債券的優(yōu)先級(jí)估計(jì)恢復(fù)率。第二類(lèi)，在升降級(jí)的情況下，需要估計(jì)由于信用評(píng)級(jí)變化導(dǎo)致的信用價(jià)差的變化，即通過(guò)計(jì)算債券在新的收益率下，剩余現(xiàn)金流的現(xiàn)值來(lái)估計(jì)它的新價(jià)值。,違約狀態(tài)下的定價(jià),如果債券信用評(píng)級(jí)轉(zhuǎn)移到違約，則恢復(fù)后殘留凈值將依賴(lài)于債券的優(yōu)先級(jí)。表2提供了違約狀態(tài)下的恢復(fù)率和恢復(fù)率的標(biāo)準(zhǔn)差。表18.2恢復(fù)率（面值）,表18.2給出了恢復(fù)率均值（中間列）和恢復(fù)率的標(biāo)準(zhǔn)差（最后一列）。例如，有一個(gè)BBB級(jí)的債券是優(yōu)先無(wú)擔(dān)保的（面值100美元），則它違約時(shí)的均值為面值的51.13，恢復(fù)率的標(biāo)準(zhǔn)差是25.45。如果該債券發(fā)生違約，則它的價(jià)值為：V=100*51.13=51.13美元。,升降級(jí)狀態(tài)下的定價(jià),(1)得到每一個(gè)評(píng)級(jí)類(lèi)別的一年期遠(yuǎn)期利率曲線。遠(yuǎn)期利率從風(fēng)險(xiǎn)期末開(kāi)始到債券到期。(2)利用這些遠(yuǎn)期利率數(shù)據(jù)，對(duì)各個(gè)級(jí)別債券的剩余現(xiàn)金流進(jìn)行定價(jià)。假設(shè)有一個(gè)BBB級(jí)債券，面值為100美元，5年到期，息票率為6%。假定各個(gè)級(jí)別債券1年后的遠(yuǎn)期利率由表3給出。表31年后的遠(yuǎn)期利率曲線（）,假定1年末該BBB級(jí)債券升級(jí)到A，價(jià)值用下面的公式來(lái)表示：上式計(jì)算了1年末該BBB級(jí)債券升級(jí)到A級(jí)時(shí)的價(jià)值。對(duì)轉(zhuǎn)移到所有級(jí)別債券完成相似計(jì)算，可得表4。表4BBB級(jí)債券轉(zhuǎn)移到相應(yīng)級(jí)別的年末價(jià)值,估計(jì)信用風(fēng)險(xiǎn),根據(jù)前面的數(shù)據(jù)和計(jì)算公式，得到BBB債券的年末價(jià)值和信用評(píng)級(jí)轉(zhuǎn)移概率如表18.5所示。表5BBB級(jí)債券的年末價(jià)值和信用評(píng)級(jí)轉(zhuǎn)移概率,標(biāo)準(zhǔn)差作為信用風(fēng)險(xiǎn)的度量指標(biāo),設(shè)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，為相應(yīng)狀態(tài)下的價(jià)值（表5的第2，3列）。計(jì)算均值和標(biāo)準(zhǔn)差：,由信用級(jí)別變化而引起的價(jià)值變化的標(biāo)準(zhǔn)差為$2.99，此值為一種信用風(fēng)險(xiǎn)值，如果進(jìn)一步假設(shè)價(jià)值服從正態(tài)分布，可得置信水平為99%的信用風(fēng)險(xiǎn)值為$6.96（=2.99*2.33,其中，SAS函數(shù)probit(.0.01)=-2.33，99%置信水平對(duì)應(yīng)的分位數(shù)為1%）。,均值與百分位數(shù)的差作為信用風(fēng)險(xiǎn)的度量指標(biāo),表18.5顯示了BBB級(jí)債券在風(fēng)險(xiǎn)期末任何給定信用級(jí)別的概率和價(jià)值。假設(shè)要計(jì)算BBB級(jí)債券年末價(jià)值的1%分位數(shù)，計(jì)算過(guò)程如下。從表18.5的底部違約狀態(tài)開(kāi)始，然后逐漸升級(jí)到AAA級(jí)狀態(tài)。向上移動(dòng)的同時(shí)，計(jì)算概率和。當(dāng)這個(gè)概率和第一次達(dá)到或超過(guò)1%時(shí)，所對(duì)應(yīng)的值就是該債券年末價(jià)值的1%分位數(shù)。具體過(guò)程：違約狀態(tài)時(shí)概率是0.18，該值小于1%，向上移動(dòng)到CCC狀態(tài)；違約和CCC的概率和是0.30（0.18+0.12），仍然小于1%，繼續(xù)向上移動(dòng)；違約，CCC，B三者概率和等于1.47（0.30+1.17），該值超過(guò)了1%，因而，停止移動(dòng)。這時(shí)，相應(yīng)的年末價(jià)值等于98.10美元，這就是債券年末價(jià)值的1%分位數(shù)，它與均值的差為8.97美元（$107.07-$98.10=$8.97）。BBB級(jí)債券的信用風(fēng)險(xiǎn)為：$107.07-$98.10=$8.97.,計(jì)算債券組合的信用風(fēng)險(xiǎn),聯(lián)合概率這里只考慮包括兩個(gè)特定債券的組合。