湖南衡陽(yáng)第八中學(xué)高二數(shù)過(guò)關(guān)考試文

2018年上期衡陽(yáng)市八中高二年度過(guò)關(guān)考試文科數(shù)學(xué)試題時(shí)量120分鐘 滿分100分(考試范圍:集合、函數(shù)（不考導(dǎo)數(shù)）三角函數(shù)及解三角形、立體幾何、數(shù)列、平面向量及復(fù)數(shù))一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè)集合,集合是函數(shù)的定義域;則A. B. C. D. 2已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3“pq為假”是“pq為假”的( )條件.A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要4如下圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中 與成角與為異面直線 以上四個(gè)命題中，正確的序號(hào)是 A. B. C. D. 5九章算術(shù)有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有女子善織，日增等尺，七日共織二十八尺，第二日、第五日所織之和為七尺，則第十日所織尺數(shù)為A. 9 B. 10 C. 11 D. 126某三棱錐的三視圖如圖所示，則其體積為A. 4 B. 8 C. D. 7設(shè)，則的大小關(guān)系是A. B. C. D. 8在中， ，則的面積等于A. B. 或 C. D. 或9已知數(shù)列滿足， 是等差數(shù)列，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和A. 220 B. 110 C. 99 D. 5510已知ABC中，AB=2，AC=4，BAC=60，P為線段AC上任意一點(diǎn)，則PBPC的范圍是A. 1,4 B. 0,4 C. -2,4 D. -94,411將函數(shù)fx=2sinx+40的圖象向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=gx的圖象，若y=gx在-6,4上為增函數(shù)，則的最大值為A. 2 B. 3 C. 4 D. 612定義在區(qū)間（1，+）內(nèi)的函數(shù)f（x）滿足下列兩個(gè)條件：對(duì)任意的x（1，+），恒有f（2x）=2f（x）成立； 當(dāng)x（1，2時(shí)，f（x）=2x.已知函數(shù)y=f（x）的圖象與直線mx-y-m=0恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A. 1，2） B. （1，2C. D. 二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。13已知，且與的夾角，則_ 14已知sin-=55，且在第二象限角，則 tan=_.15已知命題， 恒成立，命題，使得，若命題為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)16已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足.若,使得成立,則的最大值為_(kāi).三、解答題：共52分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1719題每題8分，第20、21每題9分，第22題10分。17（滿分8分）已知函數(shù).（I）求f(x)的最小正周期及對(duì)稱中心；（II）當(dāng)時(shí)，求f(x)的值域18（滿分8分）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b=a(cosC-sinC)（1）求角A；（2）若a=10，sinB=2sinC，求ABC的面積19（滿分8分）已知向量， ， . （1）若，求的值； （2）若向量的夾角為，求的值.20（滿分9分）已知數(shù)列an-n是等比數(shù)列，且a1=9,a2=36（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列an-n2的前n項(xiàng)和Sn21（滿分9分）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是等邊三角形，BCCC14，D是A1C1中點(diǎn)(1)求證：A1B平面B1CD；(2)當(dāng)三棱錐CB1C1D體積最大時(shí)，求點(diǎn)B到平面B1CD的距離22（滿分10分）數(shù)列an,bn滿足條件：a1=1,b1=1,an+1=an+2bn,bn+1=an+bn，其中nN*.證明：對(duì)于任意的正整數(shù)n，有如下結(jié)果成立.（）數(shù)列an2-2bn2為等比數(shù)列；（）記數(shù)列cn=anbn-2，則數(shù)列cn為單調(diào)遞減數(shù)列；（）12212a1+132(12a1+22a2)+.+1(n+1)2(12a1+22a2+.