數(shù)學(xué)第一輪章節(jié)考17

第3章 第3節(jié)一、選擇題1(2010山東理)由曲線yx2，yx3圍成的封閉圖形面積為() A. B. C. D.答案A 解析由得交點(diǎn)為(0,0)，(1,1)S(x2x3)dx01.2已知f(x)為偶函數(shù)且f(x)dx8，則6f(x)dx等于()A0B4C8D16答案D解析原函數(shù)為偶函數(shù)，在y軸兩側(cè)的圖像對(duì)稱對(duì)應(yīng)的面積相等原式2f(x)dx8216.3(2011沈陽)由三條直線x0，x2，y0和曲線yx3所圍成的圖形的面積為()A4 B. C. D6答案A解析Sx3dx024.4若dx3ln2，則a的值為()A6 B4 C3 D2答案D解析dx(x2lnx)|1aa2lna(12ln1)a2lna13ln2a2.5函數(shù)F(x)t(t4)dt在1,5上()A有最大值0，無最小值B有最大值0和最小值C有最小值，無最大值D既無最大值也無最小值答案B解析F(x)x(x4)令F (x)0，得x10，x24，F(xiàn)(1)，F(xiàn)(0)0，F(xiàn)(4)，F(xiàn)(5).最大值為0，最小值為.6用S表示圖中陰影部分的面積，則S的值是()A.f(x)dxB|f(x)dx|C.f(x)dxf(x)dxD.f(x)dxf(x)dx答案D解析由定積分的幾何意義知：在x軸上方的陰影部分的面積為f(x)dx，則在x軸下方的陰影部分，由于f(x)0，故f(x)dx0，所以其面積應(yīng)為f(x)dx.因此，總面積為f(x)dxf(x)dx.7已知力F和物體移動(dòng)方向相同，而且與物體位置x有如下關(guān)系：F(x)那么力F使物體從x1點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x1點(diǎn)做功大小為()A0 B. C. D1答案B解析1F(x)dx1|x|dx(x21)dx1(x)dx(x21)dx(1)2131.8設(shè)f(x)則f(x)dx()A. B. C. D不存在答案C解析如圖，f(x)dxx2dx(2x)dxx3|0112.二、填空題9.4|x2|dx_.答案解析原式(x2)dx2(x2)dx.10一物體以初速度v9.8t6.5m/s的速度自由落下，則下落后第二個(gè)4s內(nèi)經(jīng)過的路程是_答案261.2m解析(9.8t6.5)dt(4.9t26.5t)|484.9646.584.9166.54313.65278.426261.2.11如果f(x)dx1，f(x)dx1，則f(x)dx_.答案2解析f(x)dxf(x)dxf(x)dx，f(x)dxf(x)dxf(x)dx112.三、解答題12求下列定積分：13已知f(x)為二次函數(shù)，且f(1)2，f (0)0，f(x)dx2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在1,1上的最大值與最小值解析(1)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，則f (x)2axb.由f(1)2，f (0)0，得，即，f(x)ax2(2a)又f(x)dxax2(2a)dxax3(2a)x|012a2，a6，從而f(x)6x24.(2)f(x)6x24，x1,1當(dāng)x0時(shí)，f(x)min4；當(dāng)x1時(shí)，f(x)max2.14如圖所示，直線ykx分拋物線yxx2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值解析拋物線yxx2與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x10，x21，所以，拋物線與x軸所圍圖形的面積(1k)3.又知S，所以(1k)3，于是k1.15設(shè)yf(x)是二次函數(shù)，方程f(x)0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f (x)2x2.(1)求yf(x)的表達(dá)式；(2)求yf(x)的圖像與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積(3)若直線xt(0t1)，把yf(x)的圖像與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值解析(1)設(shè)f(x)ax2bxc，則f (x)2axb，又已知f (x)2x2，a1，b2，f(x)x22xc.又方程f(x)0有兩個(gè)相等的實(shí)根，判別式44c0，即c1.故f(x)x22x1.(2)依題意，所求面積(x22x1)dx (3)依題意有(x22x1)dxt(x22x1)dx.t3t2tt3t2t，2t36t26t102(t1)31，于是t1 .教師備課平臺(tái)導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)的關(guān)鍵問題導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，又是高中數(shù)學(xué)的重要工具，在高考中占有舉足輕重的地位，可以說這部分內(nèi)容掌握的好壞，直接決定著高考中數(shù)學(xué)科能不能取得高分在解答與此知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的問題時(shí)，要注意以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一、切記函數(shù)的定義域研究函數(shù)問題要樹立定義域優(yōu)先的意識(shí)，否則解題中極易出錯(cuò)例1討論函數(shù)f(x)ln(2x3)x2的單調(diào)性分析求出f(x)的導(dǎo)數(shù)后，解不等式即可解析f(x)的定義域?yàn)?f(x)2x.