第十課時(shí)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律二

10 (2)類平面向量的數(shù)積及其計(jì)算規(guī)律教學(xué)目標(biāo)：掌握平面向量標(biāo)量積的運(yùn)算法則，可以利用標(biāo)量積的五個(gè)重要性質(zhì)和標(biāo)量積的運(yùn)算法則解決相關(guān)問題。掌握共線和垂直兩個(gè)向量的幾何判斷，可以證明這兩個(gè)向量是垂直的，可以解決一些簡單的問題。教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)積及其運(yùn)算法則。教學(xué)中的困難：平面向量的標(biāo)量積的應(yīng)用。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)和復(fù)習(xí)在前一節(jié)中，我們一起研究了向量積的定義，并從定義中推導(dǎo)出了5個(gè)重要性質(zhì)，得到了3個(gè)運(yùn)算法則。首先，我們簡要回顧了上述內(nèi)容。在這一節(jié)中，我們將進(jìn)一步讓大家熟悉量的乘積的定義、性質(zhì)和運(yùn)算法則，并通過實(shí)例分析來掌握它們的應(yīng)用。二。新課程教學(xué)例1已知：| a |=3，| b |=6，當(dāng) a b，ab，a和b之間的夾角為60時(shí)，ab分別計(jì)算。分析：根據(jù)量的乘積的定義，它的值是兩個(gè)向量的模和它們夾角的余弦的乘積。只要能找到它們的夾角，就能找到ab。解：當(dāng)ab時(shí)，如果a和b在同一個(gè)方向，它們的夾角=0，ab=| a | | b | cos 0=361=18如果A和B相反，它們的夾角=180。ab=|a|b|cos180=36(-1)=-18；(2)當(dāng)ab時(shí)，它們的夾角=90，ab=0；(3)當(dāng)a和b之間的角度為60時(shí)，有ab=|a|b|cos60=36=9注釋：兩個(gè)向量的量的乘積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0，180。因此，當(dāng)ab時(shí)，有兩種可能性：0或180。例2眾所周知，A和B都是非零矢量，A 3B垂直于7A-5B，A-4B垂直于7A-2B。計(jì)算A和B之間的夾角。分析：a和b之間的角度是必需的，只要找到ab和| a |，| b |。解決方案：來自已知的(a 3b)(7a-5b)(a 3b)(7a-5b)=07 a2 16 ab-15 B2=0和(a-4b)(7a-2b)(a-4b)(7a-2b)=07 a2-30ab 8 B2=0-: 46ab=23b2也就是說，ab=B2=| b | 2，將其代入可以得到：7|a|2+8|b|2-15|b|2=0也就是說，| a | 2=| b | 2有| a |=| b如果a和b之間的夾角是，Cos= 0，180， =60所以a和b之間的角度是60度。例3在四邊形ABCD中，什么圖形是四邊形ABCD？分析：四邊形的形狀由它的角關(guān)系決定。關(guān)鍵是通過問題設(shè)置條件的演變來計(jì)算四邊形的角點(diǎn)數(shù)量。解決方案：四邊形ABCD是矩形的，因?yàn)椋阂环矫妫篴 b c d=0；a+b=-(c+d)，(a+b)2=(c+d)2即| a | 2 2ab | b | 2=| c | 2 2cd | d | 2因?yàn)閍b=cd，|a|2+|b|2=|c|2+|d|2同樣，還有| a | 2 | d | 2=| c | 2 | b | 2 從 起，| a |=| c |，和| b |=| d |即四邊形ABCD的兩條對(duì)邊分別相等。四邊形ABCD是平行四邊形另一方面，從ab=BC，有b (a-c)=0，而從平行四邊形ABCD，a=-c可以得到，并代入b (2a)=0的上述公式那就是ab=0，8756 a b是ABBC.總而言之，四邊形ABCD是矩形的。注釋：(1)在四邊形中，是順序首尾相連的向量，它們的和向量是零向量，即a b c d=0。應(yīng)該注意這個(gè)隱含條件的應(yīng)用；(2)由已知條件生成量的乘積的關(guān)鍵是構(gòu)造量的乘積，因?yàn)榱康某朔e的定義包含兩種關(guān)系：邊和角。例4已知| a |=2，| b |=5，|a+b|=-3，求| a b |，| a-b |。