+n2an)0，即x1，B=(1,+)，則AB=(1，2，2已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為在第一象限，故選A. 3“pq為假”是“pq為假”的( )條件.A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】分析：根據(jù)充分、必要條件的定義進(jìn)行判斷即可詳解：當(dāng)“pq為假”時(shí)，則p和q都為假，故“pq為假”；反之，當(dāng)“pq為假”時(shí)，則p和q中至少有一個(gè)為假，此時(shí)“pq為假”不一定成立所以“pq為假”是“pq為假”的充分不必要條件故選A4如下圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中 與成角與為異面直線 以上四個(gè)命題中，正確的序號(hào)是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由已知中正方體的平面展開(kāi)圖，得到正方體的直觀圖如上圖所示：由正方體的幾何特征可得：不平行，不正確；ANBM，所以，CN與BM所成的角就是ANC=60角，正確；與不平行、不相交，故異面直線與為異面直線，正確；易證，故，正確；故選D5九章算術(shù)有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有女子善織，日增等尺，七日共織二十八尺，第二日、第五日所織之和為七尺，則第十日所織尺數(shù)為（ ）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】B【解析】分析: 由已知條件利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出第十日所織尺數(shù)詳解: 設(shè)第一天織a1尺，從第二天起每天比第一天多織d尺，由已知得&S7=28&a2+a5=7，即7a1+762d=282a1+5d=7解得a1=1，d=1，第十日所織尺數(shù)為a10=a1+9d=1+91=10故選：B6某三棱錐的三視圖如圖所示，則其體積為A. 4 B. 8 C. D. 【答案】C【解析】由題可知，幾何體是三棱錐，底面是邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，且頂點(diǎn)到底面的距離為2， .7設(shè)，則的大小關(guān)系是A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：，即，8在中， ，則的面積等于A. B. 或 C. D. 或【答案】B【解析】試題分析：由余弦定理可得： 或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故選B.9已知數(shù)列滿足， 是等差數(shù)列，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和A. 220 B. 110 C. 99 D. 55【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，將已知值和等量關(guān)系代入，計(jì)算得，所以，所以，選B.10已知ABC中，AB=2，AC=4，BAC=60，P為線段AC上任意一點(diǎn)，則PBPC的范圍是（ ）A. 1,4 B. 0,4 C. -2,4 D. -94,4【答案】D【解析】分析：建立平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)條件即可求出A， C點(diǎn)的坐標(biāo)，表示PBPC，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求值域即可.詳解：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸、BA為y軸建系，則C(23,0),A(0,2),AC:x23+y2=1，設(shè)P(x,y),x0,23y2=x23-43x+4,所以PBPC=(-x,-y)(23-x,-y)=x2+y2-23x=43x2-1033x+4 -94,4，故選：D.11將函數(shù)fx=2sinx+40的圖象向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=gx的圖象，若=y=gx在-6,4上為增函數(shù)，則的最大值為（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】A【解析】分析：根據(jù)圖象的變換，先求出gx的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可.詳解：將函數(shù)fx=2sinx+40的圖象向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)gx，則gx=2sin(x-4)+4=2sinwx，若y=gx在-6,4上為增函數(shù)，則滿足T44，即T，所以0w2，所以實(shí)數(shù)w的最大值為2，故選A.12定義在區(qū)間（1，+）內(nèi)的函數(shù)f（x）滿足下列兩個(gè)條件：對(duì)任意的x（1，+），恒有f（2x）=2f（x）成立； 當(dāng)x（1，2時(shí)，f（x）=2x.已知函數(shù)y=f（x）的圖象與直線mx-y-m=0恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A. 1，2） B. （1，2C. D. 【答案】C【解析】直線過(guò)定點(diǎn)，畫(huà)出在上的部分圖象如圖，得又由題意得的函數(shù)圖象是過(guò)定點(diǎn)的直線，如圖所示紅色的直線與線段相交即可（可以與點(diǎn)重合但不能與點(diǎn)重合）分析圖象知，當(dāng)時(shí)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。13已知，且與的夾角，則_【答案】【解析】， 故答案為.14已知sin-=55，且在第二象限角，則 tan=_.【答案】-12【解析】由題意可得：sin=sin-=55，結(jié)合角的范圍有：cos=-1-sin2=-255，則tan=sincos=-12.15已知命題， 恒成立，命題，使得，若命題為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)【答案】【解析】當(dāng)P為真命題時(shí)， 恒成立，所以， ，當(dāng)Q為假命題時(shí)， 為真命題，即，所以，又命題為真命題，所以命題都為真命題，則 ，即。