當(dāng)x0；當(dāng)1x時(shí)，f(x)時(shí)，f(x)0.從而，f(x)分別在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減點(diǎn)評(píng)本題如果沒有定義域優(yōu)先的意識(shí)，單從f(x)來看，極易把單調(diào)減區(qū)間寫成和.二、清晰理解導(dǎo)數(shù)的定義從三個(gè)方面理解導(dǎo)數(shù)的定義：1函數(shù)f(x)在某一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)：f(x0) .2函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)：如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，對(duì)于開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一個(gè)x0，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)導(dǎo)數(shù)f(x0)，這樣f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，這一新的函數(shù)叫作f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)記作f(x)y ，導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù)3導(dǎo)數(shù)的定義的等價(jià)形式f(x0) 的幾種等價(jià)形式：f(x0) 等例2已知函數(shù)f(x)中，f(1)2，求 .分析當(dāng)x0時(shí)，2x0，只需將 變形為2 ，即可用導(dǎo)數(shù)的定義解決解析 2 2f(1)4.點(diǎn)評(píng)函數(shù)在某一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，就是函數(shù)在這一點(diǎn)的函數(shù)值的增量與自變量的增量的比值在自變量的增量趨近于零時(shí)的極限，分子分母中的自變量的增量x必須保持對(duì)應(yīng)一致，它是非零的變量，它可以是2x，x等三、準(zhǔn)確掌握f(x)取得極值的充要條件定義域D上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處取得極值的充要條件是f(x0)0，并且f(x)在x0兩側(cè)異號(hào)例3函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處有極小值10，求ab的值分析先由f(1)10，f(1)0，列式求出a、b，再驗(yàn)證在x1兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是不是異號(hào)解析f(x)3x22axb，由于函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處有極小值10，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，f(x)3x26x33(x1)2在x1的左右兩側(cè)不變號(hào)，所以x1不是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，f(x)3x28x11(x1)(3x11)，在x1的左側(cè)為負(fù)、右側(cè)為正，故x1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，所以ab7.點(diǎn)評(píng)f(x0)0只是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要條件，即必須有這個(gè)條件，但只有這個(gè)條件還不夠，還得f(x)在x0兩側(cè)異號(hào)四、全面把握函數(shù)單調(diào)性1在某個(gè)區(qū)間(a，b)上，若f(x)0 ，則f(x)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；若f(x)0或f(x)0，當(dāng)f(x)0時(shí)，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，當(dāng)f(x)0時(shí)，f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為常數(shù)函數(shù)；同理，若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，則f(x)0，反之等號(hào)不成立3使f(x)0的離散的點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性如yxcosx.例4已知函數(shù)f(x)x2(x0，aR)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析只要f(x)0在2，)上恒成立，而只在一些離散的點(diǎn)處為0即可解析f(x)2x，要使f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，只需當(dāng)x2時(shí)，f(x)0恒成立，即2x0，則a2x316，)恒成立，故當(dāng)a16時(shí)，f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)點(diǎn)評(píng)本題僅在x處f(x)0.