第一輪復習數(shù)學：9.5兩個平面垂直

9.5 兩個平面垂直知識梳理1.兩個平面垂直的定義：如果兩個平面所成的二面角是直二面角，那么這兩個平面互相垂直.2.兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.3.兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么過其中一個平面內(nèi)的一點作它的交線的垂線與另一個平面垂直.點擊雙基1.在三棱錐ABCD中，若ADBC，BDAD，BCD是銳角三角形，那么必有A.平面ABD平面ADCB.平面ABD平面ABCC.平面ADC平面BCDD.平面ABC平面BCD解析：由ADBC，BDADAD平面BCD，面AD平面ADC，平面ADC平面BCD.答案：C2.直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=AA1=a，則點A到平面A1BC的距離是A.a B. a C. a D. a解析：取A1C的中點O，連結AO. AC=AA1，AOA1C.又該三棱柱是直三棱柱，平面A1C平面ABC.又BCAC，BCAO.因此AO平面A1BC，即A1O等于A到平面ABC的距離.解得A1O=a.答案：C3.設兩個平面、，直線l，下列三個條件：l；l；.若以其中兩個作為前提，另一個作為結論，則可構成三個命題，這三個命題中正確的個數(shù)為A.3B.2C.1D.0解析：答案：C4.在正方體ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1BDA的正切值為_.答案：5.夾在互相垂直的兩個平面之間長為2a的線段和這兩個平面所成的角分別為45和30，過這條線段的兩個端點分別向這兩個平面的交線作垂線，則兩垂足間的距離為_.解析：如下圖，平面，=l，A，B，AB=2a.ACl于點C，BDl于點D，則CD即為所求.，ACl，AC，ABC就是AB與平面所成的角.故ABC=30，故AC=a.同理，在RtADB中求得AD=a.在RtACD，CD=a.答案：a典例剖析【例1】 如下圖，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC=90，求證：平面ABC平面BSC.剖析：本題是面面垂直的證明問題.一條是從定義出發(fā)的思路，即先證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線.但圖中似乎沒有現(xiàn)成的這樣的直線，故作輔助線.根據(jù)已知條件的特點，取BC的中點O，連結AO、SO，既可證明AO平面BSC，又可證明SO平面ABC.另一條是從定義出發(fā)的思路，即證明兩個平面所成的二面角是直二面角，注意到AOS是二面角ABCS的平面角，轉化為證明AOS是直角.證法一：取BC的中點O，連結AO、SO.AS=BS=CS，SOBC，又ASB=ASC=60，AB=AC，從而AOBC.設AS=a，又BSC=90，則SO=a.又AO= a，AS2=AO2+SO2，故AOOS.從而AO平面BSC，又AO平面ABC，平面ABC平面BSC.證法二：同證法一證得AOBC，SOBC，AOS就是二面角ABCS的平面角.再同證法一證得AOOS，即AOS=90.平面ABC平面BSC.特別提示本題揭示的是證面面垂直常用的兩種方法.此外，本題中證明AOS=90的方法較為特殊，即通過“算”，定量地證得直角，而不是通過位置關系定性地推理出直角，這也是立體 何中證明垂直的一種重要方法.【例2】 如下圖，在三棱錐SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC.（1）求證：ABBC；（2）若設二面角SBCA為45，SA=BC，求二面角ASCB的大小.（1）證明：作AHSB于H， 平面SAB平面SBC，AH平面SBC.又SA平面ABC，SABC.SA在平面SBC上的射影為SH，BCSB.又SASB=S，BC平面SAB.BCAB.（2）解：SA平面ABC，平面SAB平面ABC.又平面SAB平面SBC，SBA為二面角SBCA的平面角.SBA=45.設SA=AB=BC=a.作AESC于E，連結EH，則EHSC，AEH為二面角ASCB的平面角，AH=a，AC=a，SC=a，AE=a，sinAEH=，二面角ASCB為60.