解決方案：| a b | 2=(a b)2=a2 2ab B2=22 2(-3)52=23|a+b|=,(|a-b|)2=(a-b)2=a2-2ab+b2=22-2(-3)+52=35，|a-b|=.示例5給定| A |=8，| B |=10，| A B |=16，計(jì)算A和B之間的角度。解：(| a b |)2=(a b)2=a2 2ab B2=| a | 2 2 | a | | b |cos| b | 2cos=,55 162=82+2810cos+102例6在ABC，=a，=b，ab 0時(shí)，ABC的形狀為()A.銳角三角形b .直角三角形C.d .不確定性分析：這個(gè)問題主要考察兩個(gè)向量之間夾角的概念。我們應(yīng)該避免從ab=| a | | b | cosb 0到cosb 0錯(cuò)誤地選擇c，然后得到b作為鈍角。解決方案：基于兩個(gè)向量之間的角度的概念，a和b之間的角度應(yīng)該是180度。ab=| a | | B | cos(180-B)=-| a | | B | CoSb 0因?yàn)閎 (0，180)，b是一個(gè)銳角。因?yàn)榻嵌萣不一定是最大的，因此，三角形的形狀無法確定。因此，應(yīng)該選擇D。例7設(shè)e1和e2是夾角為45的兩個(gè)單位向量，A=E1 2E2，B=2E1 E2，請嘗試查找| a b |的值。分析：這個(gè)問題主要考查學(xué)生對(duì)單位向量的正確理解。解決方案：甲乙=(E1 2E2) (2E1 E2)=3 (E1 E2)。|a+b|=|3(e1+e2)|=3|(e1+e2)|=3=3=3=3。例8設(shè)| m |=2，| n |=1，矢量m和n之間的夾角為，如果A=4m-n，B=m 2n，C=2m-3n，求A2 3(ab)-2(BC)1。解決方案：| m |=2，| n |=1，mn，m2=|m|2=4，n2=|n|=1，mn=0。a2+3(ab)-2(bc)+1=(4m-n)2+3(4m-n)(m+2n)-2(m+2n)(2m-3n)+1=16 m2-8mn+N2+12 m2+24 Mn-3n mm-6 N2-4m 2-6mn-8nm+12 N2+1=24m2+7n2+1=104。三。課時(shí)摘要通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要求大家掌握平面向量標(biāo)量積的運(yùn)算規(guī)則，掌握兩個(gè)向量共線和垂直的幾何判斷，并能利用標(biāo)量積的五個(gè)重要性質(zhì)解決相關(guān)問題。Iv .家庭作業(yè)教科書P83練習(xí)4，7平面向量的量積和運(yùn)算法則1.如果A、B和C是任何非零向量并且彼此不共線，那么真正的命題是()(1)(ab)c-(ca)b=0(2)| a |-| b | 0，則ABC為()A.銳角三角形b直角三角形c鈍角三角形d等腰直角三角形4.如果已知等邊ABC的長度為1，并且=a，=b，=c，則ab BC ca等于()A.-公元前0世紀(jì)5.給定| a | 2=1，| b | 2=2，(a-b) a，a和b之間的夾角為()公元前60年，公元前45年，公元30年6.如果e1和e2是夾角為60的兩個(gè)單位向量，(2E 1-E2)(3E 1-2E 2)=。7.已知| i |=| j |=1，ij=0，a b=2i-8j，a-b=8i 16j，查找a b=。8.已知| a |a|=3，| b |b|=5，如果a b，ab=。9.假設(shè)a，b，c相互垂直，并且| a |a|=1，| b |b|=2，| c |c|=3，求r=a，b，c的長度及其與a，b，c的夾角的余弦。10.設(shè)A和B為兩個(gè)相互垂直的單位向量，是否有整數(shù)k，這樣向量m=ka b和n=a kb之間的夾角為60，如果有，計(jì)算k的值；如果不存在，解釋原因。11.非零向量(a 3b) 2a-b，(a-2b)2a-b，求向量a和b之間角度的余弦值平面向量的量積與運(yùn)算法則的求解1.A 2。C 3。C 4。A 5。C 6。7.-63 8.159.假設(shè)a，b，c相互垂直，并且| a |a|=1，| b |b|=2，| c |c|=3，求r=a，b，c的長度及其與a，b，c的夾角的余弦。解決方案：| r |=| a b c |=讓a b c和a，b，c之間的角度分別為1，2，3Cos 1=類似地，cos 2=，cos 3=