五、充分注意函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)有些函數(shù)存在不可導(dǎo)點(diǎn)，如果不注意，將會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤例5已知aR，求函數(shù)f(x)x2|xa|的極值點(diǎn)分析這個(gè)函數(shù)有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)xa，而且這個(gè)點(diǎn)也是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，在討論函數(shù)的極值點(diǎn)時(shí)把它一起討論，其余的極值點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)去處理解析(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2|xa|，作出其草圖如下，易知f(x)有兩個(gè)(常規(guī))極值點(diǎn)x10，x2，有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)xa，而且這個(gè)點(diǎn)也是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，借助于圖像可知x0，xa是函數(shù)的極小值點(diǎn)，x是函數(shù)的極大值點(diǎn)(2)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2|x|，此時(shí)f(x)在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，x0為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)f(x)無極大值點(diǎn)點(diǎn)評(píng)函數(shù)在某點(diǎn)處有定義時(shí)，只要它在該點(diǎn)左右兩側(cè)有相反的單調(diào)性，這點(diǎn)就是該函數(shù)的極值點(diǎn)六、求曲線的切線方程時(shí)，千萬記住是曲線上某點(diǎn)處的切線(僅有一條)，還是過某點(diǎn)的切線(可能不只一條)例6已知函數(shù)f(x)x3x24x，求過點(diǎn)(0,0)的曲線yf(x)的切線方程分析先用求曲線上某點(diǎn)處切線方程的方法，寫出曲線上點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程，這條切線過點(diǎn)(0,0)，再確定x0，y0的值即可解析f(x)2x22x4，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則切線的斜率為2x022x04，切線方程為y(2x022x04)(xx0)，切線過點(diǎn)(0,0)，所以(2x022x04)(x0)4x033x020x00或.當(dāng)x00時(shí)，切線方程為y4x，當(dāng)x0時(shí)，切線方程為yx.點(diǎn)評(píng)點(diǎn)(0,0)雖然也在曲線上，但并不是求僅在這點(diǎn)處的切線方程七、用導(dǎo)數(shù)解決與正整數(shù)n有關(guān)的問題時(shí)，不能直接對(duì)n求導(dǎo)例7證明對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln都成立分析由于n是正整數(shù)，故(0,1，所證的不等式即ln(1)0，構(gòu)造函數(shù)f(x)x3x2ln(x1)，只需證明它在(0,1上大于0即可解析令f(x)x3x2ln(x1)，則f(x)在(0,1上恒正，f(x)在(0,1上單調(diào)遞增，當(dāng)x(0,1時(shí)，恒有f(x)f(0)0，即當(dāng)x(0,1時(shí)，有x3x2ln(x1)0，即ln(x1)x2x3.對(duì)任意正整數(shù)n，取x(0,1，得ln.點(diǎn)評(píng)若令f(n)ln，則這個(gè)函數(shù)圖像是離散的點(diǎn)，在每一處都不可導(dǎo)，就無法用導(dǎo)數(shù)去解決這個(gè)問題八、樹立導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問題時(shí)的應(yīng)用意識(shí)例8已知函數(shù)f(x)x28x，g(x)6lnxm，是否存在實(shí)數(shù)m，使得yf(x)的圖像與yg(x)的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由分析由于x0，函數(shù)yf(x)的圖像與yg(x)的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)方程x28x6lnxm0在(0，)上有三個(gè)不等的實(shí)根(x)x28x6lnxm的圖像與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)結(jié)合函數(shù)圖像的特征即可解決問題解析函數(shù)yf(x)的圖像與yg(x)的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)(x)g(x)f(x)的圖像與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)(x)x28x6lnxm，(x)2x8(x0)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，(x)0，(x)是增函數(shù)；當(dāng)x(1,3)時(shí)，(x)0，(x)是增函數(shù)；當(dāng)x1或x3時(shí)，(x)0.(x)極大值(1)m7，(x)極小值(3)m6ln315. 當(dāng)x充分接近0