談談數列中的放縮法

談談數列中的放縮法高考中利用放縮方法證明不等式，文科涉及較少，但理科卻常常出現(xiàn)（雖然數列在高考中已有所降溫）放縮法證明不等式有法可依，但具體到題，又常常沒有定法，它綜合性強，形式復雜，運算要求高，往往能考查考生思維的嚴密性，深刻性以及提取和處理信息的能力，較好地體現(xiàn)高考的甄別功能縮法是不等式證明中一種常用的方法，也是一種非常重要的方法在證明過程中，適當地進行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達到事半功倍的效果但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮之后得不出結論或得出相反結論的現(xiàn)象因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標尤為重要要想正確確定放縮目標，就必須根據欲證結論，抓住題目的特點掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力放縮法的本質是基于最初等的四則運算，利用不等式的傳遞性，其優(yōu)點是能迅速地化繁為簡，化難為易，達到事半功倍的效果；其難點是變形靈活，技巧性強，放縮尺度很難把握裂項放縮與裂項（1）基本放縮； ； ，（kN+）（2）對的放縮 （）； （）； （3）對的放縮（）；（4）對的放縮；（關系不明顯的需證明）（5）（*）（6）對的放縮典型例題例1 （型）若是自然數，求證：2、(節(jié)選2014廣東文) ，求證：對一切正整數，例2、（根式型）求證：，其中變式:（靈活放縮）已知各項均為正數的數列的前項和為，且(1) 求證：；(2) 求證：解：（1）在條件中，令n1，得，又由條件，有：，上述兩式相減，注意到，得，故而，所以，所以；（2）由nn1，得，即，所以，例4（構造型放縮）（2014高考數學新課標理17）已知數列滿足，（）證明是等比數列，并求的通項公式；（）證明：解：（1）證明略，；（2）由（I）知，因為時，所以于是（其他方法這里不介紹）變式：設數列為單調遞增的等差數列，且依次成等比數列（）求數列的通項公式；（II）若，求證：解： .3分而所以.13分靈活拓展：1、（13成都一診）數列中，且當時， （1）求數列的通項公式； （2）若，求數列的前n項和； （3）求證：解：（I）；3分（II）；7分（III）顯然時不等式成立，當時，故時，2、已知函數滿足：若，設，為數列前n項和，證明：解析：，一、分式和準確變形，裂項相消例 （06全國I理22）設數列的前項的和，（1）求首項與通項；（2）設，證明：解析：（I），；（II）證明：，二、指數和裂項無效，化歸等比例 （節(jié)選06福建理22） 已知，求證：證明：三、把握結構，均分放縮對形如“（其中是常數）”的不等式，由于左邊是項之和，右邊可以變形為個之和，所以可考慮左邊的每一項能否放大到像這種每一項的放縮度是一樣的，稱為均分放縮，是化歸等比的特例如上例中：可以用此法來證明，只需證明每項均小于即可因為，所以注：均分放縮，應從欲證不等式的結構形式上去考慮，由于每項放縮度是一樣的，放縮程度比較大，因此可以考慮前面一項或前面幾項不放縮，對后面幾項進行放縮四、特殊探路，確定目標合理變形，不斷調整如果不等關系不明確時，可以先選取幾個特殊值進行嘗試，名曲目標后再進行論證例 設函數，已知不論，為何實數，恒有，對于正數列，其前項和（1）求實數的值；（2）求數列的通項公式；（3）若，且數列的前項和，比較與的大小，并說明理由解析：（I）；（II），；到底是放大還是縮小？我們可以用特殊值探路，當時，都有，由此可以大膽猜想證明目標：“”，明確放縮方向后，進行嘗試探索，并不斷調整，努力接近解題目標，直到解決問題在上例中，明確方向后，估計是通過裂項相消，能出現(xiàn)的形式，再判斷的符號因此關鍵是對進行放縮變形，可以采用不同的試探方式經計算發(fā)現(xiàn)，只有（5）能有效解決問題注：在使用放縮證題時，經常會遇到放的太大或者縮得太小的情況，因此需要大膽嘗試、猜想、判斷，并不斷的調整，雖經失敗，但從中獲得了教訓和經驗，對培養(yǎng)我們的探索精神大有裨益五、準確判斷，確定起點例1 （2013廣東理）若是自然數，求證：證明：記，當時,原不等式成立. 當時, 當時, 原不等式亦成立.綜上,對一切正整數,有.六、放縮一步到位在用“放縮法”證明不等式時，最易犯的錯誤是放縮過頭.為了避免放縮過頭，人們往往反復嘗試，才可能找到最適當的放縮方式，這樣做費時又費力.如何恰到好處地放縮，自然為廣大師生所關注本文將用待定系數法來準確把控放縮程度，從而證明相關不等式例1 求證：證明：因為所以“”是如何想到的？為何不是、等其他數？可能有人會說是試出來的有沒有辦法一步到位找到這個呢？其實，我們學習過待定系數法，這里我們使用待定系數法來尋找這個設待定實數， 則，令，