三垂線定理練習(xí)課二

三垂線定理練習(xí)課二教學(xué)目標(biāo)1進(jìn)一步理解、鞏固并應(yīng)用三垂線定理及其逆定理；2應(yīng)用上一節(jié)課上所講的兩個(gè)基本題來(lái)解有關(guān)的綜合題；3通過(guò)解綜合題提高學(xué)生解綜合題的能力教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)的重點(diǎn)是進(jìn)一步掌握三垂線定理及其逆定理，并能靈活的應(yīng)用它們來(lái)解有關(guān)的題教學(xué)的難點(diǎn)是在空間圖形中有許多平面時(shí)，如何選好“基準(zhǔn)平面”和“第一垂線”教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程師：上一節(jié)我們應(yīng)用三垂線定理及其逆定理講了四個(gè)例題其中大多是基本題今天我們一方面要在應(yīng)用這些基本題的基礎(chǔ)上解有關(guān)的綜合題；另外我們?cè)賮?lái)解其它的綜合題來(lái)提高我們的解綜合題的能力現(xiàn)在看例1例1 如圖1，已知：PAPB，PAPC，PBPC，求證：ABC是銳角三角形師：這一題證法很多，所以我們要多想幾種證法所以 BAC是銳角同理可證ABC，ACB都是銳角師：我們能不能直接用三垂線定理來(lái)證？生：由已知可得PA平面PBC在直角三角形PBC中，作PDBC于D，因?yàn)镻BC，PCB都是銳角，所以垂足D一定在斜邊BC內(nèi)部，連PD，則PDBC（三垂線定理）對(duì)于ABC來(lái)說(shuō)，因垂足D在BC邊內(nèi)部，所以ABC，ACB都是銳角，同理可證BAC也是銳角師：能不能用公式cos1cos2cos來(lái)證明ABC為銳角三角形？生：因AP平面PBC，所以ABP是線面角，相當(dāng)于1，PBC相當(dāng)于2，因1，2都是銳角所以cos10，cos20，coscos1cos20，所以為銳角。即ABC是銳角，同理可證BAC，ACB都是銳角師：我們用了三種方法來(lái)證明ABC是銳角三角形，現(xiàn)在我們換一個(gè)角度來(lái)研究這個(gè)基本圖形另外一個(gè)性質(zhì)看例2例2 如圖2，已知：PAPB，PAPC，PBPCPH平面ABC于H求證：H點(diǎn)是ABC的垂心師：垂心是三角形三邊垂線（高線）的交點(diǎn)，要證H是ABC的垂心，只要證AHBC即可生：因?yàn)?PABP，PACP，所以 PA平面PBC故 PABC對(duì)于平面ABC來(lái)說(shuō)，PH是垂線，PA是斜線，AH是PA在平面ABC內(nèi)的射線因?yàn)?PABC，所以 AHBC同理可證BHAC，CHAB故H是ABC的垂心師：由例2的演變可得例3，現(xiàn)在我們來(lái)看例3例3 如圖3，ABC中，BAC是銳角，PA平面ABC于A，AO平面PBC于O求證：O不可能是PBC的垂心師：要證明O不可能是PBC的垂心，用什么方法？生：用反證法師：為什么想到用反證法？生：因?yàn)橹苯幼C不好證師：對(duì)，因?yàn)橹苯觼?lái)證不好利用條件，而用反證法，假設(shè)O是PBC的垂心，則這樣證明的思路就“活了”，就可利用已知條件，現(xiàn)在我們用反證法來(lái)證明生：假設(shè)O是PBC的垂心，則BOPC對(duì)平面PBC來(lái)說(shuō)，AO是垂線，AB是斜線，BO是AB在平面PBC內(nèi)的射影因?yàn)?BOPC，所以 ABPC又因?yàn)?PA平面ABC，PAAB，所以AB平面PAC，ABAC，BAC是直角，與已知BAC是銳角相矛盾所以假設(shè)不能成立，所以O(shè)不可能是PBC的垂心師：分析例3我們可以看出例3是由例2演變而來(lái)也就是說(shuō)在PAAB，PAACO是PBC的垂心條件下一定可以推導(dǎo)出ABAC是例2的逆命題再加以演變而得現(xiàn)在我們來(lái)看例4例4 如圖4，已知：AOB在平面內(nèi)，AOB60，PO是平面的一條斜線段，POAPOB45，PP平面于P，且PP3求：（1）PO與平面所成的角的正弦；（2）PO的長(zhǎng)師：我們?nèi)绾卫蒙瞎?jié)課所講的兩個(gè)基本題來(lái)解這題生：因POAPOB，所以O(shè)P是AOB的平分線，POP相當(dāng)于1，230，45，由cos1cos30cos師：在我們腦中如果“儲(chǔ)存”許多基本題，那么在我們解有關(guān)綜合題時(shí)，就能“得心應(yīng)手”所以在平時(shí)我們一定要注意對(duì)基本題的理解、掌握，解這題的思路就是一個(gè)典型下面我們來(lái)看例5（1）直線MN是異面直線A1B和B1D1的公垂線；（2）若這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為a，求異面直線A1B和B1D1的距離師：我們是在講三垂線定理及其逆定理應(yīng)用時(shí)講這個(gè)例題的所以我們想法用三垂線定理或它的逆定理來(lái)證明這一題要用三垂線定理首先要確定對(duì)于哪一個(gè)平面來(lái)用三垂線定理生：對(duì)于平面A1B1C1D1來(lái)用三垂線定理師：這時(shí)MN是平面A1B1C1D1的斜線，我們?nèi)绾巫髌矫鍭1B1C1D1的垂線呢？生：作MPA1B1于P，又因?yàn)镈1A1平面A1ABB1，所以A1D1PM，故PM平面A1B1C1D1師：對(duì)于平面A1B1C1D1來(lái)說(shuō)，MP是垂線，MN是斜線，NP是MN在平面A1B1C1D1上的射影我們要證MNB1D1，只要證PNB1D1即可在正方形A1B1C1D1中，我們知道A1C1B1D1，所以現(xiàn)在只要證PNA1Q1即可我們?nèi)绾卫靡阎獥l件來(lái)證PNA1O1O1NNB1，所以PNA1O1，所以PNB1D1，故MNB1D1同理可證MNA1B，所以MN是異面直線A1B和B1D1的公垂線師：已知正方體的棱長(zhǎng)為a，在直角三角形MNP中，如何求出MN的長(zhǎng)？師：這是一道很好、很典型的題，它很巧妙、很直接地求出異面直線A1B，B1D1的公垂線及這兩異面直線的距離這一道題我們的先人們是如何想出來(lái)的？這一問(wèn)題我們利用課外活動(dòng)時(shí)間來(lái)進(jìn)行探索今天就講這五個(gè)例題，講這五個(gè)例題的目的一是進(jìn)一步應(yīng)用三垂線定理及其逆定理，二是應(yīng)用上節(jié)課剛講過(guò)的基本題來(lái)解較綜合的題作業(yè)補(bǔ)充題1已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，O為正方形中心，PO平2已知：在ABC中，BAC90，PCABC所在平面，D為AB上一點(diǎn)，PA，PD，PB與平面ABC分別成60，45，30的角，求證：D是AB的中點(diǎn)3將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起來(lái)，使A點(diǎn)在平面BCD的射影O恰好在BD上，又CD的中點(diǎn)為E，求證：AECD提示：對(duì)于平面BCD來(lái)說(shuō)，AO是垂線，OE是斜線AE在平面上的射影AB13，AC15，A1B5，A1C9試比較BAC與BA1C的大