2012普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理（四川卷解析）

2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（四川卷，解析版） 參考公式：如果事件互斥，那么 球的表面積公式 如果事件相互獨(dú)立，那么 其中表示球的半徑 球的體積公式如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么 在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑第一部分 （選擇題 共60分）注意事項(xiàng)：1、選擇題必須使用2B鉛筆將答案標(biāo)號(hào)涂在機(jī)讀卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上。2、本部分共12小題，每小題5分，共60分。一、選擇題：每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、的展開式中的系數(shù)是（ ）A、 B、 C、 D、答案D 解析二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為=，令k=2，則點(diǎn)評(píng)：高考二項(xiàng)展開式問題題型難度不大，要得到這部分分值，首先需要熟練掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，其次需要強(qiáng)化考生的計(jì)算能力.2、復(fù)數(shù)（ ）A、 B、 C、 D、答案B. 解析點(diǎn)評(píng)突出考查知識(shí)點(diǎn)，不需采用分母實(shí)數(shù)化等常規(guī)方法，分子直接展開就可以.3、函數(shù)在處的極限是（ ）A、不存在 B、等于 C、等于 D、等于答案A 解析分段函數(shù)在x=3處不是無限靠近同一個(gè)值，故不存在極限.點(diǎn)評(píng)對(duì)于分段函數(shù)，掌握好定義域的范圍是關(guān)鍵。4、如圖，正方形的邊長為，延長至，使，連接、則（ ）A、 B、 C、 D、答案B 點(diǎn)評(píng)注意恒等式sin2+cos2=1的使用，需要用的的范圍決定其正余弦值的正負(fù)情況.5、函數(shù)的圖象可能是（ ）答案C解析采用排除法. 函數(shù)恒過（1,0），選項(xiàng)只有C符合，故選C.點(diǎn)評(píng)函數(shù)大致圖像問題，解決方法多樣，其中特殊值驗(yàn)證、排除法比較常用，且簡單易用.6、下列命題正確的是（ ）A、若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B、若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C、若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D、若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行答案C解析若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯(cuò)；一個(gè)平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行，故B錯(cuò)；若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯(cuò)；故選項(xiàng)C正確.點(diǎn)評(píng)本題旨在考查立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì)，需要熟練掌握課本基礎(chǔ)知識(shí)的定義、定理及公式.7、設(shè)、都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的充分條件是（ ）A、 B、 C、 D、且答案D解析若使成立，則選項(xiàng)中只有D能保證，故選D.點(diǎn)評(píng)本題考查的是向量相等條件模相等且方向相同.學(xué)習(xí)向量知識(shí)時(shí)需注意易考易錯(cuò)零向量，其模為0且方向任意.8、已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)。若點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則（ ）A、 B、 C、 D、答案B 解析設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0),則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（），準(zhǔn)線方程為x=, 點(diǎn)評(píng)本題旨在考查拋物線的定義: |MF|=d,(M為拋物線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離).9、某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品。已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元。公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗、原料都不超過12千克。通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是（ ）A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元答案C解析設(shè)公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品X桶，乙種產(chǎn)品Y桶，公司共可獲得 利潤為Z元/天，則由已知，得 Z=300X+400Y且畫可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)Z=300X+400Y可變形為Y= 這是隨Z變化的一族平行直線解方程組 即A（4,4） 點(diǎn)評(píng)解決線性規(guī)劃題目的常規(guī)步驟：一列（列出約束條件）、二畫（畫出可行域）、三作（作目標(biāo)函數(shù)變形式的平行線）、四求（求出最優(yōu)解）.10、如圖，半徑為的半球的底面圓在平面內(nèi)，過點(diǎn)作平面的垂線交半球面于點(diǎn)，過圓的直徑作平面成角的平面與半球面相交，所得交線上到平面的距離最大的點(diǎn)為，該交線上的一點(diǎn)滿足，則、兩點(diǎn)間的球面距離為（ ）A、 B、 C、 D、答案A解析 以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OA所在直線為x、y、z軸，則A點(diǎn)評(píng)本題綜合性較強(qiáng)，考查知識(shí)點(diǎn)較為全面，題設(shè)很自然的把向量、立體幾何、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)合到了一起.