計算力學復習題答案

計算力學試題答案1. 有限單元法和經典Ritz 法的主要區(qū)別是什么？答：經典Ritz法是在整個區(qū)域內假設未知函數(shù)，適用于邊界幾何形狀簡單的情形；有限單元法是將整個區(qū)域離散，分散成若干個單元，在單元上假設未知函數(shù)。有限單元法是單元一級的Ritz法。2、單元剛度矩陣和整體剛度矩陣各有什么特征？剛度矩陣K奇異有何物理意義？在求解問題時如何消除奇異性？答：單元剛度矩陣的特征：對稱性奇異性主元恒正平面圖形相似、彈性矩陣D、厚度t相同的單元，相同的分塊子矩陣按結點號排列，每一子矩陣代表一個結點，占兩行兩列，其位置與結點位置對應。整體剛度矩陣的特征：對稱性奇異性主元恒正稀疏性非零元素呈帶狀分布。的物理意義是任意給定結構的結點位移所得到的結構結點力總體上滿足力和力矩的平衡。為消除的奇異性，需要引入邊界條件，至少需給出能限制剛體位移的約束條件。3. 列式說明乘大數(shù)法引入給定位移邊界條件的原理？答：設：，則將 即：修改后的第個方程為由于得 所以 對于多個給定位移時，則按序將每個給定位移都作上述修正，得到全部進行修正后的K和P，然后解方程即可得到包括給定位移在內的全部結點位移值。4. 何為等參數(shù)單元？為什么要引入等參數(shù)單元？答：等參變換是對單元的幾何形狀和單元內的場函數(shù)采用相同數(shù)目的結點參數(shù)及相同的插值函數(shù)進行變換，采用等參變換的單元稱之為等參數(shù)單元。借助于等參數(shù)單元可以對于一般的任意幾何形狀的工程問題和物理問題方便地進行有限元離散，其優(yōu)點有：對單元形狀的適應性強；單元特性矩陣的積分求解方便（積分限標準化）；便于編制通用化程序。5、對于平面4節(jié)點（線性）和8節(jié)點（二次）矩形單元，為了得到精確的剛度矩陣，需要多少個Gauss 積分點？說明理由。答：對于平面4節(jié)點（線性）矩形單元：所以因而積分點數(shù)為：矩陣對于平面8節(jié)點（二次）矩形單元：所以因而積分點數(shù)為：矩陣矩形、正方形、平行四邊形1、 有限單元法的解題步驟如何？它與經典Ritz 法有何區(qū)別？ 答：劃分單元，輸入結點和單元信息； 單元分析：整體分析： 引入位移邊界條件得到：求解方程得到解對位移結果進行有關整理、計算單元或結點的應力、應變2、總剛度矩陣K的任一元素kij 的物理意義是什么？如何解釋總剛度矩陣的奇異性和帶狀稀疏性？ 答：K 中元素的物理意義：當結構的第個結點位移方向上發(fā)生單位位移，而其它結點位移方向上位移為零時，需在第個結點位移方向上施加的結點力大小。奇異性：=0,力學意義是對任意給定的結點位移所得到的結構結點力總體上是滿足力和力矩的平衡。反之，給定任意滿足力和力矩平衡的結點載荷P，由于K的奇異性卻不能解得結構的位移,因而結構仍可能發(fā)生任意的剛體位移。為消除的奇異性，結構至少需給出能限制剛體位移的約束條件。帶狀稀疏性：由于連續(xù)體離散為有限個單元體時，每個結點的相關單元只是圍繞在該結點周圍為數(shù)甚少的幾個，一個結點通過相關單元與之發(fā)生關系的相關結點也只是它周圍的少數(shù)幾個，因此雖然總體單元數(shù)和結點數(shù)很多，結構剛度矩陣的階數(shù)很高，但剛度系數(shù)中非零系數(shù)卻很少，即為總剛度矩陣的稀疏性。另外，只要結點編號是合理的，這些稀疏的非零元素將集中在以主對角線為中心的一條帶狀區(qū)域內，即為總剛度矩陣的帶狀分布特性。3、以3節(jié)點三角形單元為例證明插值函數(shù)特性，n 為節(jié)點數(shù)。 