全等三角形輔助線的作法

全等三角形輔助線的作法知識精講一中點類輔助線作法見到中線(中點)，我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無非是倍長中線或者是與中點有關(guān)的一條線段，尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時，倍長中線的應(yīng)用更是較為常見，常見添加方法如下圖（ 是底邊的中線)二角平分線類輔助線作法 有下列三種作輔助線的方式：1由角平分線上的一點向角的兩邊作垂線；2過角平分線上的一點作角平分線的垂線，從而形成等腰三角形；3，這種對稱的圖形應(yīng)用得也較為普遍 三截長補(bǔ)短類輔助線作法截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段等于已知的兩條較短線段中的一條，然后證明其中的另一段與已知的另一條線段相等；所謂“補(bǔ)短”，就是將一個已知的較短的線段延長至與另一個已知的較短的長度相等，然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關(guān)系有的是采取截長補(bǔ)短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解三點剖析一考點：全等三角形輔助線的作法二重難點：中點類、角平分線類、截長補(bǔ)短類輔助線作法三易錯點：1輔助線只是一個指導(dǎo)方法，出現(xiàn)相關(guān)條件或結(jié)論時不一定要作輔助線或者是按照模型作輔助線，關(guān)鍵是如何分析題目；2輔助線不是隨便都可以作的，比如“作一條線段等于另外一條線段且與某條線段夾角是多少度”這種輔助線就不一定能作出來題模精講題模一：中點類例1.1.1 已知：ABC中，AD是BC邊上的中線，試求AD的取值范圍【答案】 【解析】 該題考查了三角形三邊關(guān)系和三角形的全等ABCDE延長AD至E，使得，連結(jié)CE在ABD和ECD中1.ABDECD（SAS）AE的取值范圍為例1.1.2 如圖所示，在中，延長到，使，為的中點，連接、，求證：【答案】 見解析【解析】 解法一：如圖所示，延長到，使，連接BF容易證明，從而，而，故注意到，故，而公用，故，因此解法二：如圖所示，取的中點，連接因為是的中點，是的中點，故是的中位線，從而，由可得，故，從而，題模二：角平分線類例1.2.1 如圖，平分，平分，點在上探討線段、和之間的等量關(guān)系探討線段與之間的位置關(guān)系【答案】 見解析【解析】 ；證明如下：在線段上取點，使，連結(jié)在和中，而在和中，例1.2.2 如圖，已知，BD為ABC的平分線，CEBE，求證：【答案】 見解析【解析】 延長CE，交BA的延長線于點FBD為ABC的平分線，CEBE，BEFBEC，CEBE，又，ABDACF，例1.2.3 已知，AC平分MAN，點B、D分別在AN、AM上（1）如圖1，若，請你探索線段AD、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之；（2）如圖2，若，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由【答案】 見解析【解析】 （1）關(guān)系是：證明：AC平分MAN，又，則（直角三角形一銳角為30，則它所對直角邊為斜邊一半）；（2）仍成立證明：過點C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、FAC平分MAN（角平分線上點到角兩邊距離相等），又，CEDCFB（AAS），由（1）知，題模三：截長補(bǔ)短類例1.3.1 如圖所示，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點作一個的，點、分別在、上，求的周長【答案】 見解析【解析】 如圖所示，延長到使在與中，因為，所以，故因為，所以又因為，所以在與中，所以，則，所以的周長為例1.3.2 閱讀下列材料：如圖1，在四邊形ABCD中，已知ACB=BAD=105，ABC=ADC=45.求證：CD=AB.小剛是這樣思考的：由已知可得，CAB=30，DAC=75，DCA=60，ACB+DAC=180，由求證及特殊角度數(shù)可聯(lián)想到構(gòu)造特殊三角形.即過點A作AEAB交BC的延長線于點E，則AB=AE，E=D.在ADC與CEA中，ADCCEA，得CD=AE=AB.請你參考小剛同學(xué)思考問題的方法，解決下面問題：如圖2，在四邊形ABCD中，若ACB+CAD=180，B=D，請問：CD與AB是否相等？若相等，請你給出證明；若不相等，請說明理由.【答案】 見解析【解析】 該題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)CD與AB相等證明如下：作交BC的延長線于點E，在DAC和ECA中DACECA .