高二數(shù)學空間直線人教知識精講

用心 愛心 專心 高二數(shù)學高二數(shù)學空間直線空間直線人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教學內容： 空間直線 1. 空間兩條直線的位置關系 位置關系 圖 示 表示方法 公共點個數(shù) 兩 兩直線 直 相 交 abA 一個 線 共 兩直線 ab 沒有 面 平行 兩直線不在同 a、b 是異面 沒有 一平面內 直線 2. 平行公理： 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 等角定理： 一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那麼這兩個角相等。 推論：兩條相交直線分別與另外兩條直線平行，那麼這兩組直線所成的銳角（或直角） 相等 。 3. 異面直線 （1）定義：不同在任何一個平面內的兩條直線叫異面直線。 （2）畫法： （3）異面直線判定： 用定義：（多用反證法） 判定：平面內一點和平面外一點的連線與平面內不經過該點的直線是異面直線。 4. 異面直線所成的角： 過空間的任一點與這兩條異面直線平行的兩直線所成銳角（成直角）叫兩條異面直線 所成的角。 2 , 0( 求兩條異面直線所成的角的一般步驟是： （1）構造：用平移法作出異面直線所成的角； （2）認定：證明作出的角就是要求的角； （3）計算：利用三角形求角； （4）結論 若兩條異面直線所成角是直角，則稱兩異面直線垂直。 A a b b a A b 用心 愛心 專心 異面垂直 空間兩直線垂直 相交垂直 4. 異面直線的公垂線及距離： （1）和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線 （公垂線存在且唯一） （2）公垂線段：公垂線夾在異面直線之間的部分 （3）異面直線間的距離 ：公垂線段的長 若一個平面過一條直線并與另一條直線平行，則這直線與平面的距離就等于異面直 線間的距離。 若兩個平行平面分別過兩條異面直線則兩平行平面的距離等于兩異面直線間的距離。 【典型例題典型例題】 例 1. 在空間四邊形 ABCD 中，M、N、P、Q 分別是四邊上的點，且滿足 k PD CP QD AQ NB CN MB AM （1）求證：M、N、P、Q 共面 （2）當對角線 ACa，BDb，且 MNPQ 是正方形時，求 AC、BD 所成的角及 k 的 值(用 a、b 表示) 用心 愛心 專心 QPNMNPMQ、 / 在同一平面內 MNAC 又 NPBD MN 與 NP 所成的角等于 AC 與 BD 所成的角 MNPQ 是正方形MNP90 AC 與 BD 所成的角為 90 【說明】在空間證明兩直線平行的基本依據(jù)就是公理 4平行直線具有傳遞性。 在平面幾何中有關平行的定理只能解決在一個平面內的直線平行問題，在兩個平面內 的兩條直線平行的判定中仍借助于公理 4，這是證明空間兩直線平行的基本出發(fā)點。 求 K 的值就要建立 K 的方程，解方程的思想仍是求值的重要數(shù)學思想。 例 2. 已知 a，b 是異面直線，求證：過 b 上的點所做的與 a 平行的直線都在同一平面內 證明：證明：如圖在 b 上任取一點 P，作與 a 平行的直線 c P Q l c b a b，c 確定一個平面 假設存在與直線 a 平行的直線 l，滿足 L 與 b 交于 Q 但 l l Q b、l 確定一個平面，記作 b，且 lc l，這與 L Q 矛盾 L ，即過 b 上的點所作的與 a 平行的直線都在同一平面內 注意：要掌握反證法的邏輯思維方法和表達方法。 例 3. 正方體 AC1中 （1）和棱 AA1異面棱是哪些？和 AA1異面的面對角線有哪些？ （2）面對角線 B1C 成異面垂直的棱有哪些？面對角線？ （3）求 BD 和 B1C 所成的角 用心 愛心 專心 （4）求 BD1和 B1C 所成的角 （5）BD1不和哪些面對角線垂直？ （6）BD1與 C C1之間的距離。 