馬爾科夫.doc

Z馬爾科夫等人在代數(shù)數(shù)論方面的工作與切比雪夫在解析數(shù)論方面的工作一起，確立了彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派在數(shù)論領(lǐng)域的領(lǐng)先地位。 1833年，法國一個(gè)不太出名的數(shù)學(xué)家比內(nèi)梅（J. Bienayme,17961878） 向巴黎科學(xué)院遞交的一篇論文中，將力學(xué)中矩的概念作了推廣，但文章直到三十四年后才在劉維爾 ( J. Liouville,18091882）的純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志上刊登出來。切比雪夫立即意識(shí)到矩的研究具有重要意義，并試圖在對(duì)概率論極限定理的證明中應(yīng)用這一工具。他在1874年寫成的論文關(guān)于積分的極限值中，借助于矩給出了某類非負(fù)函數(shù)積分以連分?jǐn)?shù)形式表達(dá)的極值不等式，但沒有證明。 幾乎在馬爾科夫證明切比雪夫不等式的同時(shí)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯提吉斯（Th. J. Stieltjes,18561894） 也開始了同樣的研究，他在關(guān)于所謂力學(xué)積分法的研究一文中給出了與馬爾科夫類似的結(jié)果。作為回答與對(duì)好友的紀(jì)念，馬爾科夫于1895年發(fā)表了關(guān)于某些連分?jǐn)?shù)收斂性的兩個(gè)證明，在其中給出了斯提吉斯連分?jǐn)?shù)收斂的充分條件。 把概率論從瀕臨衰亡的境地挽救出來，這是彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派為人類作出的偉大貢獻(xiàn)。切比雪夫。馬爾科夫和李雅普諾夫師生三人為此付出了艱辛的勞動(dòng)，其中尤以馬爾科夫的工作最多。據(jù)統(tǒng)計(jì)，他生平發(fā)表的概率論方面的文章或?qū)Ｖ灿卸迤ú浚┲?，大約從1883年起，馬爾科夫就開始考慮概率論中的基本問題了。進(jìn)入二十世紀(jì)以后，他的興趣轉(zhuǎn)移到相依隨機(jī)變量序列上來，并創(chuàng)立了使他名垂千古的那個(gè)概率模型。 概率論中的一個(gè)基本問題就是探索概率接近于1時(shí)的規(guī)律。特別是大量獨(dú)立或弱相依因素累積結(jié)果所發(fā)生的規(guī)律，大數(shù)定律就是研究這種規(guī)律的命題之一。1845年，切比雪夫第一次嚴(yán)格地證明了貝努利形式的大數(shù)定律，次年他又把結(jié)果推廣到泊松形式的大數(shù)定律。前文已經(jīng)提到，切比雪夫首先嘗試在概率論的背景中使用矩方法。1884年馬爾科夫證明了切比雪夫提出的不等式后，加快了工作步伐，于1887年得到中心極限定理的初步證明。同年，馬爾科夫又在關(guān)于方程ex (d n e-x /dxn ) = 0的解一文中，盡力精確地陳述并證明了切比雪夫提出的命題。改進(jìn)后的方法被人稱作切比雪夫馬爾科夫方法。馬爾科夫進(jìn)而把自己和老師的一系列結(jié)果，都寫進(jìn)1900年出版的概率演算一書之中。 3、隨機(jī)過程理論的開拓者 在當(dāng)代科學(xué)與社會(huì)的廣闊天地里，人們都可以看到一種叫作隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)模型：從銀河亮度的起伏到星系空間的物質(zhì)分布、從分子的布朗運(yùn)動(dòng)到原子的蛻變過程，從化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)到電話通訊理論、從謠言的傳播到傳染病的流行、從市場預(yù)測到密碼破譯，隨機(jī)過程理論及其應(yīng)用幾乎無所不在。人類歷史上第一個(gè)從理論上提出并加以研究的過程模型是馬爾科夫鏈，它是馬爾科夫?qū)Ω怕收撃酥寥祟愃枷氚l(fā)展作出的又一偉大貢獻(xiàn)。 出于擴(kuò)大極限定理應(yīng)用范圍的目的，馬爾科夫在本世紀(jì)初開始考慮相依隨機(jī)變量序列的規(guī)律，并從中選出了最重要的一類加以研究。