浙江省衢州市2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)6月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

浙江省衢州市2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)6月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）一、選擇題：（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知為實(shí)數(shù)集，集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先求集合b的補(bǔ)集，然后求解兩個(gè)集合的交集.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選a.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算，題目較為簡(jiǎn)單，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2.函數(shù)的奇偶性是（ ）a. 奇函數(shù)b. 偶函數(shù)c. 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)d. 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)【答案】b【解析】【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)奇偶性定義進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，所以是偶函?shù)，故選b.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)奇偶性的判定，一般是利用定義進(jìn)行，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).3.已知平面和兩條不重合的直線，則“”是“且”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】b【解析】【分析】不能推出且，反之可行，所以可知是必要不充分條件.【詳解】因?yàn)椴荒芡瞥銮遥夷軌蛲瞥?，所以“”是“且”的必要不充分條件，故選b.【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的判定，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).4.過(guò)點(diǎn)的直線與圓：的位置關(guān)系是（ ）a. 相離b. 相切c. 相交d. 相交或相切【答案】c【解析】【分析】判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知過(guò)該點(diǎn)的直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓c的內(nèi)部，所以過(guò)點(diǎn)的直線均與圓相交，故選c.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，主要策略是判斷直線所過(guò)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).5.若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值等于（ ）a. 2b. 1c. -2d. -4【答案】a【解析】【分析】作出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)，找到取最大值的點(diǎn)，然后可求最大值.【詳解】根據(jù)題意作出可行域如圖：平移直線可得在點(diǎn)a處取到最大值，聯(lián)立可得,代入可得最大值為2，故選a.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃，作出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)，求出最值點(diǎn)是主要步驟，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).6.函數(shù)的圖象大致是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)解析式的特征，利用函數(shù)的性質(zhì)和特殊值排除選項(xiàng)可求.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以排除a,c選項(xiàng)，取可知，所以排除b選項(xiàng)，故選d.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別，主要求解策略是利用函數(shù)的性質(zhì)和特殊值來(lái)進(jìn)行排除，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).7.點(diǎn)在所在平面上，且滿足，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用向量的運(yùn)算，確定p點(diǎn)的位置，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可求，面積之比.【詳解】因?yàn)?所以,所以共線，且，所以.故選b.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算，熟悉平面向量的運(yùn)算規(guī)則是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).8.已知函數(shù)，若有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】作出圖象，觀察圖象可求a的范圍.【詳解】如圖，分別作出的圖象，觀察可得當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，故選d.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求解參數(shù)的范圍問(wèn)題，主要策略是數(shù)形結(jié)合，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（且，），則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（ ）a. 若是等差數(shù)列，則b. 若是等比數(shù)列，則c. 若不是等差數(shù)列，則d. 若不是等比數(shù)列，則【答案】d【解析】【分析】逐個(gè)選項(xiàng)檢驗(yàn)，是等差數(shù)列的充要條件是,是等比數(shù)列的必要條件是.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)a，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，所以；反之若，則，此時(shí)，為等差數(shù)列；所以a,c均正確. 對(duì)于選項(xiàng)b，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以一定是不為0的常數(shù)，所以；反之若，則，時(shí)不是等比數(shù)列，故b正確，d不正確，綜上故選d.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列類(lèi)型的判定，一般是根據(jù)定義來(lái)進(jìn)行判定，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).10.如圖所示，在正方形中，點(diǎn)，分別為邊，的中點(diǎn)，將沿所在直線進(jìn)行翻折，將沿所在直線進(jìn)行翻折，在翻折的過(guò)程中，點(diǎn)與點(diǎn)在某一位置可能重合；點(diǎn)與點(diǎn)最大距離為；直線與直線可能垂直； 直線與直線可能垂直以上說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（ ）a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】c【解析】【分析】將沿所在直線進(jìn)行翻折，將沿所在直線進(jìn)行翻折，在翻折的過(guò)程中，a,c的運(yùn)動(dòng)軌跡分別是圓；ab,af是以bf為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐型側(cè)面；ce,cd是以de為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐型側(cè)面.【詳解】由題意，在翻折的過(guò)程中，a,c的運(yùn)動(dòng)軌跡分別是兩個(gè)平行的圓，所以不能重合，故不正確；點(diǎn)與點(diǎn)的最大距離為正方形的對(duì)角線,故正確；由于abf和cde全等，把cde平移使得dc和ab重合，如圖，abf繞bf旋轉(zhuǎn)形成兩個(gè)公用底面的圓錐，ab,cd是稍大的圓錐的母線，由于abf小于45，所以ab,cd的最大夾角為銳角，所以不可能垂直，故不正確；同理可知，由于afb大于45，所以af,be的最大夾角為鈍角，所以可能垂直，故正確.綜上可知選c.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的判斷，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).二、填空題：（把正確答案填寫(xiě)在答題卡中的橫線上.）11.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的實(shí)部為_(kāi)，_.【答案】 (1). 3 (2). 5【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)實(shí)部的定義可知的實(shí)部是，z的模長(zhǎng)為.【詳解】因?yàn)?，所以?shí)部為3，模長(zhǎng).【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，熟記概念是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).12.拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)是_，若直線與此拋物線相交于，兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為_(kāi).【答案】 (1). (2). 4【解析】【分析】利用拋物線的方程與焦點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，弦長(zhǎng)根據(jù)通徑可求.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,因?yàn)榍『媒?jīng)過(guò)焦點(diǎn)且與x軸垂直，所以弦長(zhǎng)為通徑，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，拋物線的通徑長(zhǎng)為，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).13.若某多面體的三視圖如圖所示，則此多面體的表面積是_，體積是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用三視圖還原成幾何體，根據(jù)體積和面積求解公式可得.【詳解】根據(jù)三視圖還原為幾何體如圖，有三視圖中數(shù)據(jù)可知，ab為三棱錐的高，且ab=2，bcd的底邊cd=4,高為2,所以三棱錐的體積為；由圖可知abd, abc為直角三角形，面積均為；acd，bcd為等腰三角形，面積分別為和4，所以表面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖，利用三視圖求解幾何體的體積和表面積時(shí)，注意數(shù)據(jù)的對(duì)號(hào)入座，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).14.銳角的三個(gè)內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，若，則_，邊長(zhǎng)的取值范圍是_.【答案】 (1). 4 (2). 【解析】【分析】利用可得，結(jié)合正弦定理可得，結(jié)合銳角三角形和可得范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，由正弦定理得，所以；因?yàn)槭卿J角三角形，所以，,所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理求解三角形及邊長(zhǎng)的范圍，解三角形常用策略是邊角互化，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15.法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日于1778年在其著作解析函數(shù)論中給出一個(gè)定理：如果函數(shù)滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間上是連續(xù)不斷的；（2）在區(qū)間上都有導(dǎo)數(shù).則在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，其中稱(chēng)為“拉格朗日中值”.函數(shù)在區(qū)間上的“拉格朗日中值”_.【答案】【解析】【分析】結(jié)合“拉格朗日中值”定義，先求導(dǎo)數(shù)，代入定義可得t的值.【詳解】因?yàn)?，所以，結(jié)合“拉格朗日中值”定義可得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查信息創(chuàng)新題目，對(duì)新定義的準(zhǔn)確理解是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).16.設(shè)直線：與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，若線段的中垂線經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率是_.【答案】【解析】【分析】先求出mn的中點(diǎn)，結(jié)合線段的中垂線經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，建立之間的關(guān)系式，從而可得離心率.【詳解】設(shè)，聯(lián)立得，所以mn中點(diǎn)為，因?yàn)榫€段的中垂線經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，所以，解得，所以，即離心率.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線離心率的求解，一般是構(gòu)建之間的關(guān)系式，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).17.已知，則最小值為_(kāi).【答案】【解析】【分析】把整理為完全平方式，利用三角換元法可求.【詳解】因?yàn)?，所以令，解得，所?因?yàn)?，所以的最小值?【點(diǎn)睛】本題主要考查多元變量最值問(wèn)題，主要處理策略是消元減參，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題：（解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）18.已知函數(shù)，其中.（）求函數(shù)的最小正周期；（）求的最大值，以及取得最大值時(shí)的取值集合.【答案】（）（）；【解析】【分析】（）先化簡(jiǎn)函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)型，代入公式可得周期；（）根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)求解最大值，及對(duì)應(yīng)自變量的取值.【詳解】解：（），的最小正周期.（）由（）得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最大值，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，一般是利用恒等變換公式化為標(biāo)準(zhǔn)型，然后求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).19.如圖，四棱錐中，平面，為中點(diǎn).（）證明：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（）見(jiàn)證明；（）【解析】【分析】（）在平面內(nèi)，找到與平行的線，從而可證；（）作垂線，找在平面的射影，找到線面角，求解直角三角形可得.【詳解】（）證明：取中點(diǎn)，連接，如圖，則由中位線可知，四邊形是平行四邊形，又平面，平面，平面.（）平面，故.在直角梯形中，.，.平面.過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，平面，則即為直線與平面所成的角，如圖，易求：，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，.由面積法得：.所以.在中，.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的證明和線面角的求解，線面角一般是利用定義法或者向量法求解，側(cè)重考查直觀想象，邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).20.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（）；（）【解析】【分析】（）數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用，可求公差，然后可求；的通項(xiàng)公式可以利用退位相減法求解；（）求出代入，利用分離參數(shù)法可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（），即，又，也成立，是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，.（），對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解和參數(shù)范圍的確定，熟練掌握公式是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).21.設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，.（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，求內(nèi)切圓面積的最大值.【答案】（）（）【解析】【分析】（）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，結(jié)合可求方程；（）內(nèi)切圓面積的最大時(shí)，的面積最大，結(jié)合的面積目標(biāo)式，求出最大值即可.【詳解】解：（）由已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，由，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（）令：，設(shè)，由，即，則，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，又，即：，令，則，得：，令，知在上是單調(diào)遞增函數(shù)，內(nèi)切圓面積.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求解和最值問(wèn)題，最值問(wèn)題一般是把目標(biāo)式求出，結(jié)合目標(biāo)式特點(diǎn)選用合適的方法求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).22.已知函數(shù)，若函數(shù)（，為常數(shù)）在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn).（）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；（）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）求證：.【答案】（）（）（）見(jiàn)證明【解析】【分析】（）