故實(shí)數(shù)的取值范圍是。16已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足.若,使得成立,則的最大值為_(kāi).1，【解析】因?yàn)樵跁r(shí)，最大值為，所以只有當(dāng)時(shí)， ， 才能成立，當(dāng) 時(shí)， 解得，因?yàn)楹瘮?shù)是周期函數(shù)，所以則的最大值為1，點(diǎn)睛：函數(shù)是周期函數(shù)，可以在一個(gè)周期內(nèi)研究問(wèn)題的原型，選擇一個(gè)周期時(shí)， 解得，這是一個(gè)周期內(nèi)，滿足條件的最大自變量取值范圍，因此在整個(gè)定義域上，若,使得成立,則的最大值為1三、解答題：共52分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1719題每題8分，第20、21每題9分，第22題10分。17（滿分8分）已知函數(shù).（I）求f(x)的最小正周期及對(duì)稱中心；（II）當(dāng)時(shí)，求f(x)的值域【答案】（） ；（）詳見(jiàn)解析.【解析】試題解析：（）.所以的最小正周期.（）因?yàn)?，所?所以.18（滿分8分）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b=a(cosC-sinC)（1）求角A；（2）若a=10，sinB=2sinC，求ABC的面積【答案】（1）A=34；（2）1詳解：（1）b=a(cosC-sinC)，由正弦定理得sinB=sinAcosC-sinAsinC，可得sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC-sinAsinC，cosAsinC=-sinAsinC，由sinC0，可得sinA+cosA=0，tanA=-1，由A為三角形內(nèi)角，可得A=34（2）因?yàn)閟inB=2sinC，所以由正弦定理可得b=2c，因?yàn)閍2=b2+c2-2bccosA，A=34，可得c=2，所以b=2，所以SABC=12bcsinA=119（滿分8分）已知向量， ， . （1）若，求的值； （2）若向量的夾角為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）若，則=0，結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系式即可求tanx的值；（2）若與的夾角為，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可求x的值，進(jìn)而得到的值試題解析：（1）由可得, 即，化簡(jiǎn)可得，則，（2）由題意可得， ， ， 而由的夾角為可得， 因此有，則. 所以 20（滿分9分）已知數(shù)列an-n是等比數(shù)列，且a1=9,a2=36（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列an-n2的前n項(xiàng)和Sn【答案】（1）an=n+2n2（2）Sn=n-12n+2+4n+1+83【解析】分析：（1）根據(jù)數(shù)列an-n為等比數(shù)列，可求其公比q=2，再寫(xiě)出其通項(xiàng)an-n，可得數(shù)列an得通項(xiàng)；（2）由（1）可得an-n2=n2n+1+4n，結(jié)合分組求和法及錯(cuò)位相減法可求其前n項(xiàng)和Sn.詳解：（1）設(shè)等比數(shù)列an-n的公比為q，則q=a2-2a1-1=6-23-1=2，從而an-n=3-12n-1，故an=n+2n2；（2）an=n+2n2,an-n2=n2n+1+4n，記Tn=22+223+n-12n+n2n+1，2Tn=23+224+n-12n+1+n2n+2-Tn=22+23+2n+1-n2n+2=2n+2-4-n2n+2=1-n2n+2-4Tn=n-12n+2+4；故Sn=Tn+4-4n+11-4=n-12n+2+4n+1+8321（滿分9分）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是等邊三角形，BCCC14，D是A1C1中點(diǎn)(1)求證：A1B平面B1CD；(2)當(dāng)三棱錐CB1C1D體積最大時(shí)，求點(diǎn)B到平面B1CD的距離【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2) .試題解析：(1)證明：連接BC1交B1C于O，連接DO.在三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形BB1C1C為平行四邊形，則BOOC1，又D是A1C1中點(diǎn)，DOA1B，而DO平面B1CD，A1B平面B1CD，A1B平面B1CD.(2)設(shè)點(diǎn)C到平面A1B1C1的距離是h，則VCB1C1DSB1C1Dhh，而hCC14，故當(dāng)三棱錐CB1C1D體積最大時(shí)，hCC14，即CC1平面A1B1C1.(6分)由(1)知BOOC1，所以B到平面B1CD的距離與C1到平面B1CD的距離相等CC1平面A1B1C1，B1D平面A1B1C1，CC1B1D.ABC是等邊三角形，D是A1C1中點(diǎn)，A1C1B1D，又CC1A1C1C1，CC1平面AA1C1C，A1C1平面AA1C1C，B1D平面AA1C1C，B1DCD，由計(jì)算得：B1D2，CD2，所以SB1CD2.設(shè)C1到平面B1CD的距離為h，由VCB1C1DVC1B1CD，得4SB1CDhh，所以B到平面B1CD的距離是.22（滿分10分）數(shù)列an,bn滿足條件：a1=1,b1=1,an+1=an+2bn,bn+1=an+bn，其中nN*.證明：對(duì)于任意的正整數(shù)n，有如下結(jié)果成