1906年他在大數(shù)定律關(guān)于相依變量的擴(kuò)展一文中，第一次提到這種如同鎖鏈般環(huán)環(huán)相扣的隨機(jī)變量序列，其中某個(gè)變量各以多大的概率取什么值，完全由它前面的一個(gè)變量來決定，而與它更前面的那些變量無關(guān)。這就是被后人稱作馬爾科夫鏈的著名概率模型。也是在這篇論文里，馬爾科夫建立了這種鏈的大數(shù)定律。 用一個(gè)通俗的比喻來形容，一只被切除了大腦的白鼠在若干個(gè)洞穴間的躥動(dòng)就構(gòu)成一個(gè)馬爾科夫鏈。因?yàn)檫@只白鼠已沒有了記憶，瞬間而生的念頭決定了它從一個(gè)洞穴躥到另一個(gè)洞穴；當(dāng)其所在位置確定時(shí)，它下一步躥往何處與它以往經(jīng)過的路徑無關(guān)。這一模型的哲學(xué)意義是十分明顯的，用前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽（18941959的話來說，就是承認(rèn)客觀世界中有這樣一種現(xiàn)象，其未來由現(xiàn)在決定的程度，使得我們關(guān)于過去的知識(shí)絲毫不影響這種決定性。這種在已知“現(xiàn)在”的條件下，“未來”與“過去”彼此獨(dú)立的特性就被稱為馬爾科夫性，具有這種性質(zhì)的隨機(jī)過程就叫做馬爾科夫過程，其最原始的模型就是馬爾科夫鏈。 這即是對(duì)荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯（Ch. Huygens,16291659）提出的無后效原理的概率推廣，也是對(duì)法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯（P. S. Laplace,17491827）機(jī)械決定論的否定。 馬爾科夫所建立的概率模型不但具有深刻的哲學(xué)意義，而且具有真實(shí)的物質(zhì)背景，在他的工作之前或同時(shí)，一些馬爾科夫鏈或更復(fù)雜的隨機(jī)過程的例子已出現(xiàn)在某些人的研究中，只不過這些人沒有自覺地認(rèn)識(shí)到這類模型的普遍意義或用精確的數(shù)學(xué)語言表述出來罷了。例如蘇格蘭植物學(xué)家布朗 ( R. Brown,17731858） 于1827年發(fā)現(xiàn)的懸浮微粒的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)、英格蘭遺傳學(xué)家高爾頓（F.Galton,18221911） 于1889年提出的家族遺傳規(guī)律、荷蘭物理學(xué)家埃倫費(fèi)斯特 ( P. Ehrenfest,18801933） 于1907年關(guān)于容器中分子擴(kuò)散的實(shí)驗(yàn)，以及傳染病感染的人數(shù)，謠言的傳播，原子核中自由電子的躍遷，人口增長的過程等等，都可用馬爾科夫鏈或過程來描述。也正是在統(tǒng)計(jì)物理、量子力學(xué)、遺傳學(xué)以及社會(huì)科學(xué)的若干新課題、新事實(shí)面前，決定論的方法顯得百孔千瘡、踵決肘見。 在概率演算第四版中，他統(tǒng)計(jì)了長詩葉甫蓋尼奧涅金中元音字母和輔音字母交替變化的規(guī)律：這是長詩開頭的兩句，意為：“我不想取悅驕狂的人生，只希望博得朋友的欣賞?！痹娙四腔鹨话愕脑娖跀?shù)學(xué)家那里變成了一條冷冰冰的鎖鏈：在這條鎖鏈上只有兩種鏈環(huán)，C代表輔音、 代表元音（為了使問題簡化起見，不仿把兩個(gè)無音字母算作輔音）。馬爾科夫分別統(tǒng)計(jì)了在C后面出現(xiàn)C和 的概率p和1p，以及在 后出現(xiàn)C和 的概率q和1q，把結(jié)果與按照俄語拼音規(guī)則計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行比較，證實(shí)了語言文字中隨機(jī)的（從概率的意義上講）字母序列符合他所建立的概率模型。 完成了關(guān)于鏈的大數(shù)定律的證明之后，馬爾科夫又開始在一系列論文中研究鏈的中心極限定理。1907年他在一種不平常的相依試驗(yàn)中證明了齊次馬爾科夫鏈的漸近正態(tài)性；1908年在一個(gè)鏈中變量和的概率計(jì)算的極限定理推廣中作了進(jìn)一步的推廣；1910年他發(fā)表了重要的論文成連鎖的試驗(yàn)，在其中證明了兩種情況的非齊次馬爾科夫鏈的中心極限定理。