經(jīng)典解析幾何題型方法

高考專題：解析幾何常規(guī)題型及方法高考核心考點1、準確理解基本概念（如直線的傾斜角、斜率、距離、截距等）2、熟練掌握基本公式（如兩點間距離公式、點到直線的距離公式、斜率公式等）3、熟練掌握求直線方程的方法（如根據(jù)條件靈活選用各種形式、討論斜率存在和不存在的各種情況、截距是否為0等等）4、在解決直線與圓的位置關(guān)系問題中，要善于運用圓的幾何性質(zhì)以減少運算5、了解線性規(guī)劃的意義及簡單應(yīng)用6、熟悉圓錐曲線中基本量的計算7、掌握與圓錐曲線有關(guān)的軌跡方程的求解方法（如：定義法、直接法、相關(guān)點法、參數(shù)法、交軌法、幾何法、待定系數(shù)法等）8、掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的常見判定方法，能應(yīng)用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決一些常見問題常規(guī)題型及解題的技巧方法A:常規(guī)題型方面（1）中點弦問題 具有斜率的弦中點問題，常用設(shè)而不求法（點差法）：設(shè)曲線上兩點為，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點關(guān)系及斜率公式，消去四個參數(shù)。 典型例題 給定雙曲線。過A（2，1）的直線與雙曲線交于兩點 及，求線段的中點P的軌跡方程。 分析：設(shè)，代入方程得，。 兩式相減得 。 又設(shè)中點P（x,y），將，代入，當時得 。 又， 代入得。當弦斜率不存在時，其中點P（2，0）的坐標也滿足上述方程。因此所求軌跡方程是 說明：本題要注意思維的嚴密性，必須單獨考慮斜率不存在時的情況。變式練習：給定雙曲線2x2 - y2 = 2 ，過點B(1,1)能否作直線L,使L與所給雙曲線交于兩點Q1、Q2 兩點，且點B是線段Q1Q2的中點？如果直線L存在，求出它的方程;如果不存在,說明理由.（2）焦點三角形問題 橢圓或雙曲線上一點P，與兩個焦點、構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。 典型例題 設(shè)P(x,y)為橢圓上任一點，為焦點，。 （1）求證離心率； （2）求的最值。 分析：（1）設(shè)，由正弦定理得。 得 ， （2）。 當時，最小值是； 當時，最大值是。變式練習：設(shè)、分別是雙曲線（a0,b0）的左、右兩個焦點，P是雙曲線上的一點，若P=,求證：S=bcot （3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的辦法典型例題 （1）求證：直線與拋物線總有兩個不同交點 （2）設(shè)直線與拋物線的交點為A、B，且OAOB，求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達式。（1）證明：拋物線的準線為 由直線x+y=t與x軸的交點（t，0）在準線右邊，得 故直線與拋物線總有兩個交點。 （2）解：設(shè)點A(x1，y1)，點B(x2，y2) 變式練習：直線y=ax+1與雙曲線3x2y2=1交于兩點A、B兩點(1)若A、B都位于雙曲線的左支上，求a的取值范圍(2)當a為何值時，以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點？（4）圓錐曲線的有關(guān)最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。 若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。 若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。典型例題已知拋物線y2=2px(p0)，過M（a,0）且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|2p（1）求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求NAB面積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，對于（1），可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘邔表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對于（2）首先要把NAB的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即：“最值問題，函數(shù)思想”。解：(1)直線L的方程為：y=x-a,將y=x-a 代入拋物線方程y2=2px,得：設(shè)直線L與拋物線兩交點的坐標分別為A（x1,y1）,B(x2,y2)，則,又y1=x1-a,y2=x2-a, 解得:(2)設(shè)AB的垂直平分線交AB與點Q，令其坐標為（x3,y3），則由中點坐標公式得：, 所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又MNQ為等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，所以SNAB=,即NAB面積的最大值為2。變式練習：雙曲線（a0,b0）的兩條準線間的距離為3，右焦點到直線x+y-1=0的距離為 （1）求雙曲線的方程（2）設(shè)直線y=kx+m(k且m)與雙曲線交于兩個不同的點C、D，若A(0,-1)且=，求實數(shù)m的取值范圍（5）求曲線的方程問題1曲線的形狀已知-這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線L過原點，拋物線C 的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上。若點A（-1，0）和點B（0，8）關(guān)于L的對稱點都在C上，求直線L和拋物線C的方程。分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法。