隨堂練習(xí)隨練1.1 如圖所示，已知中，平分，、分別在、上，求證：【答案】 見解析【解析】 延長到，使，連結(jié)，利用證明，又，平分，隨練1.2 已知中，、分別平分和，、交于點，試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明【答案】 見解析【解析】 ，理由是：在上截取，連結(jié)，利用證得，利用證得，隨練1.3 如圖，在ABC中，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別是BAC、ABC的角平分線求證：（1）；（2）【答案】 見解析【解析】 該題考察的是全等三角形（1）BQ是的角平分線，且，；（2）延長AB至M，使得，連結(jié)MP，ABC中，BQ平分，AP平分，在AMP和ACP中，AMPACP，隨練1.4 五邊形ABCDE中，求證：AD平分CDE【答案】 見解析【解析】 延長DE至F，使得，連接AC.，ABCAEF，ADCADF，即AD平分CDE隨練1.5 如圖，ABC中，AD是BC邊上的高，如果，我們就稱ABC為“高和三角形”請你依據(jù)這一定義回答問題：（1）若，則ABC_ “高和三角形”（填“是”或“不是”）；（2）一般地，如果ABC是“高和三角形”，則與之間的關(guān)系是_，并證明你的結(jié)論【答案】 （1）是（2）；見解析【解析】 該題考察的是全等三角形（1）如圖，RtABC中，在BC上截取，則ABE為等邊三角形，且ABE為等邊三角形是高和三角形E（2）如上圖，在ABC中，在DC上截取AD是BC邊上的高且ABDAED（SAS）隨練1.6 如圖所示，是的中點，求證【答案】 見解析【解析】 如圖所示，設(shè)交于，要證明，實際上就是證明，而條件不好運用，我們可以倍長中線到，連接交于點，交于點容易證明則，從而，而，故從而，故而故，亦即隨練1.7 已知：如圖，在ABC中，BEAE求證：【答案】 見解析【解析】 延長BE交AC于M，BEAE，在ABE中，同理，BEAE，4是BCM的外角，自我總結(jié) 課后作業(yè)作業(yè)1 已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且求證：【答案】 見解析【解析】 延長DE到F，使，連接BF，E是BC的中點，在BEF和CED中BEFCED，又，作業(yè)2 如圖，在中，D為BC邊上的中點，AE平分交BC于E，交AC于F，求CF的長【答案】 【解析】 解：延長DF交BA延長線與點G，延長FD到H使得，連接BH平分，又，易得，則，設(shè)，則，解得，作業(yè)3 如圖，在ABC中，AD平分BAC，求證：【答案】 見解析【解析】 在AB上截取點E，使得AD平分BAC，ADEADC（SAS），作業(yè)4 已知：，OM是AOB的平分線，將三角板的直角頂點P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA、OB交于C、D（1）PC和PD的數(shù)量關(guān)系是_（2）請你證明（1）得出的結(jié)論【答案】 見解析【解析】 （1）（2）過P分別作PEOB于E，PFOA于F，OM是AOB的平分線，且，在CFP和DEP中，CFPDEP，作業(yè)5 已知：如圖，ABC中，BD平分ABC，BC上有動點P（1）DPBC時（如圖1），求證：；（2）DP平分BDC時（如圖2），BD、CD、CP三者有何數(shù)量關(guān)系？【答案】 （1）見解析（2）【解析】 （1）證明：在BP上截取，連接DM，DPBC，BD平分ABC，（2）解：，理由是：在BD上截取，連接PM，DP平分BDC，在MDP和CDP中MDPCDP（SAS），作業(yè)6 已知等腰，的平分線交于，則【答案】 見解析【解析】 如圖，在上截取，連接，過作，交于，于是，又，故顯然是等腰梯形，又，作業(yè)7 如圖，在ABC中，D是三角形外一點，且，求證：【答案】 見解析【解析】 延長BD至E，使，連接AE，AD，ABE是等邊三角形，在ACD和ADE中，ACDADE（SSS），作業(yè)8 如圖1，在ABC中，BAC的平分線AO交BC于點D，點H為AO上一動點，過點H作直線lAO于H，分別交直線AB、AC、BC于點N、E、M（1）當(dāng)直線l經(jīng)過點C時（如圖2），證明：；（2）當(dāng)M是BC中點時，寫出CE和CD之間的等量關(guān)系，并加以證明；（3）請直接寫出BN、CE、CD之間的等量關(guān)系【答案】 （1）見解析（2）（3）當(dāng)點M在線段BC上時，；當(dāng)點M在BC的延長線上時，；當(dāng)點M在CB的延長線上時，【解析】 該題考查的是等腰三角形的三線合一，全等三角形的判定和性質(zhì)（1）證明：連接N