兩個(gè)債券在可能的轉(zhuǎn)移期限內(nèi)，有88=64個(gè)可能的狀態(tài)。獲得聯(lián)合概率的最簡(jiǎn)單方法是假設(shè)兩個(gè)債券信用級(jí)別變化是獨(dú)立的，這時(shí)，聯(lián)合概率是單個(gè)概率的乘積。如下表18.6中所示，兩個(gè)債券（BBB級(jí)和A級(jí)）保持他們?cè)鹊募?jí)別的聯(lián)合概率就是79.15。等于86.93（BBB級(jí)期末仍舊保持在BBB級(jí)的概率）與91.05（A級(jí)債券期末仍保持在A級(jí)的概率）的乘積：79.1586.9391.05。,表18.6兩獨(dú)立債券（BBB級(jí)和A級(jí)）的聯(lián)合轉(zhuǎn)移概率（）,資產(chǎn)收益率模型,假設(shè)兩個(gè)債券信用級(jí)別的變化相互獨(dú)立是不現(xiàn)實(shí)的，因?yàn)樗麄冃庞迷u(píng)級(jí)的變化至少受同樣的宏觀經(jīng)濟(jì)變量的影響。因此其信用評(píng)級(jí)或違約率的變化將具有某種程度的相關(guān)性但由于是實(shí)際違約資料的稀缺性，導(dǎo)致很難觀察或估計(jì)信用等級(jí)的聯(lián)合轉(zhuǎn)移狀況。下面給出了一種解決方案，即引入公司資產(chǎn)收益率模型，該模型將公司資產(chǎn)收益率與信用級(jí)別聯(lián)系起來(lái)。令Z表示資產(chǎn)收益率。將債券的信用等級(jí)變動(dòng)與發(fā)行公司的權(quán)益價(jià)值變動(dòng)相聯(lián)結(jié)，將信用評(píng)級(jí)的變化轉(zhuǎn)換為由一些相對(duì)應(yīng)的資產(chǎn)收益率門(mén)檻值來(lái)表示。,圖18.2未來(lái)一年可能的資產(chǎn)收益率門(mén)檻值與相應(yīng)的信用評(píng)級(jí)變化（以BB級(jí)債券為例）,圖18.2中橫軸的不同Z值表示BB級(jí)債券的資產(chǎn)收益率門(mén)檻值，例如，表示債務(wù)人發(fā)生違約；表示發(fā)債公司的等級(jí)被降為CCC級(jí)。,這樣，知道公司的資產(chǎn)收益率門(mén)檻值，就可以得出信用評(píng)級(jí)的變化。所以，這里只需要對(duì)公司的資產(chǎn)收益率門(mén)檻值變化建模就可以了。假設(shè)公司資產(chǎn)收益率的變化是正態(tài)分布，均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為。下面以BB級(jí)債券為例，說(shuō)明由債券評(píng)級(jí)轉(zhuǎn)移概率計(jì)算資產(chǎn)收益率門(mén)檻值的方法。,表18.7中第一列為BB級(jí)債券未來(lái)一年的轉(zhuǎn)移概率。由于假設(shè)資產(chǎn)收益率Z服從正態(tài)分布，則通過(guò)下面評(píng)級(jí)轉(zhuǎn)移概率與資產(chǎn)收益率門(mén)檻值之間的關(guān)系，,依次可求得各等級(jí)的收益率門(mén)檻值，如表18.7中第4列。上式中代表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。,表18.7BB級(jí)債券評(píng)級(jí)轉(zhuǎn)移概率與收益率門(mén)檻值,這里沒(méi)有給出的值，因?yàn)槿魏胃哂诘氖找媛室馕吨?jí)到AAA。,現(xiàn)在考慮另一個(gè)A級(jí)債券。同樣假設(shè)A級(jí)債券資產(chǎn)收益率的變化是正態(tài)分布，均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為。由表示其對(duì)應(yīng)的資產(chǎn)收益率，它的資產(chǎn)收益率門(mén)檻值由等表示。A級(jí)債券的轉(zhuǎn)移概率和資產(chǎn)收益率門(mén)檻值如表18.8所示。,表18.8A級(jí)債券轉(zhuǎn)移概率和資產(chǎn)收益率門(mén)檻值,為了描述兩個(gè)債券信用評(píng)級(jí)的聯(lián)合變化，假設(shè)這兩個(gè)資產(chǎn)收益率服從相關(guān)系數(shù)為的二元正態(tài)分布。這樣，就可以利用資產(chǎn)收益率門(mén)檻值來(lái)計(jì)算兩個(gè)債券的信用評(píng)級(jí)聯(lián)合轉(zhuǎn)移概率。例如，希望計(jì)算兩個(gè)債券均保持當(dāng)前信用評(píng)級(jí)不變的概率。即BB級(jí)對(duì)應(yīng)的資產(chǎn)收益率在到之間，A級(jí)對(duì)應(yīng)的資產(chǎn)收益率在到之間。