思考討論證明兩個平面垂直的常見方法：（1）根據(jù)定義，證其二面角的平面角是直角；（2）根據(jù)判定定理，證明一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線.【例3】 已知正三棱柱ABCA1B1C1，若過面對角線AB1與另一面對角線BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一邊A1C1于點D.（1）確定D的位置，并證明你的結論；（2）證明：平面AB1D平面AA1D；（3）若ABAA1=，求平面AB1D與平面AB1A1所成角的大小.剖析：本題的結論是“開放性”的，點D位置的確定如果僅憑已知條件推理難以得出.由于AB1與BC1這兩條面對角線是相鄰二側面上的異面直線，于是可考慮將BC1沿BA平行移動，BC1取AE1位置，則平面AB1E1一定平行BC1，問題可以解決.（1）解：如下圖，將正三棱柱ABCA1B1C1補成一直平行六面體ABCEA1B1C1E1，由AE1BC1，AE1平面AB1E1，知BC1平面AB1E1，故平面AB1E1應為所求平面，此時平面AB1E1交A1C1于點D，由平行四邊形對角線互相平行性質(zhì)知，D為A1C1的中點.（2）證明：連結AD，從直平行六面體定義知AA1底面A1B1C1D1，且從A1B1C1E1是菱形知，B1E1A1C1，據(jù)三垂線定理知，B1E1AD.又ADA1C1=D，所以B1E1平面AA1D，又B1E1平面AB1D，所以平面AB1D平面AA1D.（3）解：因為平面AB1D平面AA1D=AD，所以過A1作A1HAD于點H.作HFAB1于點F，連結A1F，從三垂線定理知A1FAB1.故A1FH是二面角A1AB1D的平面角.設側棱AA1=1，側棱AB=.于是AB1= .在RtAB1A1中，A1F=，在RtAA1D中，AA1=1，A1D=A1C1=，AD= .則A1H=.在RtA1FH中，sinA1FH=，所以A1FH=45.因此可知平面AB1D與平面AB1A1所成角為45或135.評述：本題主要考查棱柱的性質(zhì)，以及面面關系、二面角的計算，同時考查空間想象能力和綜合運用知識解決問題的能力.特別提示1.開放性問題已進入高考試卷中，近年來，全國及上海市多次考查開放題，解開放題并將經(jīng)驗與解題技巧相結合，并要有較熟練的基礎知識和“圖形意識”，并能將典型圖形靈活應用到解題中去.2.立體幾何的計算并非單純的數(shù)字計算，而是與作圖和證明相結合的.立體幾何計算題的主要步驟可以歸納為畫證算三步.“畫”是畫圖，添加必要的輔助線，或畫出所要求的幾何量，或進行必要的轉化；“證”是證明，用三段論的方法證明你所畫的幾何量即為所求，然后進行最后一步計算.這三步之間緊密相連，環(huán)環(huán)相扣，互相制約，形成了解決立體幾何計算題的思維程序，是綜合考查學科能力的集中體現(xiàn).闖關訓練夯實基礎1.P為ABC所在平面外的一點，則點P在此三角形所在平面上的射影是ABC垂心的充分必要條件是A.PA=PB=PCB.PABC，PBACC.點P到ABC三邊所在直線距離相等D.平面PAB、平面PBC、平面PAC與ABC所在的平面所成的角相等解析：條件A為外心的充分必要條件，條件C、D為內(nèi)心或旁心的必要條件（當射影在ABC的形內(nèi)時為內(nèi)心，在形外時為旁心）.答案：B2.m、n表示直線，、表示平面，給出下列四個命題，其中正確命題為=m，n，nm，則 ，=m，=n，則mn，=m，則m m，n，mn，則A. B. C. D.答案：C3.設a、b是異面直線，、是兩個平面，且a，b，a，b，則當_（填上一種條件即可）時，有.解析：本題為開放性問題.可以填上ab，也可以填a，或b.答案：ab4.三個平面兩兩互相垂直，它們的三條交線交于一點O，P到三個平面的距離分別是3、4、5，則OP的長為_.解析：構造棱長分別為3、4、5的長方體，使OP為長方體的對角線.故OP=5.答案：55.在長方體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為的正方形，側棱長為，E、F分別是AB1、CB1的中點，求證：平面D1EF平面AB1C.證明：如下圖，E、F分別是AB1、CB1的中點，EFAC.AB1=CB1，O為AC的中點，B1OAC.故B1OEF.