江蘇徐州高三數(shù)學(xué)期中質(zhì)量抽測(cè)

江蘇省徐州市2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中質(zhì)量抽測(cè)試題（含解析）一填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置1.已知集合，則_【答案】2，4【解析】【分析】由集合A與集合B，根據(jù)交集的關(guān)系，即可求出兩集合的交集【詳解】，故填.【點(diǎn)睛】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵2.若復(fù)數(shù)滿足，其中i是虛數(shù)單位，則的實(shí)部為_(kāi)【答案】2【解析】分析：先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)實(shí)部概念求結(jié)果.詳解：因?yàn)椋瑒t，則的實(shí)部為.點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛復(fù)數(shù)為.3.某水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)利用100個(gè)網(wǎng)箱養(yǎng)殖水產(chǎn)品，收獲時(shí)測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg），其頻率分布直方圖如圖所示，則該養(yǎng)殖場(chǎng)有_個(gè)網(wǎng)箱產(chǎn)量不低于50 kg【答案】82【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，可求出不低于50kg的頻率，然后再根據(jù)頻率即可求出結(jié)果.【詳解】由頻率分布直方圖，可知不低于50kg的頻率為：（0.040+0.070+0.042+0.012）50.82，所以網(wǎng)箱個(gè)數(shù)：0.08210082.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的，以及頻率的基本概念，考生熟練掌握相關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵.4.如圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的的值是_.【答案】【解析】由程序框圖，得運(yùn)行過(guò)程如下：；，結(jié)束循環(huán)，即輸出的的值是7.5.已知雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)m的值為 【答案】4【解析】試題分析：由題意，解得考點(diǎn)：雙曲線的離心率6.已知袋中裝有大小相同、質(zhì)地均勻的2個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中一次摸出2個(gè)，恰有1個(gè)是紅球的概率為_(kāi)【答案】【解析】【分析】利用列舉法能求出“從中一次摸出2個(gè)，恰有1個(gè)是紅球的”的所有情況，然后再根據(jù)古典概型求出概率【詳解】設(shè)2個(gè)紅球編號(hào)為，3個(gè)白球編號(hào)為，任取個(gè)，所有可能為：基本事件共有10個(gè)，恰有1個(gè)是紅球的有6個(gè)，所以，所求概率為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概率等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，列出所有的基本事件，求出滿足要求的基本事件是解決本題的關(guān)鍵.7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為_(kāi)【答案】24【解析】【分析】首先根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和等差中項(xiàng)，即可求出的值，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和，即可求出，進(jìn)而求出的值.【詳解】因?yàn)?，所以?32，即11132，所以，12又，所以，18，因?yàn)?，所以，可求得?4【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前項(xiàng)的公式，熟練掌握通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前項(xiàng)的公式是解決本題的關(guān)鍵.8.已知函數(shù)，若，且，則的最大值為_(kāi)【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意，可得，可令1，所以，進(jìn)而，m，n，k都是整數(shù)，再根據(jù)，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】令1，則，m，n，k都是整數(shù)，因?yàn)椋?，所以，的最大值?【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)得到1，是對(duì)本題的重要突破，熟練掌握三角函數(shù)的公式是解決本題的關(guān)鍵.9.已知奇函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)【答案】【解析】【分析】由于函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程=0只有一個(gè)x的值，進(jìn)而可得，由于函數(shù)是R上的單調(diào)的奇函數(shù)，所以方程=0有且只有一個(gè)解，再根據(jù)判別式即可求出結(jié)果.【詳解】函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，只有一個(gè)x的值，使=0，即成立函數(shù)是奇函數(shù)，只有一個(gè)x的值，使成立，又函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，只有一個(gè)x的值，使，即方程=0有且只有一個(gè)解，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和函數(shù)的零點(diǎn)；函數(shù)零點(diǎn)的基本問(wèn)題之一是零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，包括：直接求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；求在某區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；已知零點(diǎn)個(gè)數(shù),求參數(shù)的值(或取值范圍)解決該類(lèi)問(wèn)題常用到：函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的解，或者函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)10.