2016上海市中考?jí)狠S題解題策略：線段和差最值的存在性問題

中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略 線段和差最值的存在性問題解題策略 2015年 9月 13日星期日 專題攻略 兩條動(dòng)線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，關(guān)鍵是指出一條對(duì)稱軸“河流”（如圖 1） 三條動(dòng)線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺(tái)球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關(guān)鍵是指出兩條對(duì)稱軸“反射鏡面”（如圖 2） 兩條線段差的最大值問題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩條線段差的最大值就是第三邊的長如圖 3， B，此時(shí)點(diǎn) 即 P 解決線段和差的最值問題，有時(shí)候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問題 圖 1 圖 2 圖 3 例題解析 例 如圖 1物線 y 2x 3與 、 ，點(diǎn) 果 點(diǎn) 圖 1解析】如圖 1拋物線的對(duì)稱軸當(dāng)作河流，點(diǎn) 對(duì)稱，連結(jié) 么在 圖 1點(diǎn) 此 由 y 2x 3，可知 3， 1所以 2，因此 P(1, 2) 圖 1 圖 1 如圖，拋物線21 442y x x 與 ， 個(gè)動(dòng)點(diǎn) 經(jīng)過 ，再經(jīng)過拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn) N，然后返回到點(diǎn) A如果動(dòng)點(diǎn)找出點(diǎn) M、 求最短路程 圖 2解析】如圖 2照“臺(tái) 球兩次碰壁”的模型，作點(diǎn) 線的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn) A，作點(diǎn) ，連結(jié) AB與 ，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn) N 在 中， 8， 6，所以 AB 10，即點(diǎn) 0根據(jù)相似比可以計(jì)算得到 83， 43， 1所以 M(83, 0)， N(4, 1) 圖 2 如圖 3物線248 293y x x 與 ，頂點(diǎn)為 B點(diǎn) P是 線段 求出相應(yīng)的點(diǎn) 圖 3解析】題目讀起來像繞口令，其實(shí)就是求 |最小值與最大值 由拋物線的解析式可以得到 A(0, 2)， B(3, 6)設(shè) P(x, 0) 絕對(duì)值 |最小值當(dāng)然是 0 了，此時(shí) 圖 3解方程 22 (x 3)2 62，得 416x此時(shí) P 41( ,0)6 在 據(jù)兩邊之差小于第三邊，那么 |是小于 如圖 3點(diǎn) |得最大值，最大值 5此時(shí) P 3( ,0)2 圖 3 圖 3 如圖 4菱形 2， A 120，點(diǎn) P、 Q、 C、 意一點(diǎn)，求 圖 4解析】如 圖 4 ，在 ， 于 如圖 4點(diǎn) Q上時(shí)， Q如圖 4最小值為 QH， QQH 3 這道題目應(yīng)用了兩個(gè)典型的最值結(jié)論：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短 圖 4 圖 4 圖 4 如圖 5形 A 60， 3， A、 和 1，P、 E、 D、 圖 5解析】 E、 F、 么辦？ 1， 2是確定的，那么我們可以求 3的最小值，先求 最 小值（如圖 5 如圖 5最小值為 6所以 圖 5 圖 5 如圖 6已知 A(0, 2)、 B(6, 4)、 E(a, 0)、 F(a 1, 0)，求 時(shí)，四邊形 說明理由 圖 6解析】在 四邊形 把這兩條線段經(jīng)過平移，使得兩條線段有公共端點(diǎn) 如圖 6線段 到線段 如圖 6點(diǎn) ， ，滿足 由 A B 解方程 6 ( 2)24，得 43a 圖 6 圖 6 如圖 7 ， 90， 2， 1點(diǎn) A、 點(diǎn) A在 在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn) 圖 7解析】如果把 個(gè)三角形的另外兩條邊的大小是確定的，那么根據(jù)兩邊之和大于第三邊，可知第三邊 顯然 為 如圖 7果選 ，那么 1， 2 在 是有 如圖 7點(diǎn) 大值為 21 圖 7 圖 7例 如圖 8已知 A( 2,0)、 B(4, 0)、 ( 5,3 3)D 設(shè) 含端點(diǎn)），連結(jié) 動(dòng)點(diǎn) 出發(fā)，沿線段 個(gè)單位 的速度 運(yùn)動(dòng)到 F，再沿線段 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn) 用時(shí)最少？ 圖 8解析】點(diǎn) B(4, 0)、 ( 5,3 3)D 的坐標(biāo)隱含了 30，不由得讓我們聯(lián)想到 30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半 如果把動(dòng)點(diǎn) 題就轉(zhuǎn)化了 如圖 8 2果點(diǎn) 段 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) 么點(diǎn) 個(gè)單位的速度正好運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) E因此當(dāng) 如圖 8 時(shí) F( 2,2 3) 圖 8 圖 8 如圖 9在 C 90， 6， 8點(diǎn) 結(jié) 點(diǎn) ，求 圖 9解析】如圖 9 ，那么 以 如圖 9 m，此時(shí) 53m 由 5 103解得 154m此時(shí) 1522m 圖 9 圖 9 如圖 10知點(diǎn) 14的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn) D、 0, 1)、(1, 2)，連結(jié) 圖 10解析】點(diǎn) 有辦法套用“牛喝水”的模型 設(shè) P 21( , )4么 2 2 2 2 211( 1 ) ( 1 )44x x x 所以 21 14x 如圖 1021 14x 的幾何意義可以理解為拋物線上的動(dòng)點(diǎn) y 1的距離以 此 H 如圖