在RtB1BO中，BB1=，BO=1，BB1O=30.從而OB1D1=60，又B1D1=2，B1O1=OB1=1（O1為BO與EF的交點）.D1B1O1是直角三角形，即B1OD1O1.B1O平面D1EF.又B1O平面ACB1，平面D1EF平面AB1C.6.（文）如下圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長為2，側棱長為4，E、F分別為棱AB、BC的中點，EFBD=G.（1）求證：平面B1EF平面BDD1B；（2）求點D1到平面B1EF的距離d；（3）求三棱錐B1EFD1的體積V.（1）證法一：如下圖，連結AC.正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，ACBD.又ACD1D，故AC平面BDD1B1.E、F分別為AB、BC的中點，故EFAC.EF平面BDD1B1.平面B1EF平面BDD1B1.證法二：BE=BF，EBD=FBD=45，EFBD.又EFD1D，EF平面BDD1B1.平面B1EF平面BDD1B1.（2）解：在對角面BDD1B1中，作D1HB1G，垂足為H.平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1=B1G，D1H平面B1EF，且垂足為H.點D1到平面B1EF的距離d=D1H.在RtD1HB1中，D1H=D1B1sinD1B1H.D1B1=A1B1=2=4，sinD1B1H=sinB1GB=，d=D1H=4=.（3）解：V=V=V=dS=2=.評注：近幾年立體幾何的解答題一般都是一題多問，環(huán)環(huán)相扣.如本題的三小問便是如此.本題主要考查正四棱柱等基本知識，考查邏輯推理能力及空間思維能力.（理）如下圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為a.求：（1）AB與B1C所成的角；（2）AB與B1C間的距離；（3）AB與B1D間的距離.解：（1）ABCD，B1CD是AB與B1C所成角.DC平面BB1C1C，DCB1C.于是DCB1=90.AB與B1C所成角為90.（2）連結BC1交B1C于O，則BOB1C.又AB平面BB1C1C，ABBO.BO是異面直線AB和B1C的公垂線段，易得BO= a，即AB與B1C間的距離為a.（3）ABDC，AB平面B1DC，DC平面B1DC，AB平面B1DC，從而AB與平面B1DC間的距離即為AB與B1D間的距離.BOB1C，BOCD，B1CDC=C，BO平面DB1C.BO的長為B到平面B1DC間的距離.BO=a，AB與B1D間的距離為a.培養(yǎng)能力7.如下圖，四棱錐PABCD的底面是邊長為a的正方形，PA底面ABCD，E為AB的中點，且PA=AB.（1）求證：平面PCE平面PCD；（2）求點D到平面PCE的距離.（1）證明：取PD的中點F，則AFPD.CD平面PAD，AFCD.AF平面PCD.取PC的中點G，連結EG、FG，可證AFGE為平行四邊形.AFEG.EG平面PCD.EG在平面PCE內(nèi)，平面PCE平面PCD.（2）解：在平面PCD內(nèi)，過點D作DHPC于點H.平面PCE平面PCD，DH平面PCE，即DH為點D到平面PCE的距離.在RtPAD中，PA=AD=a，PD=a.在RtPCD中，PD=a，CD=a，PC=a，DH=a.8.（2003年杭州高考質(zhì)量檢測題）如下圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中點.（1）求證：平面A1EC平面AA1C1C；（2）若我們把平面A1EC與平面A1B1C1所成的銳二面角為60時的正三棱柱稱為“黃金棱柱”，請判斷此三棱柱是否為“黃金棱柱”，并說明理由；（3）設AB=a，求體積V.（1）證明：連結A1C與AC1交于點F，連結EF，則由條件可得EC=EA1，則EFA1C.同理EC1=EA，則EFAC1，EF面AA1C1C.而EF面A1EC，所以平面A1EC平面AA1C1C.也可通過如下（2）的輔助線先證明EFA1H，而A1H面AA1C1C得到（2）解：延長CE交C1B1的延長線于點H，則有C1B1=B1H=A1B1，則HA1C1=90，且CA1H=90，所以CA1C1為平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角的平面角.