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)為棱上任意一點(diǎn)，則四棱錐的體積為_(kāi)【答案】【解析】【分析】連結(jié)AC交BD于O點(diǎn)，由線面垂直的判定定理可證平面，進(jìn)而可得AO就是點(diǎn)P到平面的距離，求出AO，由錐體體積公式進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】連結(jié)AC交BD于O點(diǎn)，則有平面，所以，AO就是點(diǎn)P到平面的距離，即高；又矩形的面積為；所以，四棱錐的體積為V.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是先根據(jù)圖證明出平面，進(jìn)而求出AO就是點(diǎn)P到平面的距離，這是本題解答的關(guān)鍵點(diǎn)；此類(lèi)問(wèn)題基本解題方法就是先求出高，然后再根據(jù)體積公式求出體積.11.在平行四邊形中，若 ,則的值為_(kāi)【答案】【解析】【分析】用表示出，再代入平面向量的數(shù)量積計(jì)算公式，即可求出結(jié)果【詳解】如下圖，因?yàn)?，所以，DEDCAB，所以， 12【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，平面向量的線性運(yùn)算的幾何意義，選擇適當(dāng)基底、向量加（減）法運(yùn)算的基本法則和熟練掌握數(shù)量積公式是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵12.已知正實(shí)數(shù) 滿足，則 的最小值為_(kāi)【答案】18【解析】【分析】首先根據(jù) ，然后再根據(jù)基本不等式可得，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?+又1，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).【點(diǎn)睛】基本不等式應(yīng)用條件： 注意運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)的條件：一“正”、二“定”、三“等”； 熟悉一個(gè)重要的不等式鏈：基本不等式求最值的常見(jiàn)的方法和技巧：利用基本不等式求幾個(gè)正數(shù)和的最小值時(shí)，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其積為常數(shù)。通常要通過(guò)添加常數(shù)、拆項(xiàng)（常常是拆底次的式子）等方式進(jìn)行構(gòu)造；利用基本不等式求幾個(gè)正數(shù)積的最大值，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其和為常數(shù)。通常要通過(guò)乘以或除以常數(shù)、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式進(jìn)行構(gòu)造；用基本不等式求最值等號(hào)不成立。求解此類(lèi)問(wèn)題，要注意靈活選取方法，特別是單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法具有一般性，配方法及拆分法也是較為簡(jiǎn)潔實(shí)用得方法.13.過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，若是的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】或【解析】【分析】由切割線定理可知，又為中點(diǎn)，所以，即，進(jìn)而求出，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，依題意知，圓與軸相切于點(diǎn)，設(shè)圓心為,由切割線定理，得：，又為中點(diǎn)，所以，即，得，所以， 或。【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，本題的關(guān)鍵是根據(jù)切割線定理得到是解決本題的關(guān)鍵.14.已知函數(shù)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，分（1）0， 0和0三類(lèi)情況，集合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合即可求出結(jié)果.【詳解】（1）0時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；（2）0時(shí)，0，在R上單調(diào)遞增，所以，不可能有3個(gè)解，也不合題意。（3）0時(shí)，得畫(huà)出函數(shù)：的圖象，如圖：當(dāng)時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)，其中有唯一的零點(diǎn)，有兩個(gè)零點(diǎn)，即在有兩個(gè)零點(diǎn).，0，得x=x在（0，）遞減，在（，）遞增，0，解得：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 函數(shù)零點(diǎn)的基本問(wèn)題之一是零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，包括：直接求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；求在某區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；已知零點(diǎn)個(gè)數(shù),求參數(shù)的值(或取值范圍)解決該類(lèi)問(wèn)題常用到：函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)二解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或計(jì)算步驟15.在中，角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求角的值；（2）若，求的面積.