與此同時(shí)他在一些假定的前提下證明了模型的各態(tài)歷經(jīng)性，成為在統(tǒng)計(jì)物理中具有重要作用的遍歷理論中第一個(gè)被嚴(yán)格證明的結(jié)果。遍歷理論亦稱ergodic理論，是奧地利物理學(xué)家玻耳茲曼（L. Boltzmann,18441906） 于1781年提出來的，其大意是：一個(gè)系統(tǒng)必將經(jīng)過或已經(jīng)經(jīng)過其總能量與當(dāng)時(shí)狀態(tài)相同的另外的任何狀態(tài)。 預(yù)測1.1.基本概念 1.1.1 隨機(jī)變量 、 隨機(jī)函數(shù)與隨機(jī)過程 一變量x，能隨機(jī)地取數(shù)據(jù)（但不能準(zhǔn)確地預(yù)言它取何值），而對(duì)于每一個(gè)數(shù)值或某一個(gè)范圍內(nèi)的值有一定的概率，那么稱x為隨機(jī)變量。 假定隨機(jī)變量的可能值xi發(fā)生概率為Pi，即P(x = xi) = Pi，對(duì)于xi的所有n個(gè)可能值，有離散型隨機(jī)變量分布列：Pi = 1 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，有 P(x)dx = 1 在試驗(yàn)過程中，隨機(jī)變量可能隨某一參數(shù)（不一定是時(shí)間）的變化而變化. 如測量大氣中空氣溫度變化x = x(h），隨高度變化。這種隨參變量而變化的隨機(jī)變量稱為隨機(jī)函數(shù)。而以時(shí)間t作參變量的隨機(jī)函數(shù)稱為隨機(jī)過程。也就是說：隨機(jī)過程是這樣一個(gè)函數(shù)，在每次試驗(yàn)結(jié)果中，它以一定的概率取某一個(gè)確定的，但預(yù)先未知的時(shí)間函數(shù)。 1.1.2 馬爾科夫過程 隨機(jī)過程中，有一類具有“無后效性性質(zhì)”，即當(dāng)隨機(jī)過程在某一時(shí)刻to所處的狀態(tài)已知的條件下，過程在時(shí)刻tto時(shí)所處的狀態(tài)只和to時(shí)刻有關(guān)，而與to以前的狀態(tài)無關(guān)，則這種隨機(jī)過程稱為馬爾科夫過程。即是：ito為確知，it(tto）只與ito有關(guān)，這種性質(zhì)為無后效性，又叫馬爾科夫假設(shè)。 1.1.3 馬爾科夫鏈 時(shí)間和狀態(tài)都是離散的馬爾科夫過程稱為馬爾科夫鏈。例：蛙跳問題 假定池中有N張荷葉，編號(hào)為1，2，3，N，即蛙跳可能有N個(gè)狀態(tài)（狀態(tài)確知且離散）。青蛙所屬荷葉，為它目前所處的狀態(tài)；因此它未來的狀態(tài)，只與現(xiàn)在所處狀態(tài)有關(guān)，而與以前的狀態(tài)無關(guān)（無后效性成立） 1.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 1.2. 1 一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 系統(tǒng)有N個(gè)狀態(tài)，描述各種狀態(tài)下向其他狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率矩陣 P11 P12 P1N 定義為 P = P21 P22 P2N : : : PN1 PN2 PNN 這是一個(gè)N階方陣，滿足概率矩陣性質(zhì) 1） Pij 0,i,j = 1,2，N 非負(fù)性性質(zhì) 2） Pij = 1 行元素和為1,i=1,2，N 如：W1 = 1/4,1/4,1/2,0 概率向量 W2 = 1/3,0,2/3 W3 = 1/4,1/4,1/4,1/2 非概率向量 W4 = 1/3,1/3,-1/3,0,2/3 3）若A和B分別為概率矩陣時(shí)，則AB為概率矩陣。 1.2.2 穩(wěn)定性假設(shè) 若系統(tǒng)的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率不隨時(shí)間變化，即轉(zhuǎn)移矩陣在各個(gè)時(shí)刻都相同，稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這個(gè)假設(shè)稱為穩(wěn)定性假設(shè)。蛙跳問題屬于此類，后面的討論均假定滿足穩(wěn)定性條件。 