普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學文（新課標卷解析）

2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學文試題（新課標卷，解析版） 本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分。第卷1至2頁。第卷3至4頁?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。第卷注意事項：1答題前，考生在答題卡上務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并貼好條形碼。請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目。 2每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動， 用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，在試題卷上作答無效。3第卷共l2小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）已知集合則的子集共有（A）2個 （B）4個 （C）6個 （D）8個解析：本題考查交集和子集概念，屬于容易題。顯然P=，子集數(shù)為22=4故選B（2）復數(shù)（A） （B） （C） （D）解析：本題考查復數(shù)的運算，屬容易題。解法一：直接法，故選C解法二：驗證法 驗證每個選項與1-2i的積，正好等于5i的便是答案。（3）下列函數(shù)中，即是偶數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是A. B. C. D. 解析：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于簡單題可以直接判斷：A是奇函數(shù)，B是偶函數(shù)，又是的增函數(shù)，故選B。(4).橢圓的離心率為A. B. C. D. 解析;本題考查橢圓離心率的概念，屬于容易題，直接求e=,故選D。也可以用公式故選D。（5）執(zhí)行右面得程序框圖，如果輸入的是6，那么輸出的是（A）120（B）720（C）1440（D）5040解析：本題考查程序框圖，屬于容易題?？稍O,則輸出720.故選B（6）有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為（A） (B) (C) (D) 解析：本題考查古典概型，屬于容易題。設三個興趣小組分別為A,B,C.他們參加情況共一下9種情況，其中參加同一小組情況共3中，故概率為故選A。（7）已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則=（A） （B） (C) (D) 解析：本題考查三角公式，屬于容易題。易知tan=2，cos=.由cos2=2-1= 故選B（8）在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示，則相應的側視圖可以為解析：本題考查三視圖的知識，同時考察空間想象能力。屬于難題。由正視圖和俯視圖可以判斷此幾何體前部分是一個的三棱錐，后面是一個圓錐，由此可選D（9）已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直。l與C交于A,B兩點，=12，P為C的準線上一點，則ABP的面積為（A）18 （B）24 （C）36 （D）48解析：本題考查拋物線的方程，屬于中等題。易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面積為36，故選C。（10）在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為解析：本題考查零點存在定理，屬于中等題。只需驗證端點值，凡端點值異號就是答案。故選C。（11）設函數(shù)，則（A）y=在單調(diào)遞增，其圖像關于直線對稱（B）y=在單調(diào)遞增，其圖像關于直線對稱（C）y= f (x) 在（0，）單調(diào)遞減，其圖像關于直線x = 對稱（D）y= f (x) 在（0，）單調(diào)遞減，其圖像關于直線x = 對稱解析：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)。屬于中等題。解法一：f(x)=sin(2x+)=cos2x.所以f(x) 在（0，）單調(diào)遞減，其圖像關于直線x = 對稱。故選D。解法二：直接驗證 由選項知（0，）不是遞增就是遞減，而端點值又有意義，故只需驗證端點值，知遞減，顯然x = 不會是對稱軸故選D。(12) 已知函數(shù)y= f (x) 的周期為2，當x時 f (x) =x2,那么函數(shù)y = f (x) 的圖像與函數(shù)y =的圖像的交點共有（A）10個 （B）9個 （C）8個 （D）1個解析：本題考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于難題。本題可用圖像法解。易知共10個交點19第卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題第21題為必考題，每個試題考生都必須回答。第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二填空題：本大題共4小題，每小題5分。（13）已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量a+b與向量ka-b垂直，則k= 。 解析：本題考查向量的基本運算和性質(zhì)，屬于容易題。解法一：直接法 (a+b)(ka-b)=0展開易得k=1.解法二：憑經(jīng)驗 k=1時a+b, a-b數(shù)量積為0，易知k=1.（14）若變量x，y滿足約束條件 則z=x+2y的最小值為 。解析：本題考查線性規(guī)劃的基本知識，屬于容易題。只需畫出線性區(qū)域即可。易得z=x+2y的最小值為-6。（15）ABC中B=120，AC=7，AB=5，則ABC的面積為 。解析：本題考查余弦定理和面積公式，屬于容易題。有余弦定理得所以BC=3，有面積公式得S=（16）已知兩個圓錐有公共底面，且兩個圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，若圓錐底面面積是這個球面面積的 ，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為 。解析：本題考查球內(nèi)接圓錐問題，屬于較難的題目。由圓錐底面面積是這個球面面積的 得 所以，則小圓錐的高為大圓錐的高為，所以比值為三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分） 已知等比數(shù)列中，公比。（I）為的前項和，證明：（II）設，求數(shù)列的通項公式。解析：本題考查等比數(shù)列基本知識和等差數(shù)列的基本知識。（I）（II）=-（1+2+3+n）=-數(shù)列的通項公式為=-（18）（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形。 底面 。（I）證明：（II）設，求棱錐的高。解：（）因為, 由余弦定理得 從而BD2+AD2= AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD. 故PABD（）過D作DEPB于E，由（I）知BCBD,又PD底面，所以BC平面PBD，而DE平面PBD，故DEBC,所以DE平面PBC由題設知PD=1，則BD=,PB=2，由DEPB=PDBD得DE=,即棱錐的高為（19）（本小題12分） 某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量，質(zhì)量指標值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A分配方和B分配方）做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值，得到下面試驗結果：（）分別估計用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；（）已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y（單位：元）與其質(zhì)量指標值t的關系式為 估計用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率，并求用B配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品平均一件的利潤。解：本題考查概率的基本知識，屬于容易題。（）由實驗結果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為=0.3所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.3。由實驗結果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為=0.42，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.42.（）由條件知，用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率當且僅當t94,由試驗結果知，t94的頻率為0.96，所以用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率估計值為0.96.用B配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品平均一件的利潤為=2.68（元）2（20）（本小題滿分12分） 在平面直角坐標系xOy中，曲線與坐標軸的交點都在圓C上（）求圓C的方程；（）若圓C與直線交與A，B兩點，且，求a的值。解析：本題考查圓的方程和直線和圓的關系。（）曲線與坐標軸的交點為（0,1）（3故可設圓的圓心坐標為（3，t）則有+解得t=1,則圓的半徑為所以圓的方程為（）設A( B(其坐標滿足方程組2消去y得到方程由已知可得判別式=56-16a-40由韋達定理可得， 由可得又。所以2 由可得a=-1,滿足0，故a=-1。（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為。（）求、的值；（）證明：當，且時，。解析：本題考查導數(shù)的基本概念和幾何意義，（）由于直線的斜率為，且過點，故即解得，。（）由（）知f(x)=所以考慮函數(shù)則h(x)=所以x1時h(x)0而h(1)=0故x時h(x)0可得x h(x)0可得從而當，且時，。請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時請寫清題號。（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，分別為的邊，上的點，且不與的頂點重合。已知的長為m，的長為n，AD,的長是關于的方程的兩個根。（）證明：，四點共圓；（）若，且，求，所在圓的半徑。解析：（）連結DE,根據(jù)題意在ADE和ACB中，ADAB=mn=AEAC即,又DAE=CAB,從而ADEACB因此ADE=ACB,所以C,B,D,E四點共圓。（）m=4,n=6,方程的兩根為2,12.即AD=2，AB=12取CE的中點G，DB的中點F，分別過G,F作AC,AB的垂線，兩垂線交于點H，連結D,H,因為C,B,D,E四點共圓，所以圓心為H,半徑為DH.由于A=900故GHAB,HFAC.從而HF=AG=5，DF=5，故半徑為5.(23)(本小題滿