如果兩個(gè)資產(chǎn)收益率是獨(dú)立的（），則這個(gè)聯(lián)合概率是80.53（BB保持在BB的概率）與91.05（A保持在A的概率）的乘積。如果不等于0，則聯(lián)合概率為：,其中，是相關(guān)系數(shù)為的二元正態(tài)分布的密度函數(shù)。即，,此處可以令（資產(chǎn)收益率門(mén)檻值標(biāo)準(zhǔn)化）。,表18.9BB級(jí)和A級(jí)債券的聯(lián)合評(píng)級(jí)轉(zhuǎn)移概（）,相同的方法可以計(jì)算兩個(gè)債券的64個(gè)聯(lián)合評(píng)級(jí)轉(zhuǎn)移概率，假設(shè)，利用SAS編程求得概率如表18.9所示。,組合信用風(fēng)險(xiǎn),用標(biāo)準(zhǔn)差作為信用風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量指標(biāo)時(shí)的相關(guān)公式：,兩項(xiàng)資產(chǎn)：,更一般的，當(dāng)組合資產(chǎn)為n項(xiàng)（），各項(xiàng)均值為，方差為。令，則組合的方差為：,三項(xiàng)資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差：,實(shí)際應(yīng)用時(shí)，使用下面的向量形式方便計(jì)算。,計(jì)算兩債券組合信用風(fēng)險(xiǎn)值的sas程序：以18.2.2中的兩只債券組合為例，一只為BB級(jí)債券，另一只為A級(jí)債券。prociml;recovery=53.80,51.13,38.52,32.74,17.09;/*創(chuàng)建恢復(fù)率矩陣*/recovery=recovery/100;forward=3.604.174.735.12,3.654.224.785.17,3.724.324.935.32,4.104.675.255.63,5.556.026.787.27,6.057.028.038.52,15.0515.0214.0313.52;/*一年期遠(yuǎn)期利率矩陣*/forward=forward/100;par=100;coupon=0.06;tran=90.818.330.680.060.12000,0.7090.657.790.640.060.140.020,0.092.2791.055.520.740.260.010.06,0.020.335.9586.935.301.170.120.18,0.030.140.677.7380.538.841.001.06,00.110.240.436.4883.464.075.20,0.2200.221.302.3811.2464.8619.79;/*一年期等級(jí)轉(zhuǎn)移概率矩陣*/tran=tran/100;rating=53;/*對(duì)應(yīng)等級(jí)BB,A*/prob=t(tranrating,);v=80;,doi=1to7;vi=coupon*par*(1+1/(1+forwardi,1)+1/(1+forwardi,2)#2+1/(1+forwardi,3)#3+1/(1+forwardi,4)#4)+par/(1+forwardi,4)#4;end;/*一年后的價(jià)值*/v8=par*recovery2;z=J(9,2,0);/*創(chuàng)建9行2列元素全為0矩陣*/z9,=-40;z1,=8;z8,=probit(prob8,);doi=7to2by-1;zi,=probit(probi,+probnorm(zi+1,);end;btran=J(8,8,0);value=J(8,8,0);doi=1to8;doj=1to8;btrani,j=probbnrm(zi,1,zj,2,0.2)-probbnrm(zi+1,1,zj,2,0.2)-probbnrm(zi,1,zj+1,2,0.2)+probbnrm(zi+1,1,zj+1,2,0.2);valuei,j=vi+vj;end;end;mean=sum(btran#value);var=sum(btran#value#value)-mean#2;std=sqrt(var);printprob,z,btran,value,mean,std;run;,MEANSTD209.901166.1698569,要計(jì)算第二種信用風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度指標(biāo)，即計(jì)算均值與組合價(jià)值1%分位數(shù)的差，首先要確定資產(chǎn)價(jià)值的1%分位數(shù)，即找出組合中的一個(gè)值，這個(gè)值以下的所有概率和小于1%。在組合中的資產(chǎn)不超過(guò)2個(gè)的條件下，可以簡(jiǎn)單地利用轉(zhuǎn)移概率表中的值計(jì)算出1%水平下的信用風(fēng)險(xiǎn)值。