屋檐水槽的問題

2012年四川理工學(xué)院第九屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了四川理工學(xué)院大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式(包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等)與隊(duì)外的任何人(包括指導(dǎo)教師)研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料(包括網(wǎng)上查到的資料)，必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是(從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫)： D 我們的參賽報(bào)名號(hào)為(如果設(shè)置報(bào)名號(hào)的話)： 40 所屬學(xué)校(請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?： 四川理工學(xué)院 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 余林 工程管理三班 2. 趙鴻平 網(wǎng)絡(luò)一班 3. 王夢(mèng) 工分一班 日期： 2012 年 05 月 20 日評(píng)閱編號(hào)(由評(píng)委團(tuán)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào))：2012年四川理工學(xué)院第九屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號(hào) 專 用 頁評(píng)閱編號(hào)(由評(píng)委團(tuán)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào))：評(píng)閱記錄表評(píng)閱人評(píng)分備注屋檐水槽的問題摘要對(duì)于房管在解決傾斜屋頂采用何種結(jié)構(gòu)進(jìn)行有組織排水, 是民用建筑一個(gè)普通而實(shí)際的問題。在民用建筑中一般是在房頂?shù)倪吘壈惭b一個(gè)檐槽和一個(gè)豎立的排水管來排水, 這種排水方式的可行性探討實(shí)際上是解決水槽的容量在單位時(shí)間內(nèi)能否足以排出雨水的問題。為了論證該管道公司生產(chǎn)的管道的實(shí)用性,我們通過討論房屋傾角，水流速度及時(shí)間的關(guān)系構(gòu)建了這種排水方式的隨時(shí)間推移水面上漲的微分方程模型,借助和運(yùn)用matlab軟件繪圖及計(jì)算對(duì)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行了可行性論證(其中運(yùn)用matlab繪圖對(duì)模型進(jìn)行可視化分析),從而得出該公司生產(chǎn)的水槽符合條件，能夠達(dá)到良好排水的作用。并提出了屋檐水槽模型的優(yōu)化方案，使模型有進(jìn)一步的改進(jìn)。關(guān)鍵詞 ：速度平衡原理、微分方程、數(shù)值解、 matlab繪圖。 一、問題的重述及簡化 房屋管理部門想在房頂?shù)倪呴馨惭b一個(gè)檐槽，其目的是為了雨天出入方便。從屋脊到屋檐的房頂可看成是一個(gè)12米長，6米寬的矩形平面，房頂與水平方向的傾斜角度一般在 c d b a b現(xiàn)有一公司想承接這項(xiàng)業(yè)務(wù)，允諾：提供一種新型的檐槽，包括一個(gè)橫截面為半圓形（半徑為7.5cm）的水槽和一個(gè)豎直的排水管（直徑為10cm），不論天氣情況如何，這種檐槽都能排掉房頂?shù)挠晁?。房管部門猶豫，考慮公司的承諾能否實(shí)現(xiàn)。請(qǐng)你建立數(shù)學(xué)模型，論證這個(gè)方案的可行性。 現(xiàn)對(duì)模型進(jìn)行簡化：水槽的容量能否足以排出雨水的問題，簡化為水箱的流入流出問題。從房頂上流下的雨水量是流入量；順垂直于房頂?shù)呐潘芘懦龅氖橇鞒隽俊Ｋ勰芊裨跊]有溢出的情況下將全部雨水排出，即就是要研究水槽中水的深度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。二、假設(shè)（1）雨水垂直下落并且直接落在房頂上；（2）落在房頂上的雨水全部迅速流入水槽中；（3）落在房頂上的雨沒有濺到外面去；（4）在排水系統(tǒng)中不存在一些預(yù)料不到的障礙，象落在房頂上的雜物、樹葉等；（5）假設(shè)在水槽中已有雨水深0.01m； 假設(shè)(1)是合理的，雨水垂直打在房頂上符合下特大暴雨時(shí)的特點(diǎn)，且利于簡化模型。 假設(shè)（2）（3）（4）也是合理的，利于模型建立且減小計(jì)算過程中的誤差。 假設(shè)（5）也是合理的，由于水槽橫截面為半圓形，槽中有一點(diǎn)積水是正常的。 有關(guān)因素因素類型符號(hào)單位降水速度輸入變量時(shí)間變量ts房頂?shù)膬A斜角輸入變量 (20-50)度房頂?shù)拈L度輸入?yún)?shù)am房頂?shù)膶挾容斎雲(yún)?shù)bm水槽的半徑輸入?yún)?shù)rm水槽中水的高度輸出變量hm水槽中水的容量變量V流入水槽的流速變量流入水管的流速變量排水管的直徑參數(shù)dm重力加速度參數(shù)g四、模型的建立h水a(chǎn)bcd圖（一）.屋面水流示意圖圖（二）.