因此，在已知初始條件下求長期市場占有率就是求穩(wěn)態(tài)概率矩陣，也是求固定概率向量. 求固定概率向量的方法，我們?cè)谇耙还?jié)已有例子，只不過說明了長期市場占有率也是只與穩(wěn)態(tài)矩陣有關(guān)，與初始條件無關(guān). 馬爾可夫分析法馬爾可夫分析法（markov analysis）又稱為馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣法，是指在馬爾可夫過程的假設(shè)前提下，通過分析隨機(jī)變量的現(xiàn)時(shí)變化情況來預(yù)測這些變量未來變化情況的一種預(yù)測方法。 1、馬爾可夫分析法的涵義 單個(gè)生產(chǎn)廠家的產(chǎn)品在同類商品總額中所占的比率，稱為該廠產(chǎn)品的市場占有率。在激烈的競爭中，市場占有率隨產(chǎn)品的質(zhì)量、消費(fèi)者的偏好以及企業(yè)的促銷作用等因素而發(fā)生變化，企業(yè)在對(duì)產(chǎn)品種類與經(jīng)營方向做出決策時(shí)，需要預(yù)測各種商品之間不斷轉(zhuǎn)移的市場占有率。 市場占有率的預(yù)測可采用馬爾可夫分析法，也就是運(yùn)用轉(zhuǎn)移概率矩陣對(duì)市場占有率進(jìn)行市場趨勢分析的方法。俄國數(shù)學(xué)家馬爾可夫在20世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)：一個(gè)系統(tǒng)的某些因素在轉(zhuǎn)移中，第N次結(jié)果只受第N1次結(jié)果影響，只與當(dāng)前所處狀態(tài)有關(guān)，與其他無關(guān)。例如：研究一個(gè)商店的累計(jì)銷售額，如果現(xiàn)在時(shí)刻的累計(jì)銷售額已知，則未來某一時(shí)刻的累計(jì)銷售額與現(xiàn)在時(shí)刻以前的任一時(shí)刻的累計(jì)銷售額都無關(guān)。 在馬爾可夫分析中，引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移這個(gè)概念。所謂狀態(tài)是指客觀事物可能出現(xiàn)或存在的狀態(tài)；狀態(tài)轉(zhuǎn)移是指客觀事物由一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一種狀態(tài)的概率。 2、馬爾可夫分析法的一般步驟為： 1、調(diào)查目前的市場占有率情況； 2、調(diào)查消費(fèi)者購買產(chǎn)品時(shí)的變動(dòng)情況； 3、建立數(shù)學(xué)模型； 4、預(yù)測未來市場的占有率。 3、馬爾可夫分析模型 實(shí)際分析中，往往需要知道經(jīng)過一段時(shí)間后，市場趨勢分析對(duì)象可能處于的狀態(tài)，這就要求建立一個(gè)能反映變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。馬爾可夫市場趨勢分析模型是利用概率建立一種隨機(jī)型的時(shí)序模型，并用于進(jìn)行市場趨勢分析的方法。 4、馬爾可夫分析法的應(yīng)用 馬爾可夫分析法是研究隨機(jī)事件變化趨勢的一種方法。市場商品供應(yīng)的變化經(jīng)常受到各種不確定因素的影響而帶有隨機(jī)性，企業(yè)要根據(jù)對(duì)市場占有率的預(yù)測結(jié)果采取各種措施爭取顧客，如果這種隨機(jī)性具有無后效性，則用馬爾可夫分析法可以對(duì)其未來發(fā)展趨勢進(jìn)行市場趨勢分析，從而采取相應(yīng)措施提高市場占有率。提高市場占有率一般可采取三種策略： （1）設(shè)法保持原有顧客； （2）盡量爭取其他顧客； （3）既要保持原有顧客又要爭取新的顧客。 第三種策略是前兩種策略的綜合運(yùn)用，其效果比單獨(dú)使用一種策略要好，但其所需費(fèi)用較高。如果接近于平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)，一般不必花費(fèi)競爭費(fèi)用，所以既要注意市場平穩(wěn)狀態(tài)的分析，又要注意市場占有率的長期趨勢的分析。 爭取顧客、提高市場占有率的策略和措施一般有： （1）擴(kuò)大宣傳。主要采取廣告方式，通過大眾媒體向公眾宣傳商品特征和顧客所能得到的利益，激起消費(fèi)者的注意和興趣。 （2）擴(kuò)大銷售。除聯(lián)系現(xiàn)有顧客外，積極地尋找潛在顧客，開拓市場。如向顧客提供必要的服務(wù)等。 （3）改進(jìn)包裝。便于顧客攜帶，增加商品種類、規(guī)格、花色，便于顧客挑選，激發(fā)顧客購買興趣。 （4）開展促銷活動(dòng)。如展銷、分期付款等。 （5）調(diào)整經(jīng)營策略。根據(jù)市場變化，針對(duì)現(xiàn)有情況調(diào)整銷售策略，如批量優(yōu)待、調(diào)整價(jià)格、市場滲透、提高產(chǎn)品性能、擴(kuò)大產(chǎn)品用途、降低產(chǎn)品成本等，以保持市場占有率和擴(kuò)大市場占有率。 人力資源方面的應(yīng)用 在應(yīng)用到人力資源管理方面時(shí)，馬爾可夫分析法是組織內(nèi)部人力資源供給預(yù)測的一種方法，這種方法用于具有相等時(shí)間間隔的時(shí)刻點(diǎn)上各類人員的分布狀況。在具體運(yùn)用中，假設(shè)給定時(shí)期內(nèi)從低一級(jí)向上一級(jí)或從某一職位轉(zhuǎn)移到另一職位的人數(shù)是起始時(shí)刻總?cè)藬?shù)的一個(gè)固定比例，即轉(zhuǎn)移率一定，在給定各類人員起始人數(shù)、轉(zhuǎn)移率和未來補(bǔ)充人數(shù)的條件下，就可以確定出各類人員的未來分布狀況，作出人員供給的預(yù)測。這種分析方法通常通過流動(dòng)可能性比例矩陣來進(jìn)行預(yù)測某一崗位上工作的人員流向組織內(nèi)部另一崗位或離開的可能性。 馬爾可夫分析法的適用范圍包括： （1）適用于人員流動(dòng)比例相對(duì)穩(wěn)定的公司； （2 ）適用于每一級(jí)別員工人數(shù)至少有50 人的公司，但人數(shù)稍多時(shí)也可使用； （3 ）流向某崗位的人數(shù)取決于該崗位空缺的數(shù)量。 轉(zhuǎn)移矩陣法1、定義 單個(gè)生產(chǎn)廠家的產(chǎn)品在同類商品總額中所占的比率，稱為該廠產(chǎn)品的市場占有率。在激烈的競爭中，市場占有率隨產(chǎn)品的質(zhì)量、消費(fèi)者的偏好以及企業(yè)的促銷作用等因素而發(fā)生變化。企業(yè)在對(duì)產(chǎn)品種類與經(jīng)營方向做出決策時(shí)，需要預(yù)測各種商品之間不斷轉(zhuǎn)移的市場占有率。 市場占有率的預(yù)測可采用馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣法，也就是運(yùn)用轉(zhuǎn)移概率矩陣對(duì)市場占有率進(jìn)行市場趨勢分析的方法。馬爾科夫是俄國數(shù)學(xué)家，他在20世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)：一個(gè)系統(tǒng)的某些因素在轉(zhuǎn)移中，第n次結(jié)果只受第n-1的結(jié)果影響，只與當(dāng)前所處狀態(tài)有關(guān)，與其他無關(guān)。比如：研究一個(gè)商店的累計(jì)銷售額，如果現(xiàn)在時(shí)刻的累計(jì)銷售額已知，則未來某一時(shí)刻的累計(jì)銷售額與現(xiàn)在時(shí)刻以前的任一時(shí)刻的累計(jì)：銷售額都無關(guān)。， 在馬爾科夫分析中，引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移這個(gè)概念。所謂狀態(tài)是指客觀事物可能出現(xiàn)或存在的狀態(tài)；狀態(tài)轉(zhuǎn)移是指客觀事物由一種狀態(tài)轉(zhuǎn)穆到另一種狀態(tài)的概率。 2、步驟 馬爾科夫分析法的一般步驟為： 調(diào)查目前的市場占有率情況； 調(diào)查消費(fèi)者購買產(chǎn)品時(shí)的變動(dòng)情況； 建立數(shù)學(xué)模型； 預(yù)測未來市場的占有率。 馬爾科夫分析模型實(shí)際分析中，往往需要知道經(jīng)過一段時(shí)間后，市場趨勢分析對(duì)象可能處于的狀態(tài)，這就要求建立一個(gè)能反映變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。馬爾科夫市場趨勢分析模型是利用概率建立一種隨機(jī)型的時(shí)序模型，并用于