高三第二輪專題---排列組合問題經(jīng)典題型與通用方法

排列組合問題的經(jīng)典問題類型和一般方法。1.相鄰問題綁定方法：規(guī)定將幾個(gè)相鄰元素綁定到一個(gè)組中，并排列成一個(gè)大元素。例1。五個(gè)人并排站成一排。如果它們必須相鄰并且在的右側(cè)，則不同的行方法是()a、60 b、48 c、36 d、242.分離的問題是將：個(gè)元素插入分離行(即不相鄰)。對于分離的問題，可以首先完全排列幾個(gè)沒有位置要求的元件，然后將指定的分離元件插入上述元件的空間和兩端。例2。七個(gè)人并排站成一排。如果甲乙雙方不能相鄰，則不同的行數(shù)為()a，1440 b，3600 c，4820 d，48003.排序問題：的定標(biāo)方法限制了某些元素必須在排列問題中保持一定的順序?？梢允褂每s放方法。例3。甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人并排站成一排。如果它們必須站在(可能不相鄰的)右側(cè)，則有()個(gè)、24個(gè)、60個(gè)、90個(gè)、120個(gè)不同的行。4.標(biāo)簽排序逐步方法：將元素排列到指定位置。您可以首先根據(jù)規(guī)則排列一個(gè)元素，然后在第二步中排列另一個(gè)元素。如果你繼續(xù)這樣下去，你可以依次完成它。例4。在標(biāo)有1、2、3、4的四個(gè)方塊中填入數(shù)字1、2、3、4，并為每個(gè)方塊填入一個(gè)數(shù)字，然后為每個(gè)方塊的標(biāo)簽和數(shù)字填入()A、6 B、9 C、11 D和23種不同的填入方法。5.有序分布問題的劃分方法有序分布問題是指將元素分成幾個(gè)組，這些組可以按步驟劃分。例5。(1)甲、乙、丙三方各有三項(xiàng)任務(wù)，甲方需要兩人承擔(dān)，乙、丙雙方各需要一人承擔(dān)。從10個(gè)人中選出4個(gè)人來承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)。不同的選擇方法有()A、1260 B、2025 C、2520 D和5040(2)12名學(xué)生前往三個(gè)不同的十字路口調(diào)查交通流量。如果每個(gè)路口有4名學(xué)生，不同的分配方案是()a，b，c，d，c6.總分配問題的分組方法：例6。(1)所有4名優(yōu)秀學(xué)生被送到3所學(xué)校，每所學(xué)校至少有一名學(xué)生。有多少種不同的發(fā)送程序？(2)5種不同的書籍，全部分發(fā)給4名學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法為()a，480 b，240 c，120 d，967.配額分配分割法：例7:好學(xué)生的10個(gè)名額被分配到7個(gè)班，每個(gè)班至少有一個(gè)名額。有多少種不同的分配方案？8.限制性條件分布的分類：例8。一所大學(xué)從一個(gè)系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中挑選出4名，在西部四個(gè)城市參與西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)和建設(shè)。其中，學(xué)生甲比銀川小，學(xué)生乙比西寧小。有多少種不同的調(diào)度方案？9.多問題分類：元素多，提取案例多，根據(jù)結(jié)果的要求可分為不相容案例，分別統(tǒng)計(jì)和添加。例9(1)由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成，這些數(shù)字是沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)字，其中一位數(shù)字少于十位數(shù)字的總和()a，210 b，300 c，464 d，600(2)從1，2，3的100個(gè)數(shù)中.100，取任意兩個(gè)數(shù)，這樣它們的乘積就可以被7整除。有多少種方法可以得到這兩個(gè)數(shù)字(不管順序如何)？(3)有多少種方法(不管順序)可以用來除100個(gè)數(shù)字1，2，3，100乘4？10.