【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和的可得，解方程可得，進(jìn)而求出的值；（2）根據(jù)同角的基本關(guān)系可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和的關(guān)系可得，再根據(jù)正弦定理可得，最后根據(jù)面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1） 或（舍）在中，；（2）在中， ， 由正弦定理：又，則 .【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和的正余弦關(guān)系，同時(shí)考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，熟練掌握公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.16.如圖，在三棱錐中， 分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且底面.（1）求證：平面； （2）若，求證：平面平面.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由中位線知：DE/AC，可證：DE/平面SAC；（2）由SD平面ABC，知SDAC，又SFAC，SD與SF交于點(diǎn)S，所以，AC平面SFD，然后再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明出結(jié)果.【詳解】在三角形ABC，由中位線定理知：DE/AC，又DE面SAC，AC面SAC所以DE/平面SAC;（2）由SD平面ABC，知SDAC，又SFAC，SD與SF交于點(diǎn)S，所以，AC平面SFD，所以，平面SAC平面SFD【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行和面面垂直的判定定理，熟練掌握判定定理的條件是解決本題的關(guān)鍵.17.已知橢圓，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且當(dāng)點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，線段的中點(diǎn)為（1）求橢圓的方程；（2）延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，若，求此時(shí)的方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可以知，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，又點(diǎn)在橢圓上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求出，進(jìn)而求出橢圓方程；（2）當(dāng)直線與垂直或與軸重合時(shí)，不滿足題意，故可設(shè)直線方程為：，由可知四邊形為平行四邊形，可得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)差法即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意可以知，、，設(shè)則點(diǎn)在橢圓上 解得橢圓的方程為：（2）當(dāng)直線與垂直或與軸重合時(shí)，不滿足題意可直線方程為：設(shè)、由可知四邊形為平行四邊形點(diǎn)為線段的中點(diǎn)由為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)、在橢圓上則可得又可解得點(diǎn)在橢圓上整理得解得或舍去可知的方程為即.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，熟練掌握橢圓的方程及有關(guān)性質(zhì)和點(diǎn)差法是解決本題的關(guān)鍵.18.某地?cái)M規(guī)劃種植一批芍藥，為了美觀，將種植區(qū)域（區(qū)域I）設(shè)計(jì)成半徑為1km的扇形，中心角（）.為方便觀賞，增加收入，在種植區(qū)域外圍規(guī)劃觀賞區(qū)（區(qū)域II）和休閑區(qū)（區(qū)域III），并將外圍區(qū)域按如圖所示的方案擴(kuò)建成正方形，其中點(diǎn)，分別在邊和上已知種植區(qū)、觀賞區(qū)和休閑區(qū)每平方千米的年收入分別是10萬(wàn)元、20萬(wàn)元、20萬(wàn)元.（1）要使觀賞區(qū)的年收入不低于5萬(wàn)元，求的最大值；（2）試問(wèn)：當(dāng)為多少時(shí)，年總收入最大？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，所以與全等.可得，根據(jù)面積公式，可求得觀賞區(qū)的面積為，要使得觀賞區(qū)的年收入不低于5萬(wàn)元，則要求，解不等式即可求出結(jié)果.（2）由題意可得種植區(qū)的面積為，正方形面積為，設(shè)年總收入為萬(wàn)元，則，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，即可求出結(jié)果.【詳解】（1），所以與全等.所以，觀賞區(qū)的面積為，要使得觀賞區(qū)的年收入不低于5萬(wàn)元，則要求，即，結(jié)合可知，則的最大值為.（2）種植區(qū)的面積為，正方形面積為，設(shè)年總收入為萬(wàn)元，則，其中，求導(dǎo)可得.當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)年總收入最大.【點(diǎn)睛】題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及導(dǎo)數(shù)在求最值的應(yīng)用.19.設(shè)函數(shù)， （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性，并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）1【解析】【分析】先對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，可得，（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點(diǎn)斜式方程，即可求出結(jié)果；（2）對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，即可求出結(jié)果；（3）令極大值橫坐標(biāo)值為：，可得，根據(jù)題意分析可得有唯一零點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，即可證明出結(jié)果.