是一道知識(shí)點(diǎn)考查較為全面的好題.要做好本題需要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功.11、方程中的，且互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（ ）A、60條 B、62條 C、71條 D、80條答案B解析方程變形得，若表示拋物線，則所以，分b=-3,-2,1,2,3五種情況：（1）若b=-3， ; （2）若b=3, 以上兩種情況下有9條重復(fù)，故共有16+7=23條；同理當(dāng)b=-2,或2時(shí)，共有23條； 當(dāng)b=1時(shí)，共有16條.綜上，共有23+23+16=62種點(diǎn)評(píng)此題難度很大，若采用排列組合公式計(jì)算，很容易忽視重復(fù)的18條拋物線. 列舉法是解決排列、組合、概率等非常有效的辦法.要能熟練運(yùn)用.12、設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，則（ ）A、 B、 C、 D、答案D解析數(shù)列an是公差為的等差數(shù)列，且 即 得點(diǎn)評(píng)本題難度較大，綜合性很強(qiáng).突出考查了等差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合使用，需考生加強(qiáng)知識(shí)系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)化學(xué)習(xí). 另外，隱蔽性較強(qiáng)，需要考生具備一定的觀察能力.第二部分 （非選擇題 共90分）注意事項(xiàng)：（1）必須使用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內(nèi)作答，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚。答在試題卷上無效。（2）本部分共10個(gè)小題，共90分。二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分。把答案填在答題紙的相應(yīng)位置上。）13、設(shè)全集，集合，則_。答案a, c, d解析 ； a,c，d點(diǎn)評(píng)本題難度較低，只要稍加注意就不會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.14、如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是_。答案90解析方法一：連接D1M,易得DNA1D1 ,DND1M, 所以，DN平面A1MD1，又A1M平面A1MD1，所以，DNA1D1，故夾角為90方法二：以D為原點(diǎn)，分別以DA, DC, DD1為x, y, z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體邊長為2，則D（0,0,0），N（0,2,1），M（0,1,0）A1（2,0,2）故，所以，cos0時(shí),由（I）知，當(dāng) , (2+)an-1=S2+Sn-1所以，an=所以令所以，數(shù)列bn是以為公差，且單調(diào)遞減的等差數(shù)列.則 b1b2b3b7=當(dāng)n8時(shí)，bnb8=所以，n=7時(shí)，Tn取得最大值，且Tn的最大值為T7=12分點(diǎn)評(píng)本小題主要從三個(gè)層面對(duì)考生進(jìn)行了考查. 第一，知識(shí)層面：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、對(duì)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)；第二，能力層面：考查思維、運(yùn)算、分析問題和解決問題的能力；第三，數(shù)學(xué)思想：考查方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.21、(本小題滿分12分) 如圖，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為。（）求軌跡的方程；（）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，且，求的取值范圍。解析（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y），顯然有x0,.當(dāng)MBA=90時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，, 3）當(dāng)MBA90時(shí)；x2.由MBA=2MAB,有tanMBA=,即化簡得：3x2-y2-3=0,而又經(jīng)過（2，,3）綜上可知，軌跡C的方程為3x2-y2-3=0（x1）5分(II)由方程消去y，可得。（*）由題意，方程（*）有兩根且均在（1，+）內(nèi)，設(shè)所以解得，m1,且m2設(shè)Q、R的坐標(biāo)分別為，由有所以由m1，且m2，有所以的取值范圍是. 12分點(diǎn)評(píng)本小題主要考察直線、雙曲線、軌跡方程的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考察思維能力、運(yùn)算能力，考察函數(shù)、分類與整合等思想，并考察思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。 22、(本小題滿分14分)已知為正實(shí)數(shù)，為自然數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn)，設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距。（）用和表示；（）求對(duì)所有都有成立的的最小值；（）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說明理由。解析（1）由已知得，交點(diǎn)A的坐標(biāo)為，對(duì)則拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為（2） 由（1）知f(n)=,則即知，對(duì)于所有的n成立，特別地，取n=2時(shí)，得到a當(dāng),2n3+1當(dāng)n=0,1,2時(shí)，顯然故當(dāng)a=時(shí)，對(duì)所有自然數(shù)都成立所以滿足條件的a的最小值是。（3）由（1）知，則，下面證明：首先證明：當(dāng)0x1時(shí)，設(shè)函數(shù)當(dāng)故g(x)在區(qū)間（0