答： 圖形見課本P105圖3.6由面積坐標： 插值函數(shù)：所以4、 什么是等參單元？等參單元的收斂性如何？ 答：等參變換是對單元的幾何形狀和單元內的場函數(shù)采用相同數(shù)目的結點參數(shù)及相同的插值函數(shù)進行變換，采用等參變換的單元稱之為等參元。等參單元滿足收斂性需滿足兩個條件：即單元必須是協(xié)調的和完備的。完備性條件：要求插值函數(shù)中包含完全的線性項（包含常數(shù)項和一次項）。協(xié)調性條件：單元邊界上位移連續(xù)，相鄰單元邊界具有相同的結點，每一單元沿邊界的坐標和未知函數(shù)采用相同的插值函數(shù)。5、對于空間8節(jié)點（線性）和20節(jié)點（二次）六面體單元，為了得到精確的剛度矩陣，需要多少個Gauss 積分點？說明理由。 答：對于空間8節(jié)點（線性）六面體單元：所以因而積分點數(shù)為：矩陣對于空間20節(jié)點（二次）六面體單元：所以因而積分點數(shù)為：矩陣1、 為什么說3 節(jié)點三角形單元是常應變單元？答：常應變單元指的是在一個單元內的應變?yōu)槌?shù)，有限元中的常應變單元指的是線性三角形單元，線性三角形單元的位移場為線性的，應變?yōu)槲灰频囊浑A導數(shù)，故為常數(shù)，因此稱為常應變單元。2.以平面4 節(jié)點雙線性單元為例，說明形函數(shù)的兩個重要特性。答：圖形見課件2.5矩形單元插值函數(shù)（形函數(shù)）的性質進而驗證插值函數(shù)的性質：3、 何為等參變換？等參元有那些優(yōu)點？ 答：等參變換是對單元的幾何形狀和單元內的場函數(shù)采用相同數(shù)目的結點參數(shù)及相同的插值函數(shù)進行變換，采用等參變換的單元稱之為等參元。借助于等參元可以對于一般的任意幾何形狀的工程問題和物理問題方便地進行有限元離散，其優(yōu)點有：對單元形狀的適應性強；單元特性矩陣的積分求解方便（積分限標準化）；便于編制通用化程序。2、 如圖所示平面問題有限元網格，每個單元4 個節(jié)點，每個節(jié)點2 個自由度，1. 給出適當?shù)墓?jié)點編號，使總的系數(shù)矩陣的半帶寬最小，并計算半帶寬的值；2. 在您的節(jié)點編號下，圖中節(jié)點A 的主對角線上的元素在總系數(shù)矩陣中的行號和列號如何？3. 哪幾個單元對節(jié)點A 的主對角線上的系數(shù)有非零貢獻？1、答：沿短邊回頭編號，存儲量最小。帶寬的計算：2、答：由得節(jié)點A的主對角線上的元素、在總系數(shù)矩陣中的行號為11和12,列號為11,12。3、答：2、3、4單元對A的主對角線上的系數(shù)有非零貢獻。注意：桿件單元在每個節(jié)點上有1個自由度，帶寬不用乘以2。三、圖示6 節(jié)點三角形單元的142 邊作用有均布側壓力q，單元厚度為t，求單元的等效節(jié)點載荷。見課件2.5.35采用面積坐標時，單元矩陣的計算中：（2）均布側壓力q和（4）x方向三角形分布力中的形函數(shù)。四、見課件3.3.3五、答：觀察插值函數(shù)，包含一次完全多項式，滿足完備性要求，但其含有三次項與，此點與八點矩形單元四個邊上均僅有三個點，最多滿足二次項矛盾，不滿足協(xié)調性，因而不滿足收斂性。觀察差值函數(shù)，包含一次完全多項式，多項式最高次為2，明顯既滿足完備性和協(xié)調性，故收斂。第三頁PDF：六、考慮等截面軸力桿單元，題圖中分別示出2 節(jié)點和3 節(jié)點單元體，1. 寫出它們的位移插值函數(shù)；2. 推導這兩種單元體的剛度矩陣；3. 