設(shè)出它們的方程，L：y=kx(k0),C:y2=2px(p0)設(shè)A、B關(guān)于L的對稱點分別為A/、B/，則利用對稱性可求得它們的坐標分別為：A/（），B（）。因為A、B均在拋物線上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.所以直線L的方程為：y=x,拋物線C的方程為y2=x.變式練習：在面積為1的PMN中，tanM=,tanN=-2,建立適當?shù)淖鴺讼?，求出以M、N為焦點且過點P的橢圓方程。2曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題MNQO已知直角坐標平面上點Q（2，0）和圓C：x2+y2=1, 動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)（0）,求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。分析：如圖，設(shè)MN切圓C于點N，則動點M組成的集合是：P=M|MN|=|MQ|，由平面幾何知識可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，將M點坐標代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.當=1時它表示一條直線；當1時，它表示圓。這種方法叫做直接法。變式練習：過拋物線y=4x的焦點F作斜率為k的弦AB，且8，此外，直線AB和橢圓3x+2y=2交于不同的兩點。（1）求直線AB的斜率k的取值范圍（2）設(shè)直線AB與橢圓相交于C、D兩點，求CD中點M的軌跡方程（6） 存在兩點關(guān)于直線對稱問題 在曲線上兩點關(guān)于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內(nèi)。（當然也可以利用韋達定理并結(jié)合判別式來解決）典型例題 已知橢圓C的方程，試確定m的取值范圍，使得對于直線，橢圓C上有不同兩點關(guān)于直線對稱。 分析：橢圓上兩點，代入方程，相減得。 又，代入得。 又由解得交點。 交點在橢圓內(nèi)，則有，得。變式練習：為了使拋物線上存在兩點關(guān)于直線對稱，求m的取值范圍。（7）兩線段垂直問題 圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用來處理或用向量的坐標運算來處理。典型例題 已知直線的斜率為，且過點，拋物線，直線與拋物線C有兩個不同的交點（如圖）。 （1）求的取值范圍；（2）直線的傾斜角為何值時，A、B與拋物線C的焦點連線互相垂直。分析：（1）直線代入拋物線方程得， 由，得。 （2）由上面方程得， ，焦點為。由，得，或變式練習：經(jīng)過坐標原點的直線與橢圓相交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓恰好通過橢圓左焦點F，求直線的傾斜角。B:解題的技巧方面 在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達定理、曲線系方程，以及運用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計算量。下面舉例說明：（1）充分利用幾何圖形 解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識，這往往能減少計算量。 典型例題 設(shè)直線與圓相交于P、Q兩點，O為坐標原點，若，求的值。 解： 圓過原點，并且， 是圓的直徑，圓心的坐標為 又在直線上， 即為所求。 評注：此題若不充分利用一系列幾何條件：該圓過原點并且，PQ是圓的直徑，圓心在直線上，而是設(shè)再由和韋達定理求，將會增大運算量。變式練習：已知點P（5，0）和圓O：，過P作直線與圓O交于A、B兩點，求弦AB中點M的軌跡方程。 評注：此題若不能挖掘利用幾何條件，點M是在以O(shè)P為直徑的圓周上，而利用參數(shù)方程等方法，計算量將很大，并且比較麻煩。二. 充分利用韋達定理及“設(shè)而不求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點坐標而不求它，而是結(jié)合韋達定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點等問題中常常用到。典型例題 已知中心在原點O，焦點在軸上的橢圓與直線相交于P、Q兩點，且，求此橢圓方程。 解：設(shè)橢圓方程為，直線與橢圓相交于P、兩點。 由方程組消去后得 由，得 （1） 又P、Q在直線上， 把（1）代入，得， 即 化簡后，得 （4） 由，得 把（2）代入，得，解得或 代入（4）后，解得或 由，得。 所求橢圓方程為 評注：此題充分利用了韋達定理及“設(shè)而不求”的策略，簡化了計算。變式練習：若雙曲線方程為，AB為不平行于對稱軸且不過原點的弦，M為AB中點，設(shè)AB、OM的斜率分別為，則 三. 充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點，因此也可以減少計算。典型例題 求經(jīng)過兩已知圓和0的交點，且圓心在直線：上的圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為： 即， 其圓心為C（） 又C在直線上，解得，代入所設(shè)圓的方程得為所求。 評注：此題因利用曲線系方程而避免求曲線的交點，故簡化了計算。變式練習：某直線l過直線L1：x-y-12=0和L2：7x-y+28=0的交點，且傾斜角為直線L1的傾斜角的一半，求此直線l的方程四、充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問題這也是我們常說的三角代換法。典型例題 P為橢圓上一動點，A為長軸的右端點，B為短軸的上端點，求四邊形OAPB面積的最大值及此時點P的坐標。變式練習：已知P(x，y)是橢圓x24y2=1上任一點，試求P到直線x + y 2 = 0的最小值及此時P的坐標。五、線段長的幾種簡便計算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運算過程 一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程代入圓錐曲線方程中，得到型如的方程，方程的