2019屆高考數(shù)學復習專題三第1講空間幾何體的表面積和體積(文)學案

第1講空間幾何體的表面積和體積考向預測1三視圖的識別和簡單應用；2簡單幾何體的表面積與體積計算1空間幾何體的三視圖(1)幾何體的擺放位置不同，其三視圖也不同，需要注意長對正、高平齊、寬相等(2)由三視圖還原幾何體：一般先從俯視圖確定底面，再利用正視圖與側視圖確定幾何體2空間幾何體的兩組常用公式(1)正柱體、正錐體、正臺體的側面積公式：S柱側ch(c為底面周長，h為高)；S錐側ch(c為底面周長，h為斜高/母線)；S臺側(cc)h(c，c分別為上下底面的周長，h為斜高/母線)；S球表4R2(R為球的半徑)(2)柱體、錐體和球的體積公式：V柱體Sh(S為底面面積，h為高)；V錐體Sh(S為底面面積，h為高)；V球R3熱點一空間幾何體的三視圖與直觀圖【例1】(1) (2018張家口期中)如圖所示，在正方體中，為的中點，則圖中陰影部分在平面上的正投影是（）ABCD(2)(2017泰安模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示，其側視圖為直角三角形，則該三棱錐最長的棱長等于()A4BCD5解析(1)由題意，點在平面上的投影是的中點，、在平面上的投影是它本身，所以在平面上的正投影是C中陰影部分，故選C. (2)根據(jù)幾何體的三視圖，知該幾何體是底面為直角三角形，兩側面垂直于底面，高為5的三棱錐PABC(如圖所示)棱錐最長的棱長PA答案(1)C(2)C探究提高1由直觀圖確定三視圖，一要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認二要熟悉常見幾何體的三視圖2由三視圖還原到直觀圖的思路(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面(2)根據(jù)正視圖或側視圖確定幾何體的側棱與側面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應的棱、面的位置(3)確定幾何體的直觀圖形狀【訓練1】 (1)(2017蘭州模擬)如圖，在底面邊長為1，高為2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，點P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點，則三棱錐PBCD的正視圖與側視圖的面積之和為()A1 B2C3 D4(2)(2016天津卷)將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側視圖為()解析(1)設點P在平面A1ADD1的射影為P，在平面C1CDD1的射影為P，如圖所示三棱錐PBCD的正視圖與側視圖分別為PAD與PCD，因此所求面積SSPADSPCD12122(2)由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體的直觀圖如圖，故其側視圖為圖答案(1)B(2)B熱點二幾何體的表面積與體積【例2】(1)(2018上饒期末)如圖所示為一個幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）ABCD(2)(2017山東卷)由一個長方體和兩個圓柱構成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為_解析(1)根據(jù)三視圖可得該幾何體是有一個圓柱挖去兩個圓柱所得，作出幾何體的直觀圖（如圖），則該幾何體的表面積為故選C(2)該幾何體由一個長、寬、高分別為2，1，1的長方體和兩個半徑為1，高為1的圓柱體構成，所以V21121212答案(1)C(2)2探究提高1由幾何體的三視圖求其表面積：(1)關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及度量大小(2)還原幾何體的直觀圖，套用相應的面積公式2(1)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理(2)旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用3求不規(guī)則幾何體的體積：常用分割或補形的思想，將不規(guī)則幾何體轉化為規(guī)則幾何體以易于求解【訓練2】 (1) (2017棗莊模擬)如圖，某三棱錐的三視圖是三個邊長相等的正方形及對角線，若該三棱錐的體積是，則它的表面積是_(2)(2016山東卷)一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示則該幾何體的體積為()A BC D1解析(1)由題設及幾何體的三視圖知，該幾何體是一個正方體截去4個三棱錐后剩余的內(nèi)接正三棱錐BA1C1D(如圖所示)設正方體的棱長為a，則幾何體的體積是Va34a2aa3，a1，三棱錐的棱長為，因此該三棱錐的表面積為S4()22(2)由三視圖知該四棱錐是底面邊長為1，高為1的正四棱錐，結合三視圖可得半球半徑為，從而該幾何體的體積為121答案(1)2;(2) C熱點三多面體與球的切、接問題【例3】(2019廣東一模)九章算術中將底面為長方形，且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”.現(xiàn)有一陽馬，其正視圖和側視圖是如圖所示的直角三角形若該陽馬的頂點都在同一個球面上，則該球的體積為（）ABCD解析如圖所示，該幾何體為四棱錐，底面為長方形.其中底面，.易知該幾何體與變成為的長方體有相同的外接球，則該陽馬的外接球的直徑為.球體積為：.答案A.探究提高1與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接球與旋轉體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題2若球面上四點P，A，B，C，PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體確定直徑解決外接問題【訓練3】(2017濟南一中月考)已知A，B是球O的球面上兩點，AOB90，C為該球面上的動點若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A36 B64C144 