交集問題集方法：一些排列組合問題在幾個(gè)部分之間有交集，可以使用集合中元素的個(gè)數(shù)公式。例10。六名運(yùn)動員中有四名被選中參加4100米接力賽。如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，有多少不同的競爭方案？11.定位問題的優(yōu)先方法：如果要將一個(gè)或多個(gè)元素排列在指定位置，可以先排列一個(gè)或多個(gè)元素；然后安排其他元素。例11?，F(xiàn)在一名老師和四名獲獎學(xué)生排隊(duì)照相。如果老師不站在兩端，有多少種不同的方法？12.多行問題單行方法：可以將在幾行中排列元素的問題減少到一行來考慮，然后處理a，36 b，120 c，720 d，1440(2)8個(gè)不同的元件排列在前排和后排，每排4個(gè)元件，其中2個(gè)元件排列在前排，1個(gè)元件排列在后排。有多少種不同的安排？13.“至少”和“最多”問題被間接排除或歸類為：例13。從4 A和5 B電視機(jī)中選擇3臺，其中至少需要一臺A型和一臺B型電視機(jī)。不同的方法包括()A、140 B、80 C、70 D和3514.要選擇一行，首先取后一行：然后從幾種類型的元素中取出幾個(gè)元素，然后將它們排列在某個(gè)位置?？梢允紫仁褂煤笈欧椒ā＠?4。(1)如果將四個(gè)不同的球放入編號為1、2、3和4的四個(gè)盒子中，對于一個(gè)空盒子有多少種放置方法？(2)乒乓球運(yùn)動員有9名，其中男5名，女4名?；祀p訓(xùn)練現(xiàn)在有多少種不同的分組方法？15.部分合格排除方法：在選擇的總數(shù)中，只有一部分合格，不合格項(xiàng)目的數(shù)量可以從總數(shù)中減去，這就是請求。例15。(1)以立方體的頂點(diǎn)作為頂點(diǎn)份額的四面體()a、70 b、64 c、58 d、52(2)四面體的頂點(diǎn)和每條邊的中點(diǎn)總共有10個(gè)點(diǎn)，其中選擇了4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的方法總共有()a，150 b，147 c，144 d，14116.用于圓形行問題的單行方法：是不同元素被放置在圓周上的編號位置上的布置。不同序列(例如順時(shí)針)中的不同行方法被認(rèn)為是不同的排列，而相同序列中的行方法(即一旦旋轉(zhuǎn)就可以重疊)被認(rèn)為是相同的。它與普通排列的區(qū)別在于，只計(jì)算序列，計(jì)算第一個(gè)和最后一個(gè)位置，并列出以下普通排列：只有一種圓形排列，因?yàn)樗谛D(zhuǎn)后可以重疊，所以它被認(rèn)為是有幾種圓形排列的元素。因此，一個(gè)元素可以固定在一行中，而其他元素則全部排列在一起。例16。有5對姐妹站成一圈。每對姐妹必須是相鄰的。有多少種不同的站立方法？17.重復(fù)排列冪法：允許通過以元素為研究對象來表征重復(fù)排列問題，元素不受位置的限制，并且元素的位置可以一個(gè)接一個(gè)地排列。通常，有兩種方法可以在不同的位置排列不同的元素。例17。有多少種不同的方法可以將6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間進(jìn)行實(shí)習(xí)？18.復(fù)雜排列組合問題的模型方法例18。有9個(gè)路燈編號1，2，3.9在路上。其中三個(gè)現(xiàn)在要關(guān)閉，但是兩個(gè)或三個(gè)相鄰的燈不能關(guān)閉，兩端的兩個(gè)燈不能關(guān)閉。有多少種點(diǎn)火方案可以滿足這些條件？19.枚舉方法：可以考慮用于具有少量元素的排列和組合問題例19。有五個(gè)球編號為1，2，3，4，5，盒子編號為1，2，3，4，5?，F(xiàn)在，有多少種不同的方法可以把這五個(gè)球放進(jìn)五個(gè)盒子里，并且每個(gè)盒子里需要一個(gè)球，而正好兩個(gè)球的號碼和盒子的號碼相同？20.復(fù)雜的排列和組合問題也可以通過分解和合成：來解決30030能被多少不同的偶數(shù)整除？(2)立方體的8個(gè)頂點(diǎn)可以連接多少條不同平面的直線？21.運(yùn)用對應(yīng)思維轉(zhuǎn)化法：對應(yīng)思維是滲透教材的重要解題方法。