若此正三棱柱為“黃金棱柱”，則CA1C1=60，應有CC1=A1C1，與條件AB=AA1矛盾.所以此三棱柱不能成為“黃金棱柱”.（也可利用公式cos=得到二面角的平面角來解決）（3）解：V=V=EFAA1AC=aaa= a3.（或通過V=V來計算）探究創(chuàng)新9.如下圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是DAB=60，且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.（1）若G為AD邊的中點，求證：BG平面PAD；（2）求證：ADPB；（3）求二面角ABCP的大小；（4）若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找一點F，使得平面DEF平面ABCD，并證明你的結論.（1）證明：在菱形ABCD中，DAB=60，G為AD邊的中點，BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，BG平面PAD.（2）證明：連結PG，則PGAD，由（1）得BGAD，又PGBG=G，BG平面PBG，PG平面PBG，AD平面PBG，PB平面PBG.ADPB.（3）解：由（2）AD平面PBG，而BCAD，BC平面PBG.而PB平面PBG，BG平面PBG，BCPB，BCBG.PBG就是二面角ABCP的平面角.在PAD中，PG=a，在PGB中，PBG=45，即二面角ABCP為45.（4）解：當F為PC的中點時，滿足平面DEF平面ABCD.證明如下：取PC的中點F，連結DE、EF、DF，則由平面幾何知識，在PBC中，EFPB，在菱形ABCD中，GBDE，而EF平面DEF，ED平面DEF，EFDE=E，平面DEF平面PGB.又PG平面ABCD，而PG平面PGB，平面PGB平面ABCD.故平面DEF平面ABCD.評述：本題第（1）問的論證中主要運用了面面垂直的性質(zhì)定理，第（2）問通過線線垂直與線面垂直的轉化得以證明，第（3）問是通過尋找與二面角的棱垂直的平面，進而得出二面角的平面角，再歸結為論證與計算，第（4）問是探索性問題，這里通過直覺捕捉結果，再進行邏輯論證.思悟小結在證明兩平面垂直時，一般方法是先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若沒有這樣的直線，則可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應有理論根據(jù)并且要有利于證明，不能隨意添加.在有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉化為線面垂直.解決這類問題的關鍵是熟練掌握“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”間的轉化條件和轉化應用.教師下載中心教學點睛1.結合圖形向學生講明兩個平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理.2.在作二面角的平面角時，往往利用兩個平面垂直的性質(zhì)定理，即從某個平面內(nèi)一點作它們交線的垂線，從而與另一個平面垂直，再作二面角、棱的垂線，由三垂線定理的逆定理得兩垂足的連線也垂直于棱.3.對“線線垂直”“線面垂直”及“面面垂直”之間的關系作系統(tǒng)小結.拓展題例【例1】 已知m、l是直線，、是平面，給出下列命題：若l垂直于內(nèi)兩條相交直線，則l；若l平行于，則l平行于內(nèi)所有的直線；若m，l且lm，則；若l且l，則；若m，l且，則lm.其中正確命題的序號是_.答案：【例2】 如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，PA平面ABC.（1）求證：平面PAC平面PBC；（2）若D也是圓周上一點，且與C分居直徑AB的兩側，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面.（1）證明：C是AB為直徑的圓O的圓周上一點，BCAC.又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，