A1 D1 C1 B1 B A C D 解：解：（1）和棱 AA1異面的棱是 BC，CD，B1 C1，C1 D1 面對角線 BD，B C1，B1C，C D1，D C1，B1 D1 （2）棱：C1D1，AB 面對角線：A D1 （3）D1B1C 為所求角 B1D1B1CC1D2a BD 與 B1C 所成角為 60 （4）找 D1 C1平面 B1 C D1B 是面 B1 C 的斜線 B1 C 是 B D1在平面 B1 C 上的射影 B1 C B C1 B D1 B1 C（三垂直定理） B D1和 B1 C 所成角是 90 割補法 （5）凡異面則都垂直（6 條）不垂直 6 條 BD，B1D1，AD1，CD1，A1B，BC1 （6）解一：解一：連 A1C 交 BD1于 E 取 CC1 中點 F 連 EF，EF 為CA1C1的中位線。 A1 D1 C1 B1 B A C D E F EFA1C1 又CC1 面 A1C1 CC1 A1C1 EFCC1 又D1FBF E 是 BD1中點 EF 為異面直線 BD1與 CC1間的距離 EF 2 1 A1C1 2 2 a 解二：解二：（轉化為線面距離）平面 BB1D1D 過直線 BD1 用心 愛心 專心 直線 C1C平面 BB1D1D CC1到面 BB1D1D 的距離就是異面直線 BD1與 CC1的距離 連 AC 交 BD 于 O，OCBO，OCBB1 OC平面 BB1D1D OC 就是 CC1與平面 BB1D1D 的距離 兩異面直線見距離為 OC 2 1 AC 2 2 a 例 4. 如圖，空間四邊形 ABCD 中，E、F 分別為 AB 與 CD 的中點，若 ACBD2， 3EF，求異面直線 AC 與 BD 所成的角。 解：解：取 AD 的中點 G，連結 EG，F(xiàn)G，則 EGBD，GFAC， EGF120是異面直線 AC 與 BD 所成角的補角，異面直線 AC 與 BD 所成的角是 60。 評析：評析：異面直線所成角為銳角或直角，所以其余弦值不能為負數(shù)，若求出角的余弦值 為負數(shù)說明它是異面直線所成角的補角此題若答異面直線所成角是 120就是錯誤的 例 5. 間四邊形 ABCD，ABBCCDDAa 對角線 ACBDb，E、F、G、H 分別 為四邊中點。 求：（1）四邊形 FEGH 的面積 （2）BD 與 AC 的距離 用心 愛心 專心 解：解：（1）E，H 分別為 AB，AD 中點 EH / 2 1 BD 同理 FG / 2 1 BD EH / FG 四邊形 EFGH 為平行四邊形， 取 BD 中點 O 連 AO，CO ABAD，BCCD AOBD，COBD BD平面 AOC BDAC 又 H，G 為 AD，CD 中點 HG / 2 1 AC EHHG BDACb EHHG 2 1 b 四邊形為正方形 SEFGHEH2 2 4 1 b （2）在AOC 中作 OMAC 于 M ABADBCCD AOBCBO OCOA M 為 AC 中點 BD平面 AOC BDOM OM 為 AC 與 BD 的公垂線段即異面直線 BD 與 AC 的距離 在 RtAOD 中 AO2AD2（ 2 1 BD）2a2 4 1 b2 在 RtAMO 中 OM2OA2AM2 a2 4 1 b2 4 1 b2 OM 22 2 1 ba 22 24 2 1 ba 即 BD 與 AC 間的距離為 22 24 2 1 ba 。 兩條直線的位置關系是最簡單、最基本的位置關系，由于空間任意兩條直線無論重合 或相交或平行的時候，這兩條直線在同一平面上，所以除了空間平行直線的傳遞性以外， 以上幾種情況都可歸結為平面上的直線關系，剩下的是空間不共面的兩條直線，即異面直 線的相互關系了，異面直線是立體幾何的重點和難點之一，幾乎每年都被考查，考查內容 涉及以下幾個方面： l）異面直線的定義； 2）異面直線所成的角； 3）已給出異面直線的公垂線時，兩異面直線間的距離； 4）用反證法證明有關異面直線的問題 例 6. 在棱長為 1 的正方體 ABCDA1B1C1D1中，M 和 N 分別為 A1B1和 BB1的中點， 用心 愛心 專心 那么直線 AM 與 CN 所成角的余弦值是_（92 年全國高考選擇題） 解析：解析：如圖將 AM 平移到 M1B1，CN 平移到 N1B1，則 M1、N1分別是 AB，CC1的中 點。且M1B1N1是 AM 與 CN 所成的角。