【詳解】解：時(shí)，所以切線為：分類(lèi)討論，在定義域上單調(diào)遞增 ，；， ，；， 令極大值橫坐標(biāo)值為：，那么，故函數(shù)兩端都無(wú)窮小有唯一零點(diǎn)這里要證明唯一解：令，得證綜上所述：【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分類(lèi)討論討論點(diǎn)大體可以分成以下幾類(lèi)：1、根據(jù)判別式討論；2、根據(jù)二次函數(shù)的根的大小；3、定義域由限制時(shí)，根據(jù)定義域的隱含條件；4、求導(dǎo)形式復(fù)雜時(shí)取部分特別常常只需要轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)來(lái)討論；5、多次求導(dǎo)求解等20.已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，,，且對(duì)任意恒成立（1）若，求的值；（2）若，（i）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（ii）在數(shù)列中，對(duì)任意，總存在，（其中），使構(gòu)成等比數(shù)列，求出符合條件的一組 【答案】（1）7（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）令數(shù)列為，可得，進(jìn)而求出結(jié)果；（2），假設(shè)一奇數(shù)使得：，可得，進(jìn)而可構(gòu)造一組解為，.【詳解】（1）令數(shù)列為，所以（2），假設(shè)一奇數(shù)使得：，綜合得：可構(gòu)造一組解為，.【點(diǎn)睛】本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、分類(lèi)討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題數(shù)學(xué)II（附加題）21.如圖，O的半徑OB垂直于直徑AC，D為AO上一點(diǎn)，BD的延長(zhǎng)線交O于點(diǎn)E，過(guò)E點(diǎn)的圓的切線交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.求證：PD2PAPC【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】利用切線的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、切割線定理即可得出【詳解】連結(jié)OE，因?yàn)镻E切O于點(diǎn)E，所以O(shè)EP=900，所以O(shè)EB+BEP=900，因?yàn)镺B=OE，所以O(shè)BE=OEB，因?yàn)镺BAC于點(diǎn)O，所以O(shè)BE+BDO=900故BEP=BDO=PDE，所以PD=PE，又因?yàn)镻E切O于點(diǎn)E，所以PE2=PAPC，故PD2=PAPC【點(diǎn)睛】熟練掌握切線的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、切割線定理是解題的關(guān)鍵22.已知矩陣M，且屬于特征值2的一個(gè)特征向量為，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，瞇A（0,0），B（1,0），C（2,3）在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)分別為，求的面積.【答案】6【解析】【分析】因，所以，所以，即 根據(jù)，即可求出結(jié)果.【詳解】因，所以，所以，即 故【點(diǎn)睛】主要是考查矩陣的變換以及對(duì)應(yīng)的三角形的面積計(jì)算，考查了基本的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題。23.在極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為+10.以極點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸正方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系xoy，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，r0），若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且AB，求r的值.【答案】1【解析】【分析】運(yùn)用同角的平方關(guān)系和，參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程為普通方程，再由直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到r【詳解】由，得，即直線l的方程為 由，得曲線的普通方程為，故曲線C是圓心坐標(biāo)為，半徑為的圓 ， 所以，圓心到直線的距離，由，則【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，主要考查直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用，熟練掌握公式是解題關(guān)鍵24.對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若滿足x11，y21，求x2y+1的最大值【答案】5【解析】【分析】先將配湊成的和（差）的形式，再利用絕對(duì)值不等式，求出的最大值，即可求出結(jié)果.【詳解】由 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”.可知，的最大值為5.【點(diǎn)睛】形如使恒成立型不等式.具體解法：利用和差關(guān)系式：，結(jié)合極端性原理即可解得，即： ；.25.在某次投籃測(cè)試中，有兩種投籃方案：方案甲：先在A點(diǎn)投籃一次，以后都在B點(diǎn)投籃；方案乙：始終在B點(diǎn)投籃.每次投籃之間相互獨(dú)立.某選手在A點(diǎn)命中的概率為，命中一次記3分，沒(méi)有命中得0分；在B點(diǎn)命中的概率為，命中一次記2分，沒(méi)有命中得0分，用隨機(jī)變量表示該選手一次投籃測(cè)試的累計(jì)得分，如果的值不低于3分，則認(rèn)為其通過(guò)測(cè)試并停止投籃，否則繼續(xù)投籃，但一次測(cè)試最多投籃3次.（1）若該選手選擇方案甲，求測(cè)試結(jié)束后