水槽橫截面示意圖水流現(xiàn)建立模型示意圖：考察水槽能否及時(shí)排掉從屋頂流下的雨水，就是研究水槽中的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)速度平衡原理，對(duì)于房頂排水系統(tǒng)有：水槽中的水的容量的變化率=雨水流入水槽的流速-流出水槽的流速，即 其中,分別為單位時(shí)間排水系統(tǒng)的流入水槽和流出水槽的雨水流量。表示單位時(shí)間里落在水平面上雨水的深度，房頂?shù)拿娣e是ab，由于房頂是傾斜的，如圖（一）所示，屋頂實(shí)際受雨的面積:根據(jù)假設(shè)（1），屋頂上雨水的流速為：，由于雨水是沿傾斜的房頂流下的，所以流入水槽的流速應(yīng)該是在豎直方向的分量，直接落入水槽的雨形成的雨的流量是,即 。 水槽中水的深度h=maxmax=h(i);else breakendendj=a(i)圖1j=0.7860a=j*180/pia =45.0363(二)：由獲得的數(shù)據(jù)可知h取最值時(shí)a0.786.由獲得的數(shù)據(jù)可以判定角度a=0.786rad=45.0363度時(shí)對(duì)h的平衡時(shí)高度影響最大所以我們將角度設(shè)定為pi/4。代值化簡公式為設(shè)定h(t)=0時(shí)將數(shù)據(jù)代入處理如下： k=36.92*16/(pi2*0.14*19.6); k=1.1262e+06syms v;Hmax=k*v2;（獲得穩(wěn)定狀態(tài)下水深與速度的關(guān)系函數(shù)） 假設(shè)穩(wěn)定狀態(tài)在0.075米時(shí) 以下由穩(wěn)定狀態(tài)水深與速度函數(shù)獲得最大降雨量； Hmax=0.075; v=sqrt(Hmax/k) v= 2.5806e-04(三)：為了做進(jìn)一步的論證，小組討論取幾個(gè)降雨速度的特殊值點(diǎn)來證明模型的準(zhǔn)確性并求解其最大高度，運(yùn)用積分將h(t)的積分后的函數(shù)的一部分繪制出來，以便作出直觀判斷.v1=0.00018;v2=0.00029;v3=0.00035; 建立函數(shù)文件表示幾個(gè)特殊點(diǎn)的原函數(shù)并繪制部分曲線 hwei=(t,h) (3.075*v1-0.0029*sqrt(h)/sqrt(0.15*h-h2);t,h=ode45(hwei,0,60,0.01);h1ma=max(h);hwei2=(t,h2) (3.075*v2-0.0029*sqrt(h2)/sqrt(0.15*h2-h22);t,h2=ode45(hwei2,0,60,0.01);h2ma=max(h2);hwei3=(t,h3) (3.075*v3-0.0029*sqrt(h3)/sqrt(0.15*h3-h32);t,h3=ode45(hwei3,0,60,0.01);h3ma=max(h3); plot(t,h)xlabel(t)ylabel(h)title(v1時(shí)時(shí)間與高度的變化曲線) h1mah2mah3ma圖2 figure(2)plot(t,h2)xlabel(t)ylabel(h2)title(v2時(shí)時(shí)間與高度的變化曲線) 圖3 figure(3)plot(t,h3)xlabel(t)ylabel(h3)title(v3時(shí)時(shí)間與高度的變化曲線) 圖4h1ma =0.0275h2ma =0.0709h3ma = 0.1025由采樣點(diǎn)圖形的走勢與數(shù)值結(jié)果滿足模型的理想結(jié)果即在此種情況下公司能夠兌現(xiàn)其承諾；由于降雨的不穩(wěn)定性我們?cè)O(shè)定降雨為正弦的周期函數(shù)；并且中國氣象局規(guī)定五年一遇的特大暴雨暴雨為69mm/h;由于模型的承接雨水具有瞬時(shí)性所以假設(shè)一小時(shí)內(nèi)只有十分之一的時(shí)間都在下雨；且設(shè)定k為瞬時(shí)最大降雨量；k=69*10/(3600*103)k = 1.9167e-04小組以短時(shí)最大降雨量為參考量嚴(yán)格判定模型是否滿足要求； hmw= (t,h) (3.075*k*sin(pi*t/60)-0.0029*sqrt(h)/sqrt(0.15*h-h2); t,h=ode45(hmw,0,60,0.01); plot(t,h) 5圖圖5j=max(h) j =0.0371 由j的數(shù)值最大解可得到在嚴(yán)苛的論證之下j0.075公司能夠兌現(xiàn)其承諾,而其中由圖4 中h隨t的變化示意圖可以看出,h不會(huì)超過0.075m,則不會(huì)溢出,論證成立 .。 六、模型評(píng)價(jià) 模型優(yōu)點(diǎn)：（1） 在對(duì)模型的求解時(shí)通過對(duì)微分函數(shù)模型的一小段進(jìn)行求積分處理，利用數(shù)值解反映到模型的整個(gè)過程中，直觀體現(xiàn)整個(gè)過程水深h與時(shí)間的變化關(guān)系，若擴(kuò)寬對(duì)模型積分的范圍，則易得到其余部分的模型的解。（2） 該模型考慮到房屋傾角對(duì)水流速度及對(duì)水槽積水的影響，建立了水槽積水平衡時(shí)水深h與房屋傾角1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212模型缺點(diǎn)：（1） 該模型未能考慮到房面因強(qiáng)降雨而使雨水產(chǎn)生較大的速度沖擊水槽，從而使雨水溢出的情況，不利于有效的排水。七、模型改進(jìn)及優(yōu)化在我國某些多雨地區(qū),考慮到可能會(huì)出現(xiàn)下特大暴雨的情況，則上面建立的模型可能會(huì)不利于給房屋排水，因此在在下暴雨的情況下對(duì)該模型有如下改進(jìn):(1)增大排水管的橫截面積A , 即增大排水管的半徑。當(dāng)排水管半徑增大為0. 056 m, r 0. 000 36 m/ s, 水槽的水不會(huì)出現(xiàn)溢出的情況.h( t) 的最大值不會(huì)超過0. 07 m。(2) 改