它能把復(fù)雜的問題變成簡單的問題。例21。(1)圓周上有10個(gè)點(diǎn)。當(dāng)端點(diǎn)在圓中相交時(shí)，弦與這些點(diǎn)有多少交點(diǎn)？(2)一個(gè)城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成，其中實(shí)線表示道路。從甲到乙有幾條最短的路？22.總錯(cuò)位問題的公式方法：總錯(cuò)位問題(賀卡問題，信封問題)記住公式瑞士數(shù)學(xué)家歐拉根據(jù)一般情況給出了一個(gè)遞推公式：A，B，C.用N個(gè)朋友的名字來表示信封，A，B，C.表示相應(yīng)的書寫文具。將放錯(cuò)地方的總數(shù)記為f(n)。讓我們假設(shè)A被錯(cuò)誤地加載到B中，所有錯(cuò)誤的加載方法包括這個(gè)錯(cuò)誤都被分開(2)b被裝入信封，而不是A和B。此時(shí)，包裝工作實(shí)際上是將信紙B和C的(而不是A)張裝入(而不是B) N-1個(gè)信封A和C。顯然，有f(n-1)個(gè)方法來糾正這一時(shí)尚錯(cuò)誤?？傊?，在把a(bǔ)裝入b的錯(cuò)誤下，總共有f(n-2) f(n-1)種錯(cuò)誤的裝入方法。a到c，d.在n-2種錯(cuò)誤下，也有f(n-2) f(n-1)種錯(cuò)誤的安裝方法，所以：我們得到一個(gè)遞推公式：f(n)=(n-1) f(n-1) f(n-2)，并分別得到n=2，3和4的可推結(jié)果。一般公式也可以通過迭代得到：排列組合問題的經(jīng)典問題類型和一般方法。分析版1.相鄰問題綁定方法：規(guī)定將幾個(gè)相鄰元素綁定到一個(gè)組中，并排列成一個(gè)大元素。例1。五個(gè)人并排站成一排。如果它們必須相鄰并且在的右側(cè)，則不同的行方法是()a、60 b、48 c、36 d、24如果你把它想象成一個(gè)人，并把它固定在右邊，那么這個(gè)主題就相當(dāng)于一個(gè)由四個(gè)人，四個(gè)物種，回答：2.分離的問題是將：個(gè)元素插入分離行(即不相鄰)。對于分離的問題，可以首先完全排列幾個(gè)沒有位置要求的元件，然后將指定的分離元件插入上述元件的空間和兩端。例2。七個(gè)人并排站成一排。如果甲乙雙方不能相鄰，則不同的行數(shù)為()a，1440 b，3600 c，4820 d，4800分析：除甲、乙雙方外，其余5種排列為種，然后甲、乙雙方插入6種空種。不同的排列是不同的物種，選擇也是不同的。3.排序問題：的定標(biāo)方法限制了某些元素必須在排列問題中保持一定的順序?？梢允褂每s放方法。例3。五個(gè)人并排站成一排。如果你必須站在右邊(可能不相鄰)，那么不同的行方法是()a，24 b，60 c，90 d，120分析：右側(cè)的行數(shù)與左側(cè)的行數(shù)相同，因此為主題設(shè)置的行數(shù)僅為5個(gè)元素(即物種、選擇)的總行數(shù)的一半。4.標(biāo)簽排序逐步方法：將元素排列到指定位置。您可以首先根據(jù)規(guī)則排列一個(gè)元素，然后在第二步中排列另一個(gè)元素。如果你繼續(xù)這樣下去，你可以依次完成它。例4。將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)有1、2、3、4的四個(gè)方塊中，并為每個(gè)方塊填入一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方塊的數(shù)字與填入的數(shù)字不同()a、6 b、9 c、11 d、23分析：首先，在網(wǎng)格中填入1。有3種方法來滿足條件。第二，將相應(yīng)的數(shù)字填入其他3個(gè)網(wǎng)格中。還有3種方法。第三步是填寫剩下的兩個(gè)數(shù)字。只有一種填充方法。331=選擇了9種填充方法。5.有序分布問題的劃分方法有序分布問題是指將元素分成幾個(gè)組，這些組可以按步驟劃分。例5。(1)甲、乙、丙三方任務(wù)，甲、乙、丙三方各需一人承擔(dān)。從10個(gè)人中選出4個(gè)人來承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)。