但是對(duì)于更大的組合，用解析的方法來(lái)計(jì)算百分位數(shù)是行不通的必須采用模擬的方法。,蒙特卡羅模擬,前面使用的是解析方法估計(jì)信用風(fēng)險(xiǎn)值。這種方法有兩個(gè)有優(yōu)點(diǎn)：一是速度快，二是精確程度高。但也存在著兩個(gè)缺點(diǎn)：一是對(duì)于數(shù)量很大的組合，速度就會(huì)變得很慢；二很多有用的統(tǒng)計(jì)量也沒(méi)有解析的估計(jì)形式。為了更好地描述組合的分布，下面使用蒙特卡羅模擬方法。考慮一個(gè)包括三個(gè)債券的組合：BBB級(jí)債券；A級(jí)債券；CCC級(jí)債券，相對(duì)應(yīng)的公司分別是firm1，firm2，firm3。簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)這三只債券的面值均為100美元，5年到期，息票率為6%。,生成情景,基于資產(chǎn)收益率模型，生成情景的步驟如下：建立組合中每個(gè)債券的資產(chǎn)收益率門(mén)檻值；由正態(tài)分布模擬資產(chǎn)收益率情景；由資產(chǎn)收益率情景影射出信用評(píng)級(jí)情景。,確定資產(chǎn)收益率門(mén)檻值,表18.10三個(gè)債券（BBB,A和CCC）的信用評(píng)級(jí)轉(zhuǎn)移概率,根據(jù)資產(chǎn)收益率模型，利用表18.10中的轉(zhuǎn)移概率可以確定出3個(gè)公司的資產(chǎn)收益率門(mén)檻值，如表18.11所示。,表18.11三公司資產(chǎn)收益率門(mén)檻值,模擬資產(chǎn)收益率情景,表18.12三公司資產(chǎn)收益率的相關(guān)系數(shù),表18.13模擬資產(chǎn)收益率的10個(gè)情景,每個(gè)情景中的3個(gè)數(shù)代表了3個(gè)公司的標(biāo)準(zhǔn)化后的資產(chǎn)收益率.,Prociml;corr=1.00.30.1,0.31.00.2,0.10.21.0;/*相關(guān)系數(shù)矩陣*/rv0=rannor(repeat(0,100,3);/*種子為0，產(chǎn)生10個(gè)隨機(jī)數(shù)，3個(gè)變量*/rv0=t(rv0);rv=root(corr)*rv0;rv=t(rv);Printrv;createscenariofromrv;appendfromrv;closescenario;run;quit;,由資產(chǎn)收益率情景映射到信用評(píng)級(jí)情景,表18.14由資產(chǎn)收益率情景到評(píng)級(jí)情景的映射,資產(chǎn)收益率情景到評(píng)級(jí)情景的映射的SAS程序：prociml;usescenario;readallintorv;usez;readallintoz;ratingmap=J(100,3,0);dom=1toncol(rv);doi=1tonrow(rv);doj=8to1by-1;ifrvi,mz1,mthenratingmapi,m=1;ifrvi,mzj,mthendo;ratingmapi,m=j;j=0;end;end;end;end;printz,rv,ratingmap;createratingmapfromratingmap;appendfromratingmap;closeratingmap;run;quit;,由資產(chǎn)收益率情景到評(píng)級(jí)情景的映射(RATINGMAP)43643843743743733753743743736,組合定價(jià),對(duì)于前面給出的債券組合，利用蒙特卡羅模擬方法計(jì)算一年后這個(gè)組合的信用風(fēng)險(xiǎn)值。組合情況：三個(gè)債券構(gòu)成的組合，BBB級(jí)債券；A級(jí)債券；CCC級(jí)債券，相對(duì)應(yīng)的公司分別是firm1，firm2，firm3。假設(shè)這三只債券的面值均為為100美元，5年到期，息票率為6%。,對(duì)于非違約情景，可以采用解析法中的算法。對(duì)于每一個(gè)情景，新的評(píng)級(jí)影射到一個(gè)新的價(jià)值。一種情景下的組合價(jià)值計(jì)算：例如若1年末組合中BBB級(jí)債券升級(jí)到A，A級(jí)債券降級(jí)到BBB，CCC級(jí)債券的級(jí)別未發(fā)生變化，則1年末的債券價(jià)值分別是：,組合價(jià)值為：,對(duì)于違約的情景，情況有點(diǎn)不同。因?yàn)榛謴?fù)率是一個(gè)不確定的量，有較大的波動(dòng)性。可以根據(jù)情景中資產(chǎn)頭寸的優(yōu)先級(jí)獲得他們恢復(fù)率的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)每一個(gè)違約情景，用這些參數(shù)和beta分布產(chǎn)生隨