普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文試題（天津卷解析）

2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)文 科 數(shù) 學(xué)本試卷分第卷（選擇題）和第卷(非選擇題)兩部分, 共150分. 考試用時(shí)120分鐘. 第卷1至2頁(yè), 第卷3至5頁(yè). 答卷前, 考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上, 并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼. 答卷時(shí), 考生務(wù)必將答案凃?qū)懺诖痤}卡上, 答在試卷上的無(wú)效. 考試結(jié)束后, 將本試卷和答題卡一并交回. 祝各位考生考試順利! 第卷注意事項(xiàng)：1. 每小題選出答案后, 用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑. 如需改動(dòng), 用橡皮擦干凈后, 再選凃其他答案標(biāo)號(hào). 2. 本卷共8小題, 每小題5分, 共40分. 參考公式: 如果事件A, B互斥, 那么 棱柱的體積公式V = Sh，其中S表示棱柱的底面面積, h表示棱柱的高. 如果事件A, B相互獨(dú)立, 那么球的體積公式 其中R表示球的半徑. 一選擇題: 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. (1) 已知集合A = xR| |x|2, B= xR| x1, 則 (A) (B) 1,2(C) 2,2(D) 2,1【答案】D【解析】因?yàn)?所以，選D.(2) 設(shè)變量x, y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為(A) 7(B) 4(C) 1(D) 2【答案】A【解析】由得。作出可行域如圖，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)最小，由，得，即代入得，選A. (3) 閱讀右邊的程序框圖, 運(yùn)行相應(yīng)的程序, 則輸出n的值為(A) 7(B) 6(C) 5(D) 4【答案】D【解析】第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，；第四次循環(huán)，滿足條件輸出，選D. (4) 設(shè), 則 “”是“”的(A) 充分而不必要條件(B) 必要而不充分條件(C) 充要條件(D) 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，即。若時(shí)，所以是的充分而不必要條件，選A. (5) 已知過(guò)點(diǎn)P(2,2) 的直線與圓相切, 且與直線垂直, 則(A) (B) 1(C) 2(D) 【答案】C【解析】設(shè)直線斜率為，則直線方程為，即，圓心到直線的距離，即，解得。因?yàn)橹本€與直線垂直，所以， 即,選C. (6) 函數(shù)在區(qū)間上的最小值是(A) (B) (C) (D) 0【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，選B. (7) 已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù), 且在區(qū)間單調(diào)遞增. 若實(shí)數(shù)a滿足, 則a的取值范圍是(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，即，所以，解得，即a的取值范圍是，選C. (8) 設(shè)函數(shù). 若實(shí)數(shù)a, b滿足, 則(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】由得，分別令，。在坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)，的圖象，由圖象知。此時(shí)，所以又。，所以，即，選A. 2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)文 科 數(shù) 學(xué)第卷注意事項(xiàng)：1. 用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上. 2. 本卷共12小題, 共110分.二填空題: 本大題共6小題, 每小題5分, 共30分. (9) i是虛數(shù)單位. 復(fù)數(shù)(3 + i)(12i) = .【答案】【解析】(3 + i)(12i)。 (10) 已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上. 若球的體積為, 則正方體的棱長(zhǎng)為 .【答案】【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則正方體的體對(duì)角線為直徑，即，即球半徑。若球的體積為，即，解得。 (11) 已知拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn), 且雙曲線的離心率為2, 則該雙曲線的方程為 .【答案】【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在準(zhǔn)線上，所以，即，且雙曲線的焦點(diǎn)在軸上。又雙曲線的離心率為2，即，解得，所以，所以雙曲線的方程為。 (12) 在平行四邊形ABCD中, AD = 1, , E為CD的中點(diǎn). 若, 則AB的長(zhǎng)為 .【答案】【解析】因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以. 因?yàn)?，所以，即，所以，解得?(13) 如圖, 在圓內(nèi)接梯形ABCD中, AB/DC, 過(guò)點(diǎn)A作圓的切線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E. 若AB = AD = 5, BE = 4, 則弦BD的長(zhǎng)為 . 【答案】【解析】連結(jié)AC,則，所以梯形ABCD為等腰梯形，所以，所以，所以,所以.又,即，整理得，解得。(14) 設(shè)a + b = 2, b0, 則的最小值為 . 【答案】【解析】因?yàn)?，所以。顯然當(dāng)時(shí)，且時(shí)，上式取等號(hào)，此時(shí)，聯(lián)立，解得，此時(shí)。所以當(dāng)時(shí)，的最小值為。三解答題: 本大題共6小題, 共70分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明, 證明過(guò)程或演算步驟. (15) (本小題滿分13分)某產(chǎn)品的三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)分別為x, y, z, 用綜合指標(biāo)S = x + y + z評(píng)價(jià)該產(chǎn)品的等級(jí). 若S4, 則該產(chǎn)品為一等品. 先從一批該產(chǎn)品中, 隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本, 其質(zhì)量指標(biāo)列表如下: 產(chǎn)品編號(hào)A1A2A3A4A5質(zhì)量指標(biāo)(x, y, z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)產(chǎn)品編號(hào)A6A7A8A9A10質(zhì)量指標(biāo)(x, y, z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)() 利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率; () 在該樣品的一等品中, 隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品, () 用產(chǎn)品編號(hào)列出所有可能的結(jié)果; () 設(shè)事件B為 “在取出的2件產(chǎn)品中, 每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”, 求事件B發(fā)生的概率. (16) (本小題滿分13分)在ABC中, 內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別是a, b, c. 已知, a = 3, . () 求b的值; () 求的值. (17) (本小題滿分13分) 如圖, 三棱柱ABCA1B1C1中, 側(cè)棱A1A底面ABC,且各棱長(zhǎng)均相等. D, E, F分別為棱AB, BC, A1C1的中點(diǎn). () 證明EF/平面A1CD; () 證明平面A1CD平面A1ABB1; () 求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值. (18) (本小題滿分13分)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F, 離心率為, 過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為. () 求橢圓的方程; () 設(shè)A, B分別為橢圓的左右頂點(diǎn), 過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點(diǎn). 若, 求k的值. (19) (本