不同的選擇方法有()a，1260 b，2025 c，2520 d，5040分析：首先，從10個(gè)人中選擇2個(gè)人來承擔(dān)任務(wù)A，然后從剩下的8個(gè)人中選擇1個(gè)人來承擔(dān)任務(wù)B，在第三步中，從另外7個(gè)人中選擇1個(gè)人來承擔(dān)任務(wù)C。有不同的選擇方法。選擇。(2)12名學(xué)生前往三個(gè)不同的十字路口調(diào)查交通流量。如果每個(gè)路口有4名學(xué)生，不同的分配方案是()a、b、cc，物種d，物種回答：6.總分配問題的分組方法：例6。(1)所有4名優(yōu)秀學(xué)生被送到3所學(xué)校，每所學(xué)校至少有一名學(xué)生。有多少種不同的發(fā)送程序？分析：有三種方法把四個(gè)學(xué)生分成三組，三組學(xué)生分成三個(gè)學(xué)校。注意：當(dāng)分配的元素多于對象，并且每個(gè)對象都有一個(gè)元素分配時(shí)，通常會先分組，然后再分配。(2)5種不同的書籍，全部分發(fā)給4名學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法為()a，480 b，240 c，120 d，96回答：7.配額分配分割法：例7:好學(xué)生的10個(gè)名額被分配到7個(gè)班，每個(gè)班至少有一個(gè)名額。怎么分析：10個(gè)位置分為7類，即10個(gè)位置分為7堆，每堆10個(gè)相同的球，每堆至少有一個(gè)，10個(gè)球的9個(gè)空間可以插入6塊板，每種插入方式對應(yīng)一個(gè)分配方案，所以有不同的分配方案。8.限制性條件分布的分類：例8。一所大學(xué)從一個(gè)系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中挑選出4名，在西部四個(gè)城市參與西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)和建設(shè)。其中，學(xué)生甲比銀川小，學(xué)生乙比西寧小。有多少種不同的調(diào)度方案？分析：由于甲、乙雙方都有限制，所以按照是否包含甲、乙雙方進(jìn)行分類，有以下四種情況：(1)如果甲乙雙方不參與，有派遣計(jì)劃；(2)如果甲方參加，而乙方不參加，有3種方式先安排甲方，然后再安排其他學(xué)生，因此共有3種方式。(3)如果乙方參與，甲方不參與，同樣如此。(4)如果甲乙雙方都參加，將首先安排甲乙雙方。有7種方法，然后另外8個(gè)人將被安排去另外兩個(gè)城市。共有7種方法。因此，總共有8種不同的調(diào)度方法。9.多重問題的分類：有許多元素，有許多提取的情況。根據(jù)結(jié)果的要求，可以將它們分為不相容的情況，并分別計(jì)數(shù)，最后得出總數(shù)。例9(1)由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成，這些數(shù)字是沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)字，其中一位數(shù)字少于十位數(shù)字的總和()a，210 b，300 c，464 d，600根據(jù)問題的含義，5種情況下的位數(shù)只能是0、1、2、3、4，分別包括1、2、3、4，總共300位。挑選。(2)從1，2，3的100個(gè)數(shù)中.100，取任意兩個(gè)數(shù)，這樣它們的乘積就可以被7整除。有多少種方法可以得到這兩個(gè)數(shù)字(不管順序如何)？分析：當(dāng)兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被7整除時(shí)，它們的乘積能被7整除。100個(gè)數(shù)字的集合被認(rèn)為是完整的集合1，可被7整除的數(shù)字的集合被記錄為總共14個(gè)元素，不可被7整除的數(shù)字的集合被記錄為總共86個(gè)元素；由此，我們可以看出，有兩種方法可以從任何一個(gè)元素中提取兩個(gè)元素，一個(gè)從任何一個(gè)元素中提取，一個(gè)從任何一個(gè)元素中提取。在這兩種情況下，有兩種方法可以滿足要求。(3)有多少種方法(不管順序)可以用來除100個(gè)數(shù)字1，2