連 CM1， 1111 CMRtNM中， 4 6 CNCMNM 2 1 2 1 2 11 ， 2 11 2 11 NBMB 4 5 。由余弦定理得 5 2 NBMcos 111 說明：說明：求異面直線所成角首先要做必要的平行線，原則上做一條平行線可解決問題， 就不做兩條。平行線的做法遠不止一種，本題還可過 N 點引 B1M1的平行線，也可過 MM1 做一個平面與側面 BC1平行，在所在平面內過 M 做 B1N1的平行線。 例 7. 下列命題中正確的一個是（ ） （A）若 a 與 b 是異面直線,b 與 c 也是異面直線，則 a 與 c 也是異面直線 （B）已知異面直線 a，b 兩條直線 c，d 分別與 a，b 都相交于，則 c，d 也是異面直線 （C）四個角都是直角的四邊形一定是矩形 （D）兩條異面直線可能沒有公垂線 分析：分析：假設 ABCD 是空間四邊形， 則 ABCD 一定是異面直線 BCAB，BCABB，BCCD，BCCDC BC 為異面直線 AB，CD 公垂線 同理 AD 也是 AB，CD 公垂線矛盾。 （唯一性） 答案：答案：C 例 8. 關于異面直線 a，b 下述命題中不正確的一個是（ ） A. 過直線 a 有且只有一個平面平行于 b B. 過直線 a 有且只有一個平面垂直于 b C. 存在分別經過直線 a 與 b 的兩個互相平行的平面 D. 存在分別經過直線 a 與 b 的兩個互相垂直的平面 分析：分析：當異面直線 a 與 b 不垂直時，由線面垂直定義可知過 a 的任何平面中都有直線 a 與 b 不垂直，故直線 b 一定不過 a 的平面垂直。 在處理有關異面直線的問題時，要把立體幾何的各部分知識內容聯(lián)系起來考慮，才能 較全面的認識異面直線的性質 用心 愛心 專心 答案：答案：B 【模擬試題模擬試題】 1. 已知 a，b 為異面直線，為平面若 a b，且c 則下列結論中一定正確 的是（ ） （A） ac 且 bc （B） ac 且 bc （C） ac或 bc （D） ac或 bc 2. 在四面體 ABCD 中，ABBCCDDAACBDa，E、F 分別是 AB、CD 的 中點。 （1）求證 EF 是 AB 和 CD 的公垂線 （2）求 AB 和 CD 間的距離 3. 如圖， P 是ABC 所在平面外一點， D、E 分別是 PAB、PBC 的重心，求證： AC/DE且AC 3 1 DE 。 4. 已知：a、b 為異面直線，a 上兩點 A、B，b 上兩點 C、D，線段 AC、AD、BD、BC 的中點分別為 E、F、G、H，求證： （1）直線 EG 與 a 和 b 均是異面直線；FH 與 a 和 b 均是異面直線。 （2）線段 EG 和 FH 相交且互相平分。 5. 在空間四邊形 ABCD 中，對角線 ACBD，若 AC6，BD4，M、N 分別是 AB、CD 的中點。 求（1）MN 的長；（2）求 MN 與 BD 所成角的正切值。 6. 空間四邊形 ABCD 中，P、Q、R、S 分別是四條邊 AB、BC、CD、DA 的中點，已知 212AC ，34BD ，且四邊形 PQRS 面積是312，求異面直線 AC、BD 所成的 角。 用心 愛心 專心 【試題答案試題答案】 1. 分析：分析： 矛盾 共面 共面 b/a c/b c , b cb c/a c, a ca 選 D 2. 解：解：（1）BCD 和ACD 為兩個全等的等邊三形，且 F 為 CD 的中點 BFCD，AFCD，且 BFAF CD平面 AFB 由 BFAF，且 E 為 AB 的中點，得 EFAB EF 是 AB 和 CD 的公垂線 3. 分析：分析：分線段成比例二直線平行，找對應線段成比例 證明：法一：證明：法一：連 PD 交 AB 于 M，則 M 為 AB 中點，同理 N 為 BC 中點， 用心 愛心 專心 總結：總結：重心的性質 PDDM21 間接找出 DE 與 AC 的關系 分析：分析：由結論出發(fā) DEAC，則 DE 和 AC 在同一平面，故有法 2 方法二：方法二：連結 AD 交 PB 于 G，D 為PAB 重心，G 為 PB 中點，又 E 為 PBC重心，直線 CE 過 G 點，AC/DE EC GE 2 1 DA DG ，又 AC 3 1 DE 3 1 GA GD AC DE ，故AC 3 1 DE / 4. 證明：證明：如圖 CA