對3 節(jié)點單元體用靜力凝聚法消去中間節(jié)點自由度，建立單元體剛度矩陣表達式。解：圖a， 令，則有。故有，。圖b，令，則有。故有， 圖a：有應變矩陣。圖b：有應變矩陣。，有代入與，消去，得：。二、用最小勢能原理推導平面彈性問題的有限元方程。解：利用最小勢能（位能）原理推導平面彈性問題有限元方程，見課本P61。第二章課件也有。三、如圖所示的平面內部三角形單元網格每節(jié)點 2 個自由度，1. 用圖中所給節(jié)點編號計算總剛矩陣的半帶寬；2. 對節(jié)點重新編號，使結構總剛矩陣的半帶寬最小，并說明此時中心節(jié)點主對角線上的元素在總剛矩陣中的行號和列號？3. 是否所有單元對中心節(jié)點主對角線上的元素都有非零貢獻？4. 兩種編號下，結構總剛矩陣中的非零元素是否相等？為什么？解：半帶寬（相鄰結點號碼的最大差值+1）自由度。中心節(jié)點元素編號為5，其余元素編號順時針依次編寫為1-4，6-9。此時中心節(jié)點對應主對角線上的元素、在總剛度矩陣中的行號、列號分別為第9行和第9列，第10行和第10列是。由于8個三角型單元均有一個節(jié)點是中心節(jié)點主對角線上元素，有均不為零，故所有單元對主對角線上元素都有非零貢獻。兩種編號方式，非零元素相等。編號的合理化只是將非零元素的位置集中在以主對角線為中心的一條帶狀區(qū)域內，但并不改變非零元素的個數(shù)。四、3 節(jié)點三角形單元的jm 邊作用有分布側壓力，如圖示，單元厚度為t，求單元的等效節(jié)點載荷。解：如圖梯形分布力可以分解成為一個三角形分布力和一個均勻分布力，然后疊加。參加課本P68頁或者課件，易知：均勻分布部分，三角型分布部分：兩者相加，第四頁PDF五、塊體棱柱單元的上下三角形表面 = 1，利用面積坐標L (i1,2,3) i 和等參坐標寫出該線性單元的形函數(shù)。解：；。六、對圖示的矩形單元采用如下的插值函數(shù)1. 請分析該單元的協(xié)調性。2. 若將插值多項式寫成解：如圖所示的矩形單元若滿足協(xié)調性，因為在y方向有三個節(jié)點，x方向有兩個節(jié)點，故y方向上，差值函數(shù)視x為常數(shù)y的次數(shù)至少為3次，x方向上，插值函數(shù)視y為常數(shù)，x的次數(shù)至少為2次。對比給出的方程知，該單元若采用該插值函數(shù)滿足協(xié)調性。插值函數(shù)改變后，增加了一個，而由圖中矩形單元知道x方向多項式最高次為2次，顯然不滿足協(xié)調性。七、證明 4 節(jié)點平行四邊形二維單元的雅可比矩陣是常數(shù)矩陣.對于二維平行四邊形有，有（7.1） 等參變換下取，而在自然坐標下不妨設該平行四邊形的四邊的方程分別為： 從而知道：；。其中，解得四個節(jié)點的坐標，一并代入方程7.1得：的四個元素均為常數(shù)，故有4 節(jié)點平行四邊形二維單元的雅可比矩陣是常數(shù)矩陣。第五頁pdf該單元在結構中的位置使得總體節(jié)點編號分別為 19、20、30、31，回答：1. 在未引入邊界條件以前，j 單元剛度矩陣Ke 的系數(shù)將貢獻給總體剛度矩陣K中的哪些行、列？2. 具體寫出剛度矩陣Ke 中的哪些元素對總體剛度矩陣K中的下列行和列有貢獻，（1）59 行61 列；（2）38 行39 列；（3）59 行59 列；（4）37 行37 列。（題解：由節(jié)點位移矢量知該結構節(jié)點自由度為2，設某一個節(jié)點的編號為，則該個節(jié)點將分別對總體剛度矩陣的第、行與列，產生貢獻。所以，總體編號為19、20、30、31的總體節(jié)點將相應對總體剛度矩陣的37、38行和列，39、40行和