D256解析因為AOB的面積為定值，所以當OC垂直于平面AOB時，三棱錐OABC的體積取得最大值由R2R36，得R6從而球O的表面積S4R2144答案C1(2018全國I卷)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（）ABCD2(2018全國I卷)已知圓柱的上、下底面的中心分別為，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為ABCD3(2018全國III卷)設是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（）ABCD4(2018全國II卷)已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45，若的面積為，則該圓錐的側面積為_1(2018全國III卷)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是（）A B C D2(2017浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A1B3C1D33(2016四川卷)已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是_4(2017江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是_5(2015全國卷)如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1ED1F4過點E，F(xiàn)的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值1(2018鄭州質檢)如圖，某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形，側視圖是平行四邊形，則該幾何體的表面積為()ABCD2(2017衡陽聯(lián)考)如圖所示，某空間幾何體的正視圖與側視圖相同，則此幾何體的表面積為()A6 BC4D23(2017衡水中學調(diào)研)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為()ABC4D4體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為_5(2017沈陽質檢)在三棱柱ABCA1B1C1中，側面AA1C1C底面ABC，AA1A1CACABBC2，且點O為AC中點(1)證明：A1O平面ABC；(2)求三棱錐C1ABC的體積參考答案1【解題思路】首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個頂點出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個正六邊形，且邊長是面的對角線的一半，應用面積公式求得結果.【答案】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面與線所成的角是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面與中間的，且過棱的中點的正六邊形，且邊長為，所以其面積為，故選A.點睛：該題考查的是有關平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問題，首要任務是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關的字眼，從而得到其為過六條棱的中點的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應用相關的公式求得結果.2【解題思路】首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長，從而進一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關公式求得圓柱的表面積.【答案】根據(jù)題意，可得截面是邊長為的正方形，結合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，所以其表面積為，故選B.點睛：該題考查的是有關圓柱的表面積的求解問題，在解題的過程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時候，一定要注意是兩個底面圓與側面積的和.3【解題思路】作圖，為與球的交點，點為三角形的重心，判斷出當平面時，三棱錐體積最大，然后進行計算可得；【答案】如圖所示，點為三角形的重心，為中點，當平面時，三棱錐體積最大，此時，點為三角形的重心，中，有，故選B4【解題思路】先根據(jù)三角形面積公式求出母線長，再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側面積公式求結果.【答案】因為母線，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因為的面積為，設母線長為，所以，因為與圓錐底面所成角為，所以底面半徑為，因此圓錐的側面積為.點睛：本題考查線面角，圓錐的側面積，三角形面積等知識點，考查學生空間想象與運算能力1【解題思路】觀察圖形可得【答案】：觀擦圖形圖可知，俯視圖為，故答案為A.2【解題思路】該幾何體為半個圓錐和一個三棱錐的組合體，分別求其體積即可【答案】由三視圖可知該幾何體為半個圓錐和一個三棱錐的組合體，半圓錐的底面半徑為1，高為3，三棱錐的底面積為211，高為3故該幾何體體積為：V123131故選A3【解題思路】由正視圖的底邊長和腰長為2的等腰三角形確定俯視圖形狀【答案】由題可知，三棱錐每個面都是腰為2的等腰三角形，由正視圖可得如右俯視圖，且三棱錐高為h1，則體積VSh1故填4【解題思路】由圖確定球的半徑與圓柱高和底面半徑之間的關系，進而求其體積之比【答案】設球半徑為R，則圓柱底面圓半徑為R，母線長為2R又V1R22R2R3，V2R3，所以故填5【解題思路】(1)過EF往下作截面；(2)由正方形的邊長關系確定底面的交點在棱上的位置，進而求棱柱的體積【答案】解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示(2)如圖，作EMAB，垂足為M，則AMA1E4，EB112，EMAA18因為四邊形EHGF為正方形，所以EHEFBC10于是MH6，AH10，HB6故，因為長方體被平面分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為1【解題思路】由三視圖知原圖是一個底面為邊長為3的正方形，高為的斜四棱柱，【答案】.2【解題思路】該幾何體由一個圓錐和一個半球組合而成【答案】此幾何體為一個組合體，上為一個圓錐，下為一個半球組合而成表面積為S224故選C3【解題思路】該幾何體是一個四棱錐，球心在底面中心的正上方，確定球心的位置【答案】由三視圖知該幾何體為四棱錐，側面PBC為側視圖，PE平面ABC，E，F(xiàn)分別是對應邊的中點，底面ABCD是邊長是2的正方形，如圖所示設外接球的球心到平面ABCD的距離為h，則h2212(2h)2，h，R2幾何體的外接球的表面積S4R2故